菱形 导学案（二）

菱形 导学案（二）
【学习目标】：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
【学习重难点】：菱形的两个判定方法
一、【课前准备】
菱形的定义：当 形 时，它就成了菱形。
菱形有哪些特殊性质？
1.边：__________________________;______________________________
2.角：__________________________;______________________________
3.对角线：_____________________________;___________________________________
二、【课中交流】
（一）、判定1（定义）：有 的 叫做菱形.
用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是 四边形 又 ∵ ___ ＝____， ∴□ ABCD是菱形
对应练习：.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点, 过D作DF∥AB交AC于F点. 求证：（1）四边形AEDF是平行四边形 （2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF是菱形
（二）、探究1：我们已经知道菱形的四条边都相等，这是菱形的性质。那么四条边都相等的四边形是菱形吗？我们用下图解释一下：
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
证明：∵AB=CD，DA=BC
∴四边形ABCD是 形（ ）
又∵AB=BC
∴ABCD是菱形（ ）
于是，得到菱形的识别方法：判定2：
用符号语言可以表示为：∵ ___ ＝____＝____＝____， ∴四边形ABCD是菱形
（三）、探究2：我们已经知道菱形对角线有互相垂直的性质。那么对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？我们用下图解释一下：
已知：
求证：四边形ABCD是菱形
分析：已知条件已给四边形ABCD是平行四边形，只需证出它有一组邻边相等，再根据菱形定义即可说明四边形ABCD是菱形。大家思考如何证明一组邻边相等呢？是在下面写出证明过程：
于是，得到菱形的另一种识别方法：判定3：
用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是 四边形，∵ ⊥ ， ∴□ ABCD是菱形
例1．如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的平分线。DE∥AC,交AB于点E；DF∥AB，交AC于点F。试说明四边形AEDF是菱形。
证明：∵
∴四边形AEDF是 形
∵DE∥AC
∴∠ADE=∠ （两直线平行，内错角相等）
∵AD是ΔABC的平分线
∴∠ = ∠
∴∠ = ∠
∴ （等角对等边）
∴AEDF是菱形
例2. 如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
三、【课堂小结】
四、【当堂训练】
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）
2、下列条件不能够判定平行四边形ABCD是菱形的是( ) A．AB=BC B．AC⊥BD C．AD=CD D．AC=BD
3、两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起，重叠部分的四边形是 形。

4、根据对角线的关系判定一个四边形是矩形或菱形必不可少的条件是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线垂直且相等
5、能够判别一个四边形是菱形的条件是（　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相平分 D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角
6、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
五、【课后作业】
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？
求证：（1）四边形ABCD是平行四边形
(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.
(3) 求证：四边形ABCD是菱形.
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分。
5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
6．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
六、【课后反思】通过本节课的学习，我的收获和困惑是：
四、中考链接
一、选择题
1. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
故选B．
2. （2011?莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
故选C．
3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
故选：B．
4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(　　)
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形
故选D．
5.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（　　 ）
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D. AC＝BD
故选C．
二、填空题
1. （2011?贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于　18cm2．
2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，?ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使?ABCD成为菱形．你添加的条件是　 　（不再添加辅助线和字母）
故答案为：AB=BC或AC⊥BD等．
三、解答题
1. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
解答：证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （SAS ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
2. （2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD，
∴四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中，E是AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝AD，而∠DAB＝60°
∴△AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE
∴平行四边形DEBF是菱形．
（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB ∴四边形AGBD是平行四边形
由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°，
∠EDB＝∠DBE＝30° 故∠ADB＝90°
∴平行四边形AGBD是矩形．
3.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解答：解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，
∴AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠CAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
4. （2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE，
∴BE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3=∠1，
∴AB=BE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四边形ABED是菱形．
（2）解：△CDE是直角三角形．
如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，
则四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，AD=EF=BE，
∵CE=2BE，
∴BE=EF=FC，
∴DE=EF，
又∵∠ABC=60°，AB∥DE，
∴∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=FC，
∴△CDE是直角三角形．
5. （2011?安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
6. （2011?西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是　矩形　．
解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD，
∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是菱形．
（2）∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE是矩形．
故答案为：矩形．
7.（2011?临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．
解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；
证明：（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
8. （2011丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解答：解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，
∴AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠CAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
9. （2011浙江宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，
∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，
（2）∵∠G＝90°，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．
10. （2011浙江衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
解答：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AE∥CD，且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE
（2）证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
11. （2011?安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=AB，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=AB ，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
12. （2011?恩施）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．
解答：解：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠ACF+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵△PEC≌△QFC，
∴PC=QC，
∴四边形APCQ是菱形．
13. （2011邵阳）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
解答：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，GF=BD，∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）添加的条件是AC=BD．

【课后作业】作业本（1）
【课后反思】通过本节课的学习，我的收获和困惑是：