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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形
5.2菱形（2）
【知识重点】
1、判定定理1：四条边相等的四边形是菱形.
2、判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【经典例题】
【例1】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
【例2】在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
【例3】画一个任意四边形，顺次连接各边中点E、F、G、H，所得到的新四边形称为中点四边形．当原四边形满足 时，中点四边形为菱形．
【例4】如图所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AD边的中点，M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME 交射线CD于点N，连结MD，AN.
（1）当AM= 时，四边形AMDN是矩形；
（2）当AM= 时，四边形AMDN是菱形.
【例5】已知：如在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.
求证：四边形AEDF是菱形.
【例6】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
【例7】如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若，求DF的长度．
【例8】如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长．
【基础训练】
1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ）
A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角相等 D．对边平行
3．张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
（第4题） （第5题） （第6题）
5．如图，四边形是菱形，，，于点，则 ．
6．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
7．如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
8．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.
9．在中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DPAC，交BA的延长线于点P，∠P=90°．求证：四边形AECF是菱形．
10．如图，在中，．求证：是菱形．
11．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．
12．在中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
13．如图，在四边形 中， 是 的垂直平分线， 是 上一点， 交 于 ，连接 ． ，试证明四边形 是菱形．
14．已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．
【培优训练】
15．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，则的度数是（ ）
A．60° B．75 C．80° D．110°
（第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15 B．20 C． D．
17．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
18．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，点E、F分别是BC、CD的中点，BD分别与AE、AF相交于点M、N，连接OE、OF、EF，下列结论：① 是等边三角形；②四边形CEOF是菱形；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第19题） （第20题） （第22题）
20．如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是 ．
21．已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为 .
22．如图，在菱形中，点、分别是、的中点，连接交对角线于点，连接若，，则的长为 ．
23．如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的2倍，则的长为 ．
24．如图，在菱形中，.若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 .
25．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作
CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求AG的长。
26．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的面积为 ．
27．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1＝∠2﹒
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）E是AD上一点，连结CE交BD于点F，且DE＝DF，求证：DO＝ (DF+BC)﹒
28．综合与实践
在数学课上，王老师让同学们对两个全等的直角三角形纸片进行摆弄，如图1，，.
（1）如图2，将图1的两个直角三角形的斜边AB、DE重合，得到“筝形ACBF”，连接CF交AB于点O，若，则 ；
（2）如图3，将图1的两个直角三角形直角顶点C与顶点F重合，，连接BE，AD，求证：四边形ADEB是矩形；
（3）如图4，将图1的两个直角三角形的边AB、DE放到同一直线上，点C、F在AB的同侧，连接CE，AF，CF，若点E是AB的中点.请判断四边形CEAF的形状，并说明理由.
29．如图，在 中，、分别是、的中点，，连接交于点．
（1）求证：≌；
（2）求证：四边形为菱形；
（3）过点作于点，交于点，若，，求的长．
30．如图，直线分别交轴，轴于点，，直线交轴于点，两直线相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）如图2，过点作轴交直线于点，连接，．求证：四边形是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，连接，，当，且时，求点的坐标．
【直击中考】
31．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
（第31题） （第32题） （第33题）
32．如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
33．如图，直线 与 轴、 轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．
34．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 .
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由.
35．如图， 的对角线AC，BD相交于点O，过点O作 ，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE.
（1）若 ，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形（解析版）
5.2菱形（2）
【知识重点】
1、判定定理1：四条边相等的四边形是菱形.
2、判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【经典例题】
【例1】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解析】当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：A．
【例2】在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
【答案】D
【解析】A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【例3】画一个任意四边形，顺次连接各边中点E、F、G、H，所得到的新四边形称为中点四边形．当原四边形满足 时，中点四边形为菱形．
【答案】AC=BD
【解析】解∶当原四边形满足对角线AC=BD时，中点四边形为菱形，理由如下：
如图，连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH//BD， FG//BD，EH=BD， FG=BD，
∴EH//FG，
同理EF// HG，EF=AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵当AC=BD，EF=AC，EH=BD，
∴EH= EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；
故答案为：AC=BD．
【例4】如图所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AD边的中点，M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME 交射线CD于点N，连结MD，AN.
（1）当AM= 时，四边形AMDN是矩形；
（2）当AM= 时，四边形AMDN是菱形.
【答案】（1）1
（2）2
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵四边形AMDN是矩形，∴∠AMD=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM= AD=1，
故答案为：1；
(2)∵四边形AMDN是菱形，
∴AM=DM，
∵∠DAB=60°，
∴△AMD为等边三角形，
∴AM=AD=2，即M和B重合.
故答案为：2.
【例5】已知：如在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.
求证：四边形AEDF是菱形.
【答案】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD(角平分线的定义).
∵DE∥AC，
∴∠FAD=∠EDA(两直线平行，内错角相等)，
∴∠EAD=∠EDA(等量代换)，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形.
【例6】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【例7】如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若，求DF的长度．
【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【例8】如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD=BD， OC＝AC＝2，
∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，∴OE＝BD，
∵OD=BD，
∴OD= OE=3，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
即菱形的边长是
【基础训练】
1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ）
A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形
【答案】D
【解析】A、当AB⊥AD时，∠BAD=90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故此选项正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
当OA=OB时，可得AO=CO=BO=DO，即AC=BD，
根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
D、当AB=AC时，不能判定平行四边形是矩形，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角相等 D．对边平行
【答案】B
【解析】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；
矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；
因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；
因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；
故答案为：B．
3．张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、图形四条边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
B、，
对边平行，
这组对边相等，且四边形邻边相等，
故为菱形，本选项不符合题意；
C、图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项符合题意；
D、图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C．
4．如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD，
∴∠ABD=65°，
∵DH⊥AB，BO=DO，
∴HO=DO，
∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°．
故答案为：A．
5．如图，四边形是菱形，，，于点，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
6．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
【答案】AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
【解析】可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是：，利用如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，利用如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，利用如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
7．如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
8．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.
【答案】证明：在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
又∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形.
9．在中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DPAC，交BA的延长线于点P，∠P=90°．求证：四边形AECF是菱形．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CBAD，CB=AD．ABCD，
∵E、F分别是边BC，AD的中点，
∴CE=CB，AF=AD．
∴CE=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵∠P=90°，APCD，DPAC，
∴四边形CDPA是矩形，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ADB中，∵F为AB的中点，
∴AF=CF=DF，
∵四边形CFAE是平行四边形，
∴四边形CFAE是菱形．
10．如图，在中，．求证：是菱形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是菱形．
11．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．
【答案】证明：∵E，F是AB，BD的中点，
∴EF＝AD，
同理，GH＝AD，HE＝BC，FG＝BC，
∵AD＝BC，
∴EF＝GH＝HE＝FG，
∴四边形EFGH是菱形．
12．在中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
【答案】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE， BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
；
．
，
．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
，D是BC的中点，
，
∴四边形ADCF是菱形．
13．如图，在四边形 中， 是 的垂直平分线， 是 上一点， 交 于 ，连接 ． ，试证明四边形 是菱形．
【答案】证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴AB∥CD，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形ABCD是菱形．
14．已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．
【答案】证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∴BD∥CF．
∵∠CBF＝∠DCB．
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形．
【培优训练】
15．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，则的度数是（ ）
A．60° B．75 C．80° D．110°
【答案】B
【解析】连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，
∴BF=DF，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴DF=CF，
∴∠CDF=∠DCF=35°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠ADF=110°-35°=75°，
故答案为：B．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15 B．20 C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，
∴CF＝CE，，
在△CFO和△AEO中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB AE＝24 CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得，
∴，
解得CE＝15，∴AE＝15，
故答案为：A．
17．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，△AEF为正三角形，
∴∠1+∠EAC＝∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
又∵AB＝CB＝AD＝CD，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝AB＝3，AH＝AB＝3，
∴S四边形AECF＝S△ABC＝BC AH＝×6×3＝9，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，
∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝9﹣＝．
故答案为：D.
18．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴四边形ABGD是平行四边形，∠ADB＝∠CBD，∠ADC＝180°－∠BCD＝90°，
∵ ，
∴四边形ABGD是菱形，
∴BG＝DG＝2，
∴∠BDG＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠BDG＝∠CBD，
∵ 平分 ，
∴∠CDG＝∠BDG，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠ADB＝∠CBD＝ ∠ADC＝30°，∠BDC＝60°，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，故①符合题意，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝ DG＝1，
∴CD＝ ，故②不符合题意，
∵ ， ，
∴ ，故③符合题意．
∵点E为 中点，
∴CE＝BE＝DE＝ BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，故④符合题意，
综上，正确的有①③④，
故答案为：C
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，点E、F分别是BC、CD的中点，BD分别与AE、AF相交于点M、N，连接OE、OF、EF，下列结论：① 是等边三角形；②四边形CEOF是菱形；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①菱形ABCD中，AB=BC，又∠ABC=60°，
∴ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE平分∠BAC，
∴∠EAC=30°；
类似可得∠FAC=30°，
∴∠EAF=60°，
∵AB=AD，∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF
∴△AEF是等边三角形，故①正确；
②在三角形ACD中，点O、F分别是AC、CD的中点，
∴，OF∥AD∥CE；
类似可证OE∥CE，
∴四边形CEOF是平行四边形，
又∵，AD=CD，
∴OF=CF
∴四边形CEOF是菱形，故②正确；
③∵OF∥AD，
∴∠AFO=∠DAF=30°，
又∠AFE=60°，
∴FO是∠AFE的角平分线，
∵△AEF是等边三角形，
∴OF⊥AE，故③正确；
④易得∠ABM=∠BAN=30°，
∴MB=MA；
同理可证，NA=ND，
∵EF∥BD，且三角形AEF是等边三角形，
∴△AMN是等边三角形，
∴MA=MN=AN，
∴BM=MN=ND，故④正确.
故答案为：D.
20．如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是 ．
【答案】20
【解析】设交于点，如图所示，
根据作图可知分别为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴菱形的周长为，
故答案为：20．
21．已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为 .
【答案】2或或
【解析】（1）当点P在CD上时，如解图①，
图①
，，；
（2）当点P在对角线AC上时，如解图②，
，.
当时，，；
图②
（3）当点P在边AD上时，如解图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，
，，，，
，，
.
，在中，由勾股定理得，解得，（舍）.
综上所述，DP的长为2或或.
故答案为：2或或.
22．如图，在菱形中，点、分别是、的中点，连接交对角线于点，连接若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接BD交AC于O，
四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
点E、F分别为AB、AD的中点，四边形ABCD是菱形，
，，，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，．
故答案：.
23．如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的2倍，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图作AP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，过点G作MN∥AB交AD于M，交BC于N，作MT⊥CD于T，连接CG，设．
则易知，，，，，，
由题意，
，
整理得，
解得或舍弃，
.
故答案为：.
24．如图，在菱形中，.若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 .
【答案】
【解析】连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，
∴
在Rt中，AB=4，BO=，
∵，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴，
∴
又
∴，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在和中，
，
∴≌
∴，
∴.
故答案为：.
25．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作
CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求AG的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∠DAE=∠DAB=90°，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形.
（2）解：∵BC＝3，CD＝5，
∴AD＝3，ED＝5，
∴AE==4；
（3）解：由题意得:EF=CD=5，AE=4,∴AF=1,
连结GF，有菱形的性质知：CE平分∠FED,EF=ED;
∴△EGD≌△EGF
∴DG=GF
设DG=GF=x，AG=3-x
在Rt△AFG中：AF2+AG2=GF2
∴AG=
26．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的面积为 ．
【答案】（1）证明：∵，
∵，
∴四边形是平行四边形
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形
∴平行四边形是菱形
（2）
【解析】（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
过O作于P，则AP=PE
，
AE=
∴的面积．
故答案为：．
27．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1＝∠2﹒
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）E是AD上一点，连结CE交BD于点F，且DE＝DF，求证：DO＝ (DF+BC)﹒
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠1＝∠2，即∠ADB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DBC，
∴BC=CD
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O
∴O是BD中点，
∴BO＝DO= BD
∵DE＝DF，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∠DFE=∠BFC
∴∠BCF=∠BFC
∴BF=BC
∴DO= BD= (BF+DF)= (BC+DF)
28．综合与实践
在数学课上，王老师让同学们对两个全等的直角三角形纸片进行摆弄，如图1，，.
（1）如图2，将图1的两个直角三角形的斜边AB、DE重合，得到“筝形ACBF”，连接CF交AB于点O，若，则 ；
（2）如图3，将图1的两个直角三角形直角顶点C与顶点F重合，，连接BE，AD，求证：四边形ADEB是矩形；
（3）如图4，将图1的两个直角三角形的边AB、DE放到同一直线上，点C、F在AB的同侧，连接CE，AF，CF，若点E是AB的中点.请判断四边形CEAF的形状，并说明理由.
【答案】（1）1：4
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）解：四边形是菱形，理由如下：
证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形.
【解析】（1）∵，，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，即，
设，则，，
，
∴，即，
∴，，
∴；
故答案为：1：4；
29．如图，在 中，、分别是、的中点，，连接交于点．
（1）求证：≌；
（2）求证：四边形为菱形；
（3）过点作于点，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是，的中点，
，
在和中，，
≌；
（2）证明：是的中点，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（3）解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
30．如图，直线分别交轴，轴于点，，直线交轴于点，两直线相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）如图2，过点作轴交直线于点，连接，．求证：四边形是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，连接，，当，且时，求点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意可得：，
解得：，
点坐标
（2）证明：直线分别交轴，轴于点，，
点B(0，8)，点，
直线交轴于点，
点，
∵AE∥y轴交直线于点，
点
点B(0，8)，点，点，点，
，，，，
，
四边形是菱形；
（3）解：∵BC=AC，
∴∠ABC=∠CAB
，
，且，，
，
设点，
，
，
点在线段上，
，
点，
【直击中考】
31．（2022·襄阳）如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
【答案】D
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项D符合题意.
故答案为：D．
32．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
【答案】C
【解析】 ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 的面积相等，故A正确；
∵ ，
∴DF＝ AB=AE，
∴四边形 不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故答案为：C.
33．（2018·温州）如图，直线 与 轴、 轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．
【答案】
【解析】解 ：把x=0代入 y = x + 4 得出y=4，∴B(0，4)；∴OB=4； ∵C是OB的中点，∴OC=2，∵四边形OEDC是菱形，∴DE=OC=2；DE∥OC，把y=0代入 y = x + 4 得出x=，∴A(，0)；∴OA=，设D(x，) ，∴E(x，-x+2)，延长DE交OA于点F，∴EF=-x+2，OF=x，在Rt△OEF中利用勾股定理得：，解得 ：x1=0(舍），x2=；∴EF=1，∴S△AOE=·OA·EF=2.
故答案为：2
34．（2021·张家界）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 .
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2）解：当 时四边形 为菱形，
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形.
35．（2020·扬州）如图， 的对角线AC，BD相交于点O，过点O作 ，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE.
（1）若 ，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴ ，OA=OC，
又∵ ，
∴ ，
在△AOE和△COF中，
，
∴ .
∴FO=EO，
又∵ ，
∴ .
故EF的长为3.
（2）解：由（1）可得， ，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又 ，OE=OF，OA=OC，
∴平行四边形AECF是菱形.
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