第四章 平行四边形单元测试卷（困难）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版初中数学八年级下册第四单元《平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则( )
A. B. C. D.
2. 若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( )
A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或
3. 如图，在平行四边形中，为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的除外三角形有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 如图，在 中，，，点在上，，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，动点从点出发沿射线运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
6. 下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有( )
正方形长方形等边三角形 线段角平行四边形
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 四边形中，，当满足条件时，四边形是平行四边形( )
A. B.
C. D.
8. 已知四边形的对角线，相交于点，且，，则下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在和中，，，，点、、分别为、、的中点，若绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，是边的中点，是边上的一点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时应假设( )
A. 没有一个角大于直角
B. 至多有一个角不小于直角
C. 每一个内角都为锐角
D. 至少有一个角大于直角
12. 用反证法证明“”，对于第一步的假设，下列正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数为___________。
14. 如图，四边形中，，，，于，点在射线上．，将绕着点顺时针旋转得到线段，则的面积为 ．
如图，在边长为的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为__________．
16. 如图，点，点，连结，点，分别是，的中点，在射线上有一动点当时，点的坐标是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知在四边形中，，．
如图连接，若，求证：．
如图，点，分别在线段，上，满足，求证：；
若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
18. 本小题分
如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，．
如图，若，求的度数；
如图，试说明：的度数与，的数量关系．
如图，若与相交于点，，请写出、所满足的等量关系式；
如图，若，判断、的位置关系，并说明理由．
19. 本小题分
如图，在四边形中，已知、、的面积之比是：：，点在边上，交于，设．
求的值；
若点分线段成的两段，且，试用含的代数式表示三边长的平方和．
20. 本小题分
如图，线段是线段经过某种变换得到的图形．
若点与点，点与点是对应点，第一象限内的点的坐标为，在这种变换下，点的对应点的坐标为______用含、的式子表示；
若点与点、点与点是对应点，第一象限内的点的坐标为，在这种变换下，点的对应点的坐标为______用含、的式子表示；
连接、，直接写出四边形的面积为______．
本小题分
如图，平行四边形，，．
如图，点在延长线上，，求证：点为中点；
如图，点在中点，是延长线上一点，且，求证：；
在的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形？并证明你的结论先补全图形再解答．
22. 本小题分
如图，在中，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
求证：四边形为平行四边形；
若，求平行四边形的面积．
23. 本小题分
如图，等边的边长是，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．
求证：；
求的长；
求四边形的面积．
24. 本小题分
如图所示，中，，于点，，．
求，的长．
若点是射线上的一个动点，作于点，连结．
当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．
设交直线于点，连结，，若，则的长为多少？直接写出结果．
25. 本小题分
如图，，，三点在一直线上，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点．
判断，是否成立，请说明理由。
如图，若，，不在同一直线上，请直接写出的结论是否成立。
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的定义以及多边形的内角和、三角形的内角和定理，关键是先求出的度数．
先求出的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解的度数．
【解答】
解：四边形中，，
因为和分别为、的平分线，
所以，
则
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，边形，，
若沿着直线截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少，
若沿着直线截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为或或，
故选：．
根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
同理可得，
，，，的面积均为 面积的，
与面积相等的三角形共个，
故选：．
可推出，进而得出，，，的面积均为 面积的，从而得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
4.【答案】
【解析】如图，过点作于点设，四边形是平行四边形．
，，．
，，
，，
，．
，，．
，，，
，，
．
，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明的边上高是定值．
作射线，垂足为点，作，垂足为点，先证明≌，得出，根据三角形面积公式可知，由于在动点从点出发沿射线运动的过程中，即和始终保持不变，因此的面积也保持不变．
【解答】
解：作射线，垂足为点，作，垂足为点，则，
，，
，
由旋转可知：，
≌，
，
由于在动点从点出发沿射线运动的过程中，即和的长度始终保持不变，
因此的面积也保持不变．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形根据中心对称图形的概念结合正方形、长方形、等边三角形、线段、角、平行四边形的性质即可解答．
【解答】解：绕某个点旋转能与自身重合的图形是中心对称图形，正方形、长方形、等边三角形、线段、角、平行四边形这六个图形中是中心对称图形的有正方形、长方形、线段、平行四边形四个图形．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，四边形中，已经具备，再根据选项，选择条件，推出即可，只有选项符合．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：、四边形的两组对边分别平行，、一组对边平行且相等，、两组对边分别相等，、对角线互相平分，、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【解答】
解：，错误，这样的四边形是等腰梯形．
，错误，这样的四边形是等腰梯形．
C、错误，这样的四边形是等腰梯形．
D、正确，根据同旁内角互补，得出另一组对边也平行．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，根据性质可以推出此四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的即可推出、、三项．
【解答】
解：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形为平行四边形，
，，．
所以，、、三项均成立，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判定的形状；连接、，，，首先证明，根据全等三角形的判定与性质和三角形的中位线性质证明是等腰直角三角形，然后根据勾股定理确定与的数量关系，利用三角形的面积公式求出的面积，最后求出的最大值，即可求解．
【解答】
解：连接、，，，如图：
，，，，
，，，，
，
根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得：，，
在和中，
，
，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
根据三角形的外角性质可得，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，
在旋转过程中，当、、三点在同一条直线上，且在的延长线上时，有最大值，最大值为，
面积的最大值为．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：延长至，使，连接，过作，垂足为，
，，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，
．
延长至，使，连接，过作，垂足为，结合利用三角形外角的性质可得，，可求得，再通过证明是的中位线，根据三角形中位线的性质可得，进而可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形中位线，含角的直角三角形，证明是的中位线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了用反证法证明命题的真假反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立注意在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角不小于直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角，即每一个角都是锐角．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反证法，解题关键是掌握反证法的步骤，根据反证法的步骤来解答即可．
【解答】
解：反证法第一步是假设命题反面成立，
的反面是，
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查多边形的内角与外角，利用内角和外角的关系求得、、、的和是解题的关键．
由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得．
【解答】
解：、、、的外角的角度和为，
，
，
五边形内角和，
，
，
故答案为．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况：当在线段上时，连接，由，，得是等边三角形，，又，，可得，根据将绕着点顺时针旋转得到线段，可得≌，从而；当在线段延长线上时，连接，同理可得，，，≌，即得．
本题考查四边形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类思想的应用．
【解答】
解：当在线段上时，连接，如图：
，，
是等边三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
将绕着点顺时针旋转得到线段，
，，
，
又，
≌，
；
当在线段延长线上时，连接，如图：
同理可得，，，≌，
，
综上所述，的面积为或；
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段的性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造平行四边形；首先过点作，且，连接交射线于，在线段上截取，首先证明，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，，再根据“两点之间线段最短”可知：此时有最小值，最小值为线段的长，最后利用勾股定理求出线段的长，即可求解．
【解答】
解：过点作，且，连接交射线于，在线段上截取，如图：
是边长为的等边三角形，于，
垂直平分线段，，，
，，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
根据“两点之间线段最短”可知：此时有最小值，最小值为线段的长，
，，
，
在中，，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
16.【答案】．
【解析】解：点，点是的中点，
，
点、分别是、的中点，
，，
在中，，
，点是的中点，
，
则，
点的坐标是，
故答案为：．
根据题意求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据坐标与图形性质解答．
本题考查的是考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】证明：，，
，
在和中，
≌
；
证明：延长至点，使，连接，
，
，
，
，
在和中，
≌
，，
，，
在和中，
≌
；
解：，
理由如下：如图，在延长线上找一点，使得，连接，
，
，
，
，
在和中，
≌
，，
，
，
，
在和中，
≌
，
，
，
．

【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
延长至点，使，连接，分别证明≌、≌，根据全等三角形的性质证明；
在延长线上找一点，使得，连接，分别证明≌、≌，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答．
18.【答案】解：由四边形内角和得，
，
；
，
理由：由四边形内角和得，
，
；
如图，连接，
由得，，
、分别平分四边形的外角和，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
；
平行，
理由：如图，延长交于，
由得，，
、分别平分四边形的外角和，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】，再根据可得答案；
由的思路可得结论；
连接，由知，利用角平分线和外角的性质可得，整理可得结论；
由知，，利用角平分线和外角的性质则有，，进而可得结论．
此题考查了平行线的判定，多边形的内角和公式，三角形外角性质，利用多边形的内角和公式是解题关键．
19.【答案】略解：不妨设、、的面积分别为、、．
，
的面积是，的面积是．
的面积是，的面积为，的面积是．
由此可得：，
即，
．
．
由知：、分别为、的中点，
又点分线段成的两段，
点是的重心．
而当延长到，使得，连接、后便得到平行四边形，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：，类似地有，其中点为边的中点．
，，
，
．
【解析】不妨设、、的面积分别为、、根据等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比，分别用表示相关一些三角形的面积，从而得到关于的方程，进行求解；
根据的结论，知、分别为、的中点，结合已知，得点是的重心．延长到，使得，连接、，构造平行四边形，根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解．
此题综合运用了平行四边形的性质和三角形的重心的性质．
20.【答案】解：；
；
．
【解析】
【分析】
本题考查了利用平移变换作图，关键是根据中心对称的性质，面积求解．
根据对应点的坐标利用平移的性质解答；
根据中心对称的性质写出坐标即可；
根据四边形的面积公式解答即可．
【解答】
解：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度点，
点的对应点的坐标为；
点与点关于原点对称，
点的对应点的坐标为；
如图所示：
四边形的面积．
故答案为：；；．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
≌，
；
即点为中点；
证明：在 中，
，，
，，
连接，如图所示：
是的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形为平行四边形，如图，
理由如下：
由知≌，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
【解析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
证明≌，即可得出结论；
根据平行四边形的性质得到，，连接，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形为平行四边形．
22.【答案】证明：在中，，，
．
在等边中，，
．
为的中点，
．
又，
≌．
在中，，为的中点，
，．
，
，
．
又≌，
．
又，
．
．
又，
，即．
四边形是平行四边形．
解：在中，，，
，，
．
【解析】在中，为的中点，则，，得到由≌，得又，得度．所以，又因为，所以，即，则四边形是平行四边形．
在中，求出，即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：在中，
、分别为、的中点，
为的中位线，
，
，
．
，，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
过点作于．
，，
，
，
．
【解析】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
利用三角形中位线定理即可解决问题．
先求出，再证明四边形是平行四边形即可．
过点作于，求出、即可解决问题．
24.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
．
分两种情况：
如图，当时，过作于，
，
，
，
；
当时，如图，
在和中，
≌，
，
；
分两种情况：
当在线段上时，如图，过作于，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
当在线段的延长线上时，如图，过作于，
同理得，
，
，
同理得：，
，
中，，
综上，的长为或．
【解析】本题考查的考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，三角形中位线定理有关知识．
根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长；
分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
分两种情况：
当在线段上时，如图，过作于，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，根据平行线的性质证明，得，最后利用勾股定理可得结论；
当在线段的延长线上时，如图，过作于，同理计算可得结论．
25.【答案】解：，理由如下：
，是等边三角形
，，，
又，
在和中
≌，
，，
，
在和中
≌，
；
仍成立，而不成立．

【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注意掌握．
易证≌，可得，，可证≌，可得；
易证≌，可得，，假设，可证≌，进而可得，从而得到、、在同一条直线上，这与题意、、不在同一直线上矛盾，故假设不成立．
【解答】
解：见答案；
，但．
理由．
和等边，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌．
全等三角形对应边相等，
全等三角形对应角相等．
．
理由：若，由可知≌，
，
又
则与有两边和一边的对角对应相等．
或不合题意，舍去
≌．
全等三角形对应角相等．
，
所以、、在同一条直线上，这与题意、、不在同一直线上矛盾，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)