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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 能力提升测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
2．如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
（第2题） （第3题） （第4题）
3．如的对角线与相较于O，，若，，则长（）
A．6 B．10 C．12 D．18
4．如图，在平行四边形中，O为对角线的中点，，点E为中点，并且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（ ）
A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 B．是中心对称图形但并不是轴对称图形
C．是轴对称图形但并不是中心对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
6．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
7．如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（第8题） （第9题） （第10题）
9．已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF.中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
10．如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别为CD，AD的中点，BF=2，BG=3， ，则BC的长度为（ ）
A． B． C．2.5 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．每一个多边形都可分割（分割方法如图）成若干个三角形．根据这种方法八边形可以分割成 个三角形．用此方法n边形能割成 个三角形．
（第11题） （第12题）
12．等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是 ．
13．在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；
②若，，则四边形是平行四边形；
③若，，则四边形是平行四边形；
④若，，则四边形是平行四边形.
其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
（第14题） （第15题）
15．如图， ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF= ，则AB的长是 ．
16．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，过点E作EF∥CD交BD于点F，连接CF，则CF的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
18．如图，平行四边形ABCD中，AE平分交BC于E，DF平分交BC于F．
（1）求证：；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），，，求直线AB与CD之间的距离．
19．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，则的长为 ．
20．如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD.
（1）求∠BAC的度数.
（2）若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长.
21．如图所示，的对角线与相交于点O，，垂足为点E，，，.
（1）求证：；
（2）求的长.
22．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
23．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x cm．
（1）当x为何值时，点的运动停止？
（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．
（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
24．我们知道平行四边形有很多性质. 如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论.
（1）发现与证明：
在□ABCD中， ，将 沿AC翻折至 ，连接 .
结论1： //AC;
结论2： 与□ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
请利用图①证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.
（2）应用与探究：
在□ABCD中，已知∠B=30°，将 沿AC翻折至 ，连接 .
如图①，若 ，则∠ACB= °，BC= ；
（3）如图②， ，BC=1， 与边CD相交于点E，求 的面积；
（4）已知 ，当BC长为多少时， ？
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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 能力提升测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【解析】∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3＝6．
多边形的内角和．
故答案为：C．
2．如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
【答案】D
【解析】∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故答案为：D
3．如的对角线与相较于O，，若，，则长（）
A．6 B．10 C．12 D．18
【答案】C
【解析】∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴，，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴，
∴AC＝2AO＝12，
故答案为：C．
4．如图，在平行四边形中，O为对角线的中点，，点E为中点，并且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵点O为AC的中点，点E为AD的中点，
∴OE∥CD，
∴∠COE＋∠ACD＝180°，
∴∠COE＝90°
∵∠D＝∠B＝53°，OF⊥BC，
∴∠FOC＝∠B＝53°，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝90°＋53°＝143°，
故答案为：D．
5．图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（ ）
A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 B．是中心对称图形但并不是轴对称图形
C．是轴对称图形但并不是中心对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】B
【解析】该图案是中心对称图形但并不是轴对称图形.
故答案为：B.
6．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【答案】A
【解析】用反证法证明“三角形至少有一个内角小于或等于60° ”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°.
故答案为：A.
7．如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
即点是的中点，
为的中点，
是的中位线，
，
故答案为：B．
8．如图所示，点E为内一点，连结，已知的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如图，过点作于点，
设和的和边上的高分别为和，
，，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
9．已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF.中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x＋180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确.
故答案为：A.
10．如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别为CD，AD的中点，BF=2，BG=3， ，则BC的长度为（ ）
A． B． C．2.5 D．
【答案】A
【解析】延长AD、BF交于点E,
∵F是中点，
∴CF=DF,
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠DEF，
又∠CFB=∠DFE，
∴△CBF≌△DEF，
∴BE=2BF=4，
过点E作EM⊥BG，
∵ ，
∴∠BEM=30°，
∴BM= BE=2，ME=2 ，
∴MG=BG-BM=1，
在Rt△EMG中，EG= =
∵G为AD中点，∴DG= AD=DE，
∴DE= = ，
∴BC= .
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．每一个多边形都可分割（分割方法如图）成若干个三角形．根据这种方法八边形可以分割成 个三角形．用此方法n边形能割成 个三角形．
【答案】6；（n﹣2）
【解析】八边形可以分割成6个三角形．用此方法n边形能割成（n-2）个三角形．
故答案为：6，（n-2）.
12．等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是 ．
【答案】8
【解析】为等边三角形，
四边形AEDF为平行四边形，
和为等边三角形，
∴四边形AEDF周长为：
故答案为：8．
13．在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；
②若，，则四边形是平行四边形；
③若，，则四边形是平行四边形；
④若，，则四边形是平行四边形.
其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【解析】①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD是平行四边形
因此③正确；
④作，连接BD'，
过点B作于E，在AE上截取，连接BD，
∵，，
∴，
将绕点B顺时针旋转，使BD'与BD重合，得到，
由作图可知：，，
∵四边形ABC'D'是平行四边形，
∴，，
∴，，
显然，图中的四边形ABCD不是平行四边形.
所以④错误；
故答案为：②③.
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
【答案】．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
15．如图， ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF= ，则AB的长是 ．
【答案】1
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴AB=DE=CD，即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°
∴CE=2CF
∵CE2 =CF2 +EF2，EF=
∴CE=2
∴AB= CE=1.
16．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，过点E作EF∥CD交BD于点F，连接CF，则CF的长为 .
【答案】
【解析】如图，连接CE，CF，过点E在EN⊥BD于N，过点C作CM⊥BD于M，
∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴BD＝＝5，
∵S△BCD＝×BD×CM＝×BC×CD，
∴×5×CM＝×4×3，
∴CM＝，
∵沿对角线BD折叠使点A落在平面内的点E处，
∴∠ABD＝∠EBD，AB＝BE＝3，
∵AB∥CD，EF∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC＝∠BFE，
∴∠DBE＝∠EFB，
∴BE＝EF＝3，
∴EF＝CD，
∴四边形FDCE是平行四边形，
∴CE∥DF，
∴NE＝CM＝，
∵BE＝EF，NE⊥BF，
∴BN＝NF＝
∵BM＝
∴MF＝，
∴CF＝
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
18．如图，平行四边形ABCD中，AE平分交BC于E，DF平分交BC于F．
（1）求证：；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），，，求直线AB与CD之间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠DAE=∠BAE，∠CDF=∠ADF，∴∠BAE=∠BEA，∠CDF=∠CFD，∴AB=BE，CD=CF，又AB=CD，∴BE=CF，∴BE－EF=CF－EF，∴BF=EC；
（2）解：如图，过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，
则∠BGE=∠FHC=90°，又∵AB=BE，FC=CD，∴GE=AE=，FH=DF=1，．∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠EAD=∠BAD，∠FDA=∠ADC，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠EAD+∠FDA=90°，∴AE⊥DF，又CH⊥DF，∴CH∥AE，∴∠BEG=∠FCH，又 ∠BGE=∠FHC，BE=FC，∴ΔBGE≌ΔFHC （AAS），∴BG=FH=1，∴在Rt△BGE中，，∵E为BC的三等分点，∴S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，∵AB=BE=2，AB∥CD，∴2h=，解得：h= ，即直线AB与CD的距离为．
19．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，则的长为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠EAD=∠EFC，∠EDA=∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴EC=ED，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）8
【解析】（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AB=CD=6
∴BC=FC，
∴BF=10，
∵∠BAF=90°，
∴
故答案为：8.
20．如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD.
（1）求∠BAC的度数.
（2）若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长.
【答案】（1）解：∵在 ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠B=180°-80°=100°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵∠ACE=2∠ECD ，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=5∠ECD=100°，
∴∠ECD=20°，
∴∠BCA=2∠ECD=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=180°-80°-40°=60°；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=80°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠E=∠D，
在△EFA与△DFC中
∴△EFA≌△DFC（AAS），
∴AF=CF=4，
∴AD=BC=4+2=6，
又∵∠ECD=20°，∠D=80°，
∴∠CFD=180°-∠D-∠ECD=180°-80°-20°=80°，
∴∠CFD =∠D，
∴CD=CF=4，
∴ ABCD的周长=AD+BC+CD+AB=6+6+4+4=20.
21．如图所示，的对角线与相交于点O，，垂足为点E，，，.
（1）求证：；
（2）求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，，，
∴OA = AC = 1，OB = BD = 2.
又∵AB = ，
∴OA2 + AB2 = OB2，
∴△BAO为直角三角形，且∠BAO = 90°，
∴；
（2）解：∵△BAC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴.
22．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
23．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x cm．
（1）当x为何值时，点的运动停止？
（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．
（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）解：∵BQ= xcm，AP= 2xcm，CM= 3xcm，DN= x cm.
则
解分别为：
∵
当 cm时，点的运动停止
（2）解：①当点 P 与点 N 相遇时，AP+DN=20
即：
解得： 舍)
∵
∴ 符合题意，点 P 与点 N 可能相遇
②当点 Q 与点 M 相遇时，BQ+CM=20，
即：x+3x=20
解得：x=5
∵
∴x=5不符题意，点Q与点M不可能相遇。
（3）解：∵当 N 点到达 A 点时， ，此时 M 点和 Q 点还未相遇，
∴点 Q 只能在点 M 的左侧.
①点 P 在点 N 的左侧时，如图
(符合)， (舍)，
②点P在点 N 的右侧时，如图：
(符合)， (舍)
综上，当 x=2或x=4时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形.
24．我们知道平行四边形有很多性质. 如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论.
（1）发现与证明：
在□ABCD中， ，将 沿AC翻折至 ，连接 .
结论1： //AC;
结论2： 与□ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
请利用图①证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.
（2）应用与探究：
在□ABCD中，已知∠B=30°，将 沿AC翻折至 ，连接 .
如图①，若 ，则∠ACB= °，BC= ；
（3）如图②， ，BC=1， 与边CD相交于点E，求 的面积；
（4）已知 ，当BC长为多少时， ？
【答案】（1）结论2：设AD与B′C交于点E，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC.
∵AB′=CD，∠AB′C=∠ADC，B′C=AD，
∴△AB′C≌△CAD，
∴∠ACB′=∠CAD，
∴AE=CE，
∴△ACE为等腰三角形，即△AB′C与□ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
（2）45；
（3）解：如图②,过点C分别作CG⊥AB,CH⊥AB'，垂足分别为G、H,
∴CG=CH.
在Rt△BCG，∠BGC=90°, BC=1，∠B=30°,
又
设AE=CE=x,由CE2=CH2+HE2,
得
∴△ACE的面积=
（4）解：如图：
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C.
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形.
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=∠CDA=30°.
∵△AB′D是直角三角形，当∠B′AD=90°，AB>BC时，设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°.
∵∠AB′D+∠ADB′=90°，
∴y-30°+y=90°，解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°.
∵AB′=AB=，
∴AD=，
∴BC=2.
当∠B′AD=90°，AB∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C.
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°.
∵∠B=30°，AB=，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=B′C=BC，
∴G为BC的中点.
在Rt△ABG中，BG==3，
∴BC=6.
综上所述，当BC的长为2或6时，△AB′D是直角三角形.
【解析】应用与探究： （2）∵平行四边形ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°.
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°.
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°.
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°.
作AG⊥BC于点G，
∴AG=CG.
∵∠B=30°，
∴AG=AB=，
∴CG=，BG=，
∴BC=BG+CG=.
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