(共14张PPT)
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积为 ，边长为 ，周长为 。
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= , △ABC是 三角形，∠ABD的度数为________ 。
等边
30 °
96
10
40
60 °
A
B
C
D
复习回顾
回顾反思 类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度
思考菱形的判定条件？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
？
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
求证：四边都相等的四边形是菱形．
如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求证：四
边形ABCD是菱形．
D
C
A
B
定理1：四边都相等的四边形是菱形．
证明：∵ AB=CD, BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
AC⊥BD．求证： ABCD是菱形．
B
C
A
D
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵BD⊥AC
∴AD=CD
∴平行四边形ABCD是菱形
三个角是直角
四条边都相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线互相垂直
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
四边形
平行四边形
矩形
菱形
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有__________
2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
O
A
D
C
B
(2) (3) (4)
C
A
D
C
B
例1、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形
O
E
F
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//FC(矩形的定义)
∴∠EAC=∠ACF
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO.
∴四边形是平行四边形
(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
1.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。
证明:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形
∵DE∥AC,
∴平行四边形AEDF是菱形.
∴∠ADE=∠DAF.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAF.
∴AE=ED.
∴∠DAE=∠ADE.
【课堂练习】
2.已知:如图,在四边形ABCD中,AC＝BD.E,F,G,H依次是AB, BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形.
∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴EF是△ABC的中位线, ∴EF＝AC(三角形的中位线等于第三边的一半).
同理,FG＝ BD,HG＝ AC,HE＝ BD
又∵AC＝BD, ∴EF＝FG＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
3.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠部分ABCD的形状，并说明理由。
A
C
D
B
解：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
∠AEB=∠AFD=900
因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∴∠ABE=∠ADF
∴△ABE≌△ADF(A.A.S)
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
1.本节课你学到了哪些知识？在学习知识的过程中，你体会或者应用到了哪些思想方法？
2. 你能归纳出菱形所有的判定方法吗？
3.本节课你还存在什么疑惑吗？
判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形.
【拓展延伸】
如图,DF,EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是:
这两条中 位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与
原三角形的边或角有什么关系.建议按下列步骤探索: (1)围成的四边形是否必定是平行四边形 (2)在什么条件下,围成的四边形是菱形 (3)在什么条件下,围成的四边形是矩形 (4)你还能发现其他什么结论吗
(1)必定是平行四边形.
(2)当AB＝BC时,围成的四边形是菱形.
(3)当∠B＝Rt∠时，围成的四边形是矩形
（4）平行四边形BEFD的面积是△ABC面积的一半；S△ADF＝S△FEC等登陆21世纪教育 助您教考全无忧
5.2菱形（2）同步练习
A组
1、下列结论正确的是( )
A.邻角相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2、(2013·海南中考)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )21世纪教育网版权所有
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60 D.∠ACB=60°
3、（2011 西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A、一组临边相等的四边形是菱形
B、四边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4、(2013·潍坊中考)如图,ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可) 21教育网
5、（2013年广州市）四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,则BD的长为_______62·1·c·n·j·y
6.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.
( http: / / www.21cnjy.com )
7、(2013·盐城中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD.
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
B组
8、（2013 曲靖）如图，在 ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（ ）
A． 梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
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9、如图所示，将两张等宽的 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 21·cn·jy·com
10、△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.[来源:学科(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.www.21-cn-jy.com
①求证:△AEB≌△ADC.
②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形 并说明理由.
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.
(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形 并说明理由.
11、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．21cnjy.com
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
A组
1、D 2、B 3、B
4、OA=OC(答案不唯一)
5、6
6、证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，
∴E为AB边的中点.
∴CE=AE=BE.
∵∠BAC=60°，
∴△ACE为正三角形.
在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE，
又CE=AE,
∴AE=AF.
∴△AEF也为正三角形.
∴∠CAE=∠AEF=60°.
∴AC ( http: / / www.21cnjy.com )EF.
∴四边形ACEF为平行四边形.
又CE=AC，∴平行四边形ACEF为菱形.
7、(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.
又∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.
∴∠ABE=∠EAD.
(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.21世纪教育网
又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
B组
8、C 9、18cm2．
10、(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
②四边形BCGE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.
又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形,
∴四边形BCGE是菱形.
11、（1）证明：∵在△ABC和△ADC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFE，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．
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5.2菱形（2）学案
教学过程：
1、 知识回顾
1.在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= , △ABC是 三角形，
∠ABD的度数为________ 。
2.已知：菱形ABCD中，对角线AC与 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积为 ，边长为 ，周长为 。21cnjy.com
二、新课
1.根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
有一组邻边_____的平行四边形叫做菱形
2、菱形的判定定理
定理1：四条边_____的四边形是菱形.
定理2：对角线互相_____的平行四边形是菱形
3、已知 □ ABCD的对角线AC、B ( http: / / www.21cnjy.com )D相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有__________21·cn·jy·com
4、下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
B、AB=BC=CD=DA
C、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
D、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
3、 例与练
例1、如图（见课件），在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形21教育网
.
课堂练习：
1、已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。
求证：四边形AEDF是菱形。 www.21-cn-jy.com
2.已知:如图,在四边形ABCD中,AC＝BD.E,F,G,H依次是AB, BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形. 2·1·c·n·j·y
3.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠部分ABCD的形状，并说明理由。
4、 课堂小结
你能归纳出菱形所有的判定方法吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5、 拓展延伸
如图,DF,EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是:这两条中 位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系.建议按下列步骤探索:
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形
(4)你还能发现其他什么结论吗 21世纪教育网版权所有
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