2022-2023学年浙教版数学八年级下册4.2平行四边形 课后测验
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·商河期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，则∠D＝（ ）
A．60° B．120° C．140° D．30°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
又∠B＝60°，
∴∠D＝60°．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得答案。
2．（2022八下·合阳期末）平行四边形的对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．互相垂直且平分
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意；
BD、平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，符合题意.
故答案为：C.
【分析】若平行四边形的对角线相等，则为矩形；若平行四边形的对角线互相垂直，则为菱形.
3．（2022八下·长安期末）若平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴，
∵AB=4，
∴．
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的对边相等，可证得AB=CD，AD=BC，再利用平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍，可求出BC的长.
4．（2022八下·大荔期末）如图，在中，DE平分，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵DE平分，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠ADE的度数，利用角平分线的定义可求出∠EDC的度数，然后根据∠ADC=∠ADE+∠EDC，代入计算求出∠ADC的度数.
5．（2022八下·钦州月考）已知 的对角线，的长分别为，，则长的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为12，8，
∴AO=CO=6，BO=DO=4；
∴2＜AB＜10.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得AO=CO=6，BO=DO=4，在△AOB中利用三角形三边关系即可得出AB的取值范围.
6．（2021八下·咸宁期末）如图，在 中， 与 相较于 ， 为 中点，连接 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于O，E为CD中点，
∴BO=DO，AB=CD，故A，D正确；
∴OE∥AD，且OE= AD，故C正确；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分、对边相等”可得OB=OD；AB=CD；由三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE∥AD，OE=AD.
7．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
8．（2022八下·牡丹江期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵平行四边形ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故答案为：B．
【分析】先求出△BOE≌△DOF，再求出S△BOE=S△AOB，最后求解即可。
9．（2022八下·宝安期末）如图，在 ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CD、BC于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线CH交AD于点E，连接BE，若DE＝5，AE＝3，BE＝4，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由作法得CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DC=DE=5，
∴AB=5，
在△ABE中，∵AE=3，BE=4，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，CE=．
故答案为：B．
【分析】利用四边形ABCD为平行四边形求得AB，根据勾股定理逆定理证得△ABE为直角三角形，在根据勾股定理即可解得CE。
10．（2021八下·新市区期末）如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动， 交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；正方形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点P的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小.
故答案为：A.
【分析】作PH⊥BC交BC的延长线于H，易得AD=BC=AB，∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠ADF，证明△ADF≌△BAE，得到DF=AE，根据平行四边形的性质可得DF=PE，∠DFE=∠DPE，易得∠BAE=∠PEH，证明△ABE≌△EHP，得到PH=BE，AB=EH=BC，推出BE=CH=PH，进而推出CP为∠DCH的角平分线，则∠DFE+∠EPC=∠DPE+∠EPC=∠DPC，据此判断.
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（2022八下·廉江期末）已知平行四边形中，比小40°，那么的度数是 ．
【答案】70°或70度
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是平行四边形
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：70°
【分析】根据平行四边形的性质求解即可。
12．（2022八下·博兴期末）已知中，，且AB的长是周长的，那么 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝6，且AB的长是四边形ABCD周长的，
∴四边形ABCD周长为：6÷＝32，
∴AB＋BC＝×32＝16，
∴BC＝16 AB＝16 6＝10．
故答案为10．
【分析】先求出四边形ABCD周长为6÷＝32，再利用AB＋BC＝×32＝16，即可得到BC的长。
13．（2022八下·昌平期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的 ．
【答案】不稳定性
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：它能伸缩是利用了四边形的不稳定性．
故答案为：不稳定性
【分析】根据四边形的不稳定性求解即可。
14．（2021八下·科尔沁左翼中旗期末）平行四边形中，对角线、交于点O，点E是的中点．若，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OC＝OA，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB＝2=6．
故答案为：6．
【分析】根据平行四边形的性质可得点Ｏ为ＡＣ的中点，再结合点Ｅ为ＢＣ的中点，利用三角形中位线的性质可得AB＝2OE=6。
15．（2022八下·紫金期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
【答案】．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】先求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可。
16．（2022八下·自贡期末）如图①，点为□边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止；设点经过的路径长为，△的面积为，与的函数图象如图②所示；若，则□的面积是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由函数图象可知，第一阶段x的值从0先变化到6，点E在AB上运动，面积逐渐变大，
∴AB＝6＝CD，
由函数图象可知，第二阶段x的值从6先变化到10，点E在BC上运动，面积保持不变，
∴BC＝10－6＝4，
如图，作BM⊥CD于点M，则∠BMC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CBM＝30°，
∴CM＝BC＝2，
∴BM＝，
∴□的面积是CD×BM＝6×2＝12，
故答案为：.
【分析】根据图象求出AB=CD=6，BC=4，作BM⊥CD于点M，则∠BMC=90°，则可求出∠CBM=30°，求得CM=BC=2，再利用勾股定理求得BM的长，从而求得平行四边形ABCD的面积.
三、作图题（共6分）
17．（2022八下·余姚期中）如图，在6 8的网格图中，A，B，C三点都在格点上，连接AB，试以AB边，画两个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形（要求四个顶点都在格点上）．
【答案】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；
（2）如图2，四边形ABCE为所作.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、C、D为顶点作一个平行四边形ABCD即可；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、D、C为顶点作一个平行四边形ABDC即可.
四、解答题（共8题，共84分）
18．如图所示，a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF，△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
【答案】解：△ABC和△DEF的面积相等。理由如下：
如图，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，
则S1=BCAH1，S2=EF·DH2
∵a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，
AHI=DH2
又∵BC=EF，
S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】 过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2， 根据平行线间的距离相等得出AHI=DH2，然后根据两个三角形等底等高，即可得出其面积相等.
19．（2022八下·钦州月考）如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明：连接AC，设AC与BD交于点O.如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】 连接AC，设AC与BD交于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，OB=OD， 结合已知推出OE=OF，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
20．（2017八下·厦门期中）如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．试判断BE与DF 的数量关系，并说明理由.
【答案】解：BE=DF，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE=DF.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，所以根据平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，用边角边可证得△ABE≌△CDF，所以BE=DF.
21．（2022八下·法库期末）如图，在中，，过点A作于点E，连接BE，延长EA至点F，使，连接DF．求证：．
【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明AB=EF，再利用“SAS”证明，即可得到DF=BE。
22．如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E先出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以 cm/s的速度运动，分别连结AF，CE．设点F运动时间为t（s），其中t＞0．
（1）当t为何值时，∠BAF＜∠BAC；
（2）当t为何值时，AE=CF；
（3）当t为何值时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC．
【答案】（1）解：当BF＜BC时，∠BAF＜∠BAC，
∴ ＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，∠BAF＜∠BAC
（2）解：分两种情况讨论：
点F在点C左侧时，AE=CF，
则2（t+1）=6﹣ t，
解得t= ；
②当点F在点C的右侧时，AE=CF，
则2（t+1）= t﹣6，
解得t= ，
综上所述，t= ，t= 时，AE=CF
（3）解：当BF+AE＜BC，S△ABF+S△ACE＜S△ABC，
t+2（t+1）＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据边越长，边所对的角越大，可得答案；（2）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；（3）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式．
23．（2022八下·本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点O，A，D在同一直线上），边与边相交于点E，此时，是等边三角形．
（1）求线段的长；
（2）求重叠部分的面积；
（3）点N在轴上，点M在直线上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，
，
，
，
，
（2）解：过点B作于点H，
∵四边形是平行四边形，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
∴的面积为，
（3）点M的坐标为，，．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(3)作轴交于点F，
∵，是等边三角形，
∴，，即，
∵，
∴，
以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，由以下3种情况：
①以BC为边长时，如图：
此时M与A重合，N与O重合，
∵，
∴；
②以BC为边长时，如图：作轴交于点G，延长CA交y轴与点K，可知：，
∵是等边三角形，∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
③以BC为对角线时，如图：作轴交于点P，
同理：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
综上所述：点M的坐标为，，．
【分析】（1）通过证明，即可得出答案；
（2）由直角三角形的性质求出AH的长，由三角形的面积公式即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用平行三角形的性质，列出方程即可求解。
24．（2022八下·承德期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B．
（1）求直线CD和直线OD的解析式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点P，交直线CD于点N．
①当PM为中位线时，求MN的长；
②是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线CD的解析式为，
将和代入，
得，
解得，
直线CD的解析式为，
设直线OD的解析式为，
将代入，得，
直线OD的解析式为．
（2）解：①∵PM是中位线，，
∴，
将代入，得出，
∴．
②存在；
理由：设M点坐标为，N点坐标为，
当时，以A、C、N、M为顶点的四边形为平行四边形．
即，解得或，满足条件的点M的横坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）①根据点M和点N的坐标，求出答案即可；
②设出点M和点N的坐标，根据平行四边形的性质求出答案即可。
25．（2022八下·杭州期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，连接 ；
若 ，求平行四边 的面积；
设 ，试求 与 满足的关系.
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
是等边三角形，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，
平行四边 的面积 ；
四边形 是平行四边形，
， ，
是等边三角形，
，
的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，
设 边上的高为 ， 的长为 ，
， ，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，由角平分线的定义可得∠BAE=60°，可得△ABE是等边三角形，可得AB=AE；
（2）①由题意得 ， 结合（1）可得AE=CE=BE，从而求出∠BAC=90°，由∠ABC=60°可得AC=AB，据此求出AB的长，由平行四边形的面积=2S△ABC即可求解；②由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，，由△ABE时等边三角形，可得BE=AB=mBC，由于△BOE的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，设 边上的高为 ， 的长为 ，分别表示出四边形OECD和△AOD的面积，代入已知等式即可求解.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册4.2平行四边形 课后测验
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·商河期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，则∠D＝（ ）
A．60° B．120° C．140° D．30°
2．（2022八下·合阳期末）平行四边形的对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．互相垂直且平分
3．（2022八下·长安期末）若平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
4．（2022八下·大荔期末）如图，在中，DE平分，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
5．（2022八下·钦州月考）已知 的对角线，的长分别为，，则长的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·咸宁期末）如图，在 中， 与 相较于 ， 为 中点，连接 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． 且 D．
7．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
8．（2022八下·牡丹江期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
9．（2022八下·宝安期末）如图，在 ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CD、BC于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线CH交AD于点E，连接BE，若DE＝5，AE＝3，BE＝4，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．8
10．（2021八下·新市区期末）如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动， 交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（2022八下·廉江期末）已知平行四边形中，比小40°，那么的度数是 ．
12．（2022八下·博兴期末）已知中，，且AB的长是周长的，那么 ．
13．（2022八下·昌平期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的 ．
14．（2021八下·科尔沁左翼中旗期末）平行四边形中，对角线、交于点O，点E是的中点．若，则的长为 ．
15．（2022八下·紫金期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
16．（2022八下·自贡期末）如图①，点为□边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止；设点经过的路径长为，△的面积为，与的函数图象如图②所示；若，则□的面积是 ．
三、作图题（共6分）
17．（2022八下·余姚期中）如图，在6 8的网格图中，A，B，C三点都在格点上，连接AB，试以AB边，画两个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形（要求四个顶点都在格点上）．
四、解答题（共8题，共84分）
18．如图所示，a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF，△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
19．（2022八下·钦州月考）如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
20．（2017八下·厦门期中）如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．试判断BE与DF 的数量关系，并说明理由.
21．（2022八下·法库期末）如图，在中，，过点A作于点E，连接BE，延长EA至点F，使，连接DF．求证：．
22．如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E先出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以 cm/s的速度运动，分别连结AF，CE．设点F运动时间为t（s），其中t＞0．
（1）当t为何值时，∠BAF＜∠BAC；
（2）当t为何值时，AE=CF；
（3）当t为何值时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC．
23．（2022八下·本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点O，A，D在同一直线上），边与边相交于点E，此时，是等边三角形．
（1）求线段的长；
（2）求重叠部分的面积；
（3）点N在轴上，点M在直线上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
24．（2022八下·承德期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B．
（1）求直线CD和直线OD的解析式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点P，交直线CD于点N．
①当PM为中位线时，求MN的长；
②是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022八下·杭州期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，连接 ；
若 ，求平行四边 的面积；
设 ，试求 与 满足的关系.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
又∠B＝60°，
∴∠D＝60°．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得答案。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意；
BD、平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，符合题意.
故答案为：C.
【分析】若平行四边形的对角线相等，则为矩形；若平行四边形的对角线互相垂直，则为菱形.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴，
∵AB=4，
∴．
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的对边相等，可证得AB=CD，AD=BC，再利用平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍，可求出BC的长.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵DE平分，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠ADE的度数，利用角平分线的定义可求出∠EDC的度数，然后根据∠ADC=∠ADE+∠EDC，代入计算求出∠ADC的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为12，8，
∴AO=CO=6，BO=DO=4；
∴2＜AB＜10.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得AO=CO=6，BO=DO=4，在△AOB中利用三角形三边关系即可得出AB的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于O，E为CD中点，
∴BO=DO，AB=CD，故A，D正确；
∴OE∥AD，且OE= AD，故C正确；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分、对边相等”可得OB=OD；AB=CD；由三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE∥AD，OE=AD.
7．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵平行四边形ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故答案为：B．
【分析】先求出△BOE≌△DOF，再求出S△BOE=S△AOB，最后求解即可。
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由作法得CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DC=DE=5，
∴AB=5，
在△ABE中，∵AE=3，BE=4，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，CE=．
故答案为：B．
【分析】利用四边形ABCD为平行四边形求得AB，根据勾股定理逆定理证得△ABE为直角三角形，在根据勾股定理即可解得CE。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；正方形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点P的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小.
故答案为：A.
【分析】作PH⊥BC交BC的延长线于H，易得AD=BC=AB，∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠ADF，证明△ADF≌△BAE，得到DF=AE，根据平行四边形的性质可得DF=PE，∠DFE=∠DPE，易得∠BAE=∠PEH，证明△ABE≌△EHP，得到PH=BE，AB=EH=BC，推出BE=CH=PH，进而推出CP为∠DCH的角平分线，则∠DFE+∠EPC=∠DPE+∠EPC=∠DPC，据此判断.
11．【答案】70°或70度
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是平行四边形
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：70°
【分析】根据平行四边形的性质求解即可。
12．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝6，且AB的长是四边形ABCD周长的，
∴四边形ABCD周长为：6÷＝32，
∴AB＋BC＝×32＝16，
∴BC＝16 AB＝16 6＝10．
故答案为10．
【分析】先求出四边形ABCD周长为6÷＝32，再利用AB＋BC＝×32＝16，即可得到BC的长。
13．【答案】不稳定性
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：它能伸缩是利用了四边形的不稳定性．
故答案为：不稳定性
【分析】根据四边形的不稳定性求解即可。
14．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OC＝OA，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB＝2=6．
故答案为：6．
【分析】根据平行四边形的性质可得点Ｏ为ＡＣ的中点，再结合点Ｅ为ＢＣ的中点，利用三角形中位线的性质可得AB＝2OE=6。
15．【答案】．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】先求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可。
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由函数图象可知，第一阶段x的值从0先变化到6，点E在AB上运动，面积逐渐变大，
∴AB＝6＝CD，
由函数图象可知，第二阶段x的值从6先变化到10，点E在BC上运动，面积保持不变，
∴BC＝10－6＝4，
如图，作BM⊥CD于点M，则∠BMC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CBM＝30°，
∴CM＝BC＝2，
∴BM＝，
∴□的面积是CD×BM＝6×2＝12，
故答案为：.
【分析】根据图象求出AB=CD=6，BC=4，作BM⊥CD于点M，则∠BMC=90°，则可求出∠CBM=30°，求得CM=BC=2，再利用勾股定理求得BM的长，从而求得平行四边形ABCD的面积.
17．【答案】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；
（2）如图2，四边形ABCE为所作.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、C、D为顶点作一个平行四边形ABCD即可；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、D、C为顶点作一个平行四边形ABDC即可.
18．【答案】解：△ABC和△DEF的面积相等。理由如下：
如图，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，
则S1=BCAH1，S2=EF·DH2
∵a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，
AHI=DH2
又∵BC=EF，
S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】 过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2， 根据平行线间的距离相等得出AHI=DH2，然后根据两个三角形等底等高，即可得出其面积相等.
19．【答案】证明：连接AC，设AC与BD交于点O.如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】 连接AC，设AC与BD交于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，OB=OD， 结合已知推出OE=OF，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
20．【答案】解：BE=DF，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE=DF.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，所以根据平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，用边角边可证得△ABE≌△CDF，所以BE=DF.
21．【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明AB=EF，再利用“SAS”证明，即可得到DF=BE。
22．【答案】（1）解：当BF＜BC时，∠BAF＜∠BAC，
∴ ＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，∠BAF＜∠BAC
（2）解：分两种情况讨论：
点F在点C左侧时，AE=CF，
则2（t+1）=6﹣ t，
解得t= ；
②当点F在点C的右侧时，AE=CF，
则2（t+1）= t﹣6，
解得t= ，
综上所述，t= ，t= 时，AE=CF
（3）解：当BF+AE＜BC，S△ABF+S△ACE＜S△ABC，
t+2（t+1）＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据边越长，边所对的角越大，可得答案；（2）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；（3）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式．
23．【答案】（1）解：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，
，
，
，
，
（2）解：过点B作于点H，
∵四边形是平行四边形，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
∴的面积为，
（3）点M的坐标为，，．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(3)作轴交于点F，
∵，是等边三角形，
∴，，即，
∵，
∴，
以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，由以下3种情况：
①以BC为边长时，如图：
此时M与A重合，N与O重合，
∵，
∴；
②以BC为边长时，如图：作轴交于点G，延长CA交y轴与点K，可知：，
∵是等边三角形，∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
③以BC为对角线时，如图：作轴交于点P，
同理：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
综上所述：点M的坐标为，，．
【分析】（1）通过证明，即可得出答案；
（2）由直角三角形的性质求出AH的长，由三角形的面积公式即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用平行三角形的性质，列出方程即可求解。
24．【答案】（1）解：设直线CD的解析式为，
将和代入，
得，
解得，
直线CD的解析式为，
设直线OD的解析式为，
将代入，得，
直线OD的解析式为．
（2）解：①∵PM是中位线，，
∴，
将代入，得出，
∴．
②存在；
理由：设M点坐标为，N点坐标为，
当时，以A、C、N、M为顶点的四边形为平行四边形．
即，解得或，满足条件的点M的横坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）①根据点M和点N的坐标，求出答案即可；
②设出点M和点N的坐标，根据平行四边形的性质求出答案即可。
25．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
是等边三角形，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，
平行四边 的面积 ；
四边形 是平行四边形，
， ，
是等边三角形，
，
的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，
设 边上的高为 ， 的长为 ，
， ，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，由角平分线的定义可得∠BAE=60°，可得△ABE是等边三角形，可得AB=AE；
（2）①由题意得 ， 结合（1）可得AE=CE=BE，从而求出∠BAC=90°，由∠ABC=60°可得AC=AB，据此求出AB的长，由平行四边形的面积=2S△ABC即可求解；②由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，，由△ABE时等边三角形，可得BE=AB=mBC，由于△BOE的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，设 边上的高为 ， 的长为 ，分别表示出四边形OECD和△AOD的面积，代入已知等式即可求解.
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