2022-2023学年浙教版数学八年级下册4.1四边形 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·章丘期末）一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
2．（2022八下·太原期末）永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
3．（2020八下·定边期末）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2020八下·海沧期末）在四边形ABCD中， 的对角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·迁安期末）一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八下·定兴期末）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则 为
A．32° B．36° C．40° D．42°
7．（2022八下·薛城期末）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
8．（2022八下·温州期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
9．（2022八下·杭州期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1＝32°，∠3＝60°，则∠2等于（ ）
A．92° B．88° C．98° D．无法确定
10．（2021八下·宁波期中）下列结论：
①矩形的对角线相等；
②用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝8时，此方程可变形为（x﹣3）2＝1；
③若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是四边形；
④在直角坐标系中，点P（2，a﹣1）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则a+b＝﹣6；
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022八下·定海期末）一个多边形的每一个外角都为，则这个多边形是 边形．
12．（2022八下·历下期末）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ．
13．（2022八下·上城期末）在平行四边形中，：：：：：：，则 .
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 。
15．（2022八下·龙岗期末）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．
16．（2022八下·广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为 ．
三、作图题
17．（2019八下·永年期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件： 画出图形，把截去的部分打上阴影
（1）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 ．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 ．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为 ，求原多边形的边数．
四、解答题
18．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
19．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°
求证：∠ADE=∠ADC。
20．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
21．（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P的度数；如果∠A=90°，那么∠P的度数；如果∠A=x°，则∠P的度数；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系
（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系
（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：
22．已知在四边形ABCD中， .
（1） (用含 的代数式直接填空)；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，DE与BC交于点G，
求证：DE⊥BF；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.若x+y=120°，∠DFB=20°，请直接写出x，y的值.
23．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
24．（2017八下·宁城期末）在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，线段DE与线段AB相交于点E. 线段DF与线段AC相交于点F.
（1）如图一，若DF⊥AC，请直接写出DE与AB的位置关系；
（2）请判断DE与DF的数量关系.并写出推理过程.
（3）如图二，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F. （2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由.
（4）在∠EDF绕点D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的边数是：n＝360°÷（180°﹣135°）＝8．
故答案为：B．
【分析】利用正多边形的边数等于外角和除以一个外角的度数可得答案。
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形的每个内角的度数为，
故答案为：D．
【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求解即可。
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，
∴ 的对角是∠C，
故答案为：C．
【分析】根据四边形的表示方法回答即可.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意得：外角和，
∵，
∴，
∵，
∴该多边形为六边形．
故答案为：D
【分析】先求出，再根据求解即可。
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】正方形的内角为
正五边形的内角为
正六边形的内角为
故答案为：D.
【分析】观察图形可知∠1和正方形、正五边形和正六边形 的一个内角组成360°，分别求出正方形、正五边形和正六边形的一个内角，即可求得∠1的度数.
7．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3＝6．
多边形的内角和．
故答案为：C．
【分析】先求出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式求解即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D=180°×3÷5=108°，
∵∠CFB=57°，
∴∠BFD=180°-∠CFB=180°-57°=123°，
∵BF∥AG，
∴∠BAG+∠FBA=180°，
在五边形ABFDG中，
∴540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD=180°+123°+108°+∠AGD，
∴∠AGD=129°.
故答案为：C.
【分析】由正五边形性质求得∠D的度数，再由邻补角性质可求得∠BFD的度数，再根据平行线的性质得∠BAG+∠FBA=180°，最后在五边形ABFDG中，540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD，代入数据求出∠BAG的度数即可.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
又∵∠1+∠3＝92°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠2＝360°﹣180°﹣92°＝88°.
故答案为：B.
【分析】分别延长AB、CD，对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠4+∠5＝180°，根据已知条件可得∠1+∠3＝92°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，据此计算.
10．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；多边形内角与外角；矩形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；有理数的加法
【解析】【解答】解：①矩形的对角线相等，此结论正确；
②用配方法解一元二次方程x2-6x=8时，此方程可变形为（x-3）2=17，此结论错误；
③若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是四边形，此结论正确；
④在直角坐标系中，点P（2，a-1）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则b+2=-2，a-1=-3，
∴a=-2，b=-4，
∴a+b=-6，此结论正确.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可判断①；根据配方法的步骤可判断②；根据外角和以及内角和公式可得(n-2)×180°=360°，求出n的值，进而判断③；根据关于原点对称的点的坐标特征可得b+2=-2，a-1=-3，求出a、b的值，然后根据有理数的加法法则可判断④.
11．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数为：．
故答案为：十.
【分析】利用外角和360°除以外角的度数可得多边形的边数.
12．【答案】12°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为正多边形内角和为（n-2） 180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2） 180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2） 180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【分析】根据正多边的性质求出正五边形和正六边形的一个内角，再利用周角即可得到∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°。
13．【答案】45°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设，则，，，则有
，
解得，
即.
故答案为：45°.
【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=x，∠D=3x，根据四边形内角和为360°可得x的度数，据此解答.
14．【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
15．【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由图可知
∵∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6是六边形六个内角所对应的六个外角
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，
故填： 360°．
【分析】求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，即可作答。
16．【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AF⊥BC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∵∠B=35°，
∴∠EAF=∠B+∠AFB=125°，
∵CE⊥BE，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴PE=AP=PC=PF，
∴∠AEP=∠EAP，∠AFP=∠FAP，
∴∠AEP+∠EAF+∠AFP=250°，
∴∠EPF=360°-250°=110°，
故答案为：110°．
【分析】由垂直的定义得∠AFB=∠AFC=90°，∠AEC=90°，利用三角形外角的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得∠EAF=∠B+∠AFB=125°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得PE=AP=PC=PF，利用等边对等角得∠AEP=∠EAP，∠AFP=∠FAP，则∠AEP+∠EAF+∠AFP=250°，根据四边形的内角和可求出∠EPF的度数.
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则 ，
解得 ，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
18．【答案】解：设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x
解得x=70°.
∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由题意设出未知数，利用四边形内角和为360°，得出方程，从而得出结果。
19．【答案】证明：∠A=∠B=∠C，
∵由四边形的内角和为360°得
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A.
在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A，
∠ADE=∠ADC.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。
20．【答案】解：如图，连接BF.
∵∠A+∠G+∠AOG=180°，∠1+∠2+∠BOF=180°，∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠1+∠2.
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G=∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠BFE=(5-2)×180°=540°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用三角形内角和定理把∠A+∠G转化为∠1+∠2，再利用多边形内角和定理的计算公式可求得结果。
21．【答案】解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+ ）°；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2） 180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）
=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°．
（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
（5）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
故答案为：120，135，（90+）；（∠A+∠B）；∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
22．【答案】（1）360°-x-y
（2）证明： 平分 平分 ，
又
，
又
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD，∠A=x，∠C=y，
∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=360°-x-y.
故答案为：360°-x-y.
(3)由(1)得， ，
分别平分 ，
连结DB，则 ，
解方程组 可得
【分析】（1）利用四边形的内角和为360°，可表示出∠ABC+∠ADC.
（2）利用角平分线的定义可证得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM；再证明∠CBM=∠ADC，由此可推出∠CDE=∠CBF，利用三角形的内角和定理可证得∠BEG=∠C=90°；然后利用垂直的定义可证得结论.
（3）由(1)可知∠CDM+∠CBM=x+y，再利用角平分线的定义可证得∠CDF+∠CBF=（x+y）；连接BD，结合已知条件可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
23．【答案】（1）解：DE⊥BF，
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°又∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°∵∠ABC+∠MBC=180°∴∠ADC=∠MBC，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC∴∠EDC=∠ADC，∠EBG=∠MBC，∴∠EDC=∠EBG，∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90∴DE⊥BF
（2）解：DE∥BF，
连接BD，
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=∠NDC，∠FBC=∠MBC，
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°，
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°，
∴DE∥BF．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）DE⊥BF，延长DE交BF于G．易证∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（2）DE∥BF，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
24．【答案】（1）解：DE⊥AB
（2）解：DE=DF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∵点D是线段BC的中点.
∴BD=CD.
在△BED和△CFD中.
.
∴△BED≌△CFD.
∴DE=DF.
（3）解：成立.连接AD.
过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2.
∵点D是线段BC的中点.
∴AD是∠BAC的角平分线.
∴DM=DN
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°.∠A=60°.
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°.
∵∠EDF=120°.
∴∠EDF-∠EDN=∠MDN-∠EDN.
∴∠NDF=∠MDE.
在△EDM和△FDN中.
，
∴△EDM≌△FDN.
∴DE=DF.
（4）解：BE+CF=AB或BE-CF=AB
【知识点】全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）DE⊥AB，根据四边形的内角和定理即可求得∠AED=90°，所以DE⊥AB；
（2）方法①可以通过AAS证明△BED≌△CFD，得出结论；方法 ②也可以连接AD通过等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，利用角平分线性质定理得出；
（3）成立，证明：方法①可以恢复到图一，在图一的基础上证明全等得出结论；方法②也可以取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可；
（4）取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可得结论.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册4.1四边形 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·章丘期末）一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的边数是：n＝360°÷（180°﹣135°）＝8．
故答案为：B．
【分析】利用正多边形的边数等于外角和除以一个外角的度数可得答案。
2．（2022八下·太原期末）永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形的每个内角的度数为，
故答案为：D．
【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求解即可。
3．（2020八下·定边期末）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可.
4．（2020八下·海沧期末）在四边形ABCD中， 的对角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，
∴ 的对角是∠C，
故答案为：C．
【分析】根据四边形的表示方法回答即可.
5．（2022八下·迁安期末）一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意得：外角和，
∵，
∴，
∵，
∴该多边形为六边形．
故答案为：D
【分析】先求出，再根据求解即可。
6．（2020八下·定兴期末）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则 为
A．32° B．36° C．40° D．42°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】正方形的内角为
正五边形的内角为
正六边形的内角为
故答案为：D.
【分析】观察图形可知∠1和正方形、正五边形和正六边形 的一个内角组成360°，分别求出正方形、正五边形和正六边形的一个内角，即可求得∠1的度数.
7．（2022八下·薛城期末）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3＝6．
多边形的内角和．
故答案为：C．
【分析】先求出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式求解即可。
8．（2022八下·温州期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D=180°×3÷5=108°，
∵∠CFB=57°，
∴∠BFD=180°-∠CFB=180°-57°=123°，
∵BF∥AG，
∴∠BAG+∠FBA=180°，
在五边形ABFDG中，
∴540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD=180°+123°+108°+∠AGD，
∴∠AGD=129°.
故答案为：C.
【分析】由正五边形性质求得∠D的度数，再由邻补角性质可求得∠BFD的度数，再根据平行线的性质得∠BAG+∠FBA=180°，最后在五边形ABFDG中，540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD，代入数据求出∠BAG的度数即可.
9．（2022八下·杭州期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，若∠1＝32°，∠3＝60°，则∠2等于（ ）
A．92° B．88° C．98° D．无法确定
【答案】B
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
又∵∠1+∠3＝92°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠2＝360°﹣180°﹣92°＝88°.
故答案为：B.
【分析】分别延长AB、CD，对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠4+∠5＝180°，根据已知条件可得∠1+∠3＝92°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，据此计算.
10．（2021八下·宁波期中）下列结论：
①矩形的对角线相等；
②用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝8时，此方程可变形为（x﹣3）2＝1；
③若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是四边形；
④在直角坐标系中，点P（2，a﹣1）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则a+b＝﹣6；
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；多边形内角与外角；矩形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；有理数的加法
【解析】【解答】解：①矩形的对角线相等，此结论正确；
②用配方法解一元二次方程x2-6x=8时，此方程可变形为（x-3）2=17，此结论错误；
③若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是四边形，此结论正确；
④在直角坐标系中，点P（2，a-1）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则b+2=-2，a-1=-3，
∴a=-2，b=-4，
∴a+b=-6，此结论正确.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可判断①；根据配方法的步骤可判断②；根据外角和以及内角和公式可得(n-2)×180°=360°，求出n的值，进而判断③；根据关于原点对称的点的坐标特征可得b+2=-2，a-1=-3，求出a、b的值，然后根据有理数的加法法则可判断④.
二、填空题
11．（2022八下·定海期末）一个多边形的每一个外角都为，则这个多边形是 边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数为：．
故答案为：十.
【分析】利用外角和360°除以外角的度数可得多边形的边数.
12．（2022八下·历下期末）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ．
【答案】12°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为正多边形内角和为（n-2） 180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2） 180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2） 180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【分析】根据正多边的性质求出正五边形和正六边形的一个内角，再利用周角即可得到∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°。
13．（2022八下·上城期末）在平行四边形中，：：：：：：，则 .
【答案】45°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设，则，，，则有
，
解得，
即.
故答案为：45°.
【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=x，∠D=3x，根据四边形内角和为360°可得x的度数，据此解答.
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 。
【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
15．（2022八下·龙岗期末）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．
【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由图可知
∵∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6是六边形六个内角所对应的六个外角
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，
故填： 360°．
【分析】求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，即可作答。
16．（2022八下·广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为 ．
【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AF⊥BC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∵∠B=35°，
∴∠EAF=∠B+∠AFB=125°，
∵CE⊥BE，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴PE=AP=PC=PF，
∴∠AEP=∠EAP，∠AFP=∠FAP，
∴∠AEP+∠EAF+∠AFP=250°，
∴∠EPF=360°-250°=110°，
故答案为：110°．
【分析】由垂直的定义得∠AFB=∠AFC=90°，∠AEC=90°，利用三角形外角的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得∠EAF=∠B+∠AFB=125°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得PE=AP=PC=PF，利用等边对等角得∠AEP=∠EAP，∠AFP=∠FAP，则∠AEP+∠EAF+∠AFP=250°，根据四边形的内角和可求出∠EPF的度数.
三、作图题
17．（2019八下·永年期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件： 画出图形，把截去的部分打上阴影
（1）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 ．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 ．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为 ，求原多边形的边数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则 ，
解得 ，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
四、解答题
18．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
【答案】解：设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x
解得x=70°.
∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由题意设出未知数，利用四边形内角和为360°，得出方程，从而得出结果。
19．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°
求证：∠ADE=∠ADC。
【答案】证明：∠A=∠B=∠C，
∵由四边形的内角和为360°得
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A.
在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A，
∠ADE=∠ADC.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。
20．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
【答案】解：如图，连接BF.
∵∠A+∠G+∠AOG=180°，∠1+∠2+∠BOF=180°，∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠1+∠2.
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G=∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠BFE=(5-2)×180°=540°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用三角形内角和定理把∠A+∠G转化为∠1+∠2，再利用多边形内角和定理的计算公式可求得结果。
21．（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P的度数；如果∠A=90°，那么∠P的度数；如果∠A=x°，则∠P的度数；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系
（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系
（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：
【答案】解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+ ）°；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2） 180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）
=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°．
（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
（5）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
故答案为：120，135，（90+）；（∠A+∠B）；∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
22．已知在四边形ABCD中， .
（1） (用含 的代数式直接填空)；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，DE与BC交于点G，
求证：DE⊥BF；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.若x+y=120°，∠DFB=20°，请直接写出x，y的值.
【答案】（1）360°-x-y
（2）证明： 平分 平分 ，
又
，
又
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD，∠A=x，∠C=y，
∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=360°-x-y.
故答案为：360°-x-y.
(3)由(1)得， ，
分别平分 ，
连结DB，则 ，
解方程组 可得
【分析】（1）利用四边形的内角和为360°，可表示出∠ABC+∠ADC.
（2）利用角平分线的定义可证得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM；再证明∠CBM=∠ADC，由此可推出∠CDE=∠CBF，利用三角形的内角和定理可证得∠BEG=∠C=90°；然后利用垂直的定义可证得结论.
（3）由(1)可知∠CDM+∠CBM=x+y，再利用角平分线的定义可证得∠CDF+∠CBF=（x+y）；连接BD，结合已知条件可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
23．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
【答案】（1）解：DE⊥BF，
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°又∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°∵∠ABC+∠MBC=180°∴∠ADC=∠MBC，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC∴∠EDC=∠ADC，∠EBG=∠MBC，∴∠EDC=∠EBG，∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90∴DE⊥BF
（2）解：DE∥BF，
连接BD，
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=∠NDC，∠FBC=∠MBC，
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°，
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°，
∴DE∥BF．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）DE⊥BF，延长DE交BF于G．易证∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（2）DE∥BF，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
24．（2017八下·宁城期末）在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，线段DE与线段AB相交于点E. 线段DF与线段AC相交于点F.
（1）如图一，若DF⊥AC，请直接写出DE与AB的位置关系；
（2）请判断DE与DF的数量关系.并写出推理过程.
（3）如图二，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F. （2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由.
（4）在∠EDF绕点D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系。
【答案】（1）解：DE⊥AB
（2）解：DE=DF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∵点D是线段BC的中点.
∴BD=CD.
在△BED和△CFD中.
.
∴△BED≌△CFD.
∴DE=DF.
（3）解：成立.连接AD.
过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2.
∵点D是线段BC的中点.
∴AD是∠BAC的角平分线.
∴DM=DN
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°.∠A=60°.
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°.
∵∠EDF=120°.
∴∠EDF-∠EDN=∠MDN-∠EDN.
∴∠NDF=∠MDE.
在△EDM和△FDN中.
，
∴△EDM≌△FDN.
∴DE=DF.
（4）解：BE+CF=AB或BE-CF=AB
【知识点】全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）DE⊥AB，根据四边形的内角和定理即可求得∠AED=90°，所以DE⊥AB；
（2）方法①可以通过AAS证明△BED≌△CFD，得出结论；方法 ②也可以连接AD通过等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，利用角平分线性质定理得出；
（3）成立，证明：方法①可以恢复到图一，在图一的基础上证明全等得出结论；方法②也可以取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可；
（4）取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可得结论.
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