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5.3正方形（1）同步练习
A组
1．下列条件中，能判定四边形是正方形的有（ ）．
A．4个角都是直角 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等、互相垂直，且互相平分
2．下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（ ）．
A．对角线互相垂直且相等的四边形; B．一条对角线平分一组对角的矩形
C．对角线相等的菱形; D．对角线互相垂直的矩形
3．矩形ABCD加上一个条件：_________，就可以得到正方形ABCD．
4．菱形ABCD加上一条条件：_________，就可以得到正方形ABCD．
5、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明。21世纪教育网版权所有
6、（2013 铁岭）如图，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．21教育网
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
B组
7、已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．
求证：四边形EFGH是正方形．
8、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.21cnjy.com
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
参考答案
A组
1、D 2、A
3、AB=BC或AC⊥BD
4、AC=BD或∠BAC=90°
5、证明：⑴连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点
∴AD为∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
⑵∠BAC＝90°， DE⊥DF.
6、（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
B组
7、解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，
推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形．
8、(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.
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2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形
若存在,它是什么图形
回顾并思考:
1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形
3.是否存在一个角是直角的菱形
若存在,它是什么图形
矩形、菱形
存在,是正方形
存在,是正方形
请在图中填上各种图形的名称和转化的条件
你能从上图的转化过程中给正方形下定义吗
有一个角是直角的菱形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
(1)对角线互相垂直,一个角是直角的四边形是正方形. ( )
(2)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形. ( )
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正方形.( )
(4)四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形. ( )
√
×
判断
√
√
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对角线相等
对角线垂直
对角线相等
对角线垂直
对角线垂直且相等
各平行四边形关系再认识
例1.已知:如图,△ABC中.∠ACB=90°,CD是角平分线,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E、F.
求证：四边形CFDE是正方形.
证明:∵ DF⊥AC,DE⊥BC,
∴ ∠DEC= ∠DFC=90°,
而∠ACB=90°,
∴四边形DEBF是矩形（ ）,
∵ CD平分∠ACB, DF⊥BC , DE⊥AB,
∴ DE= DF,
∴四边形DEBF是正方形（ ）.
有三个角是 直角的四边形是矩形
有一组邻边相等的矩形是正方形
1.已知:如图,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,
∠A＝∠C＝Rt∠. 求证:四边形ABCD是正方形.
提示:由已知可得∠ABD＝∠CBD＝45°, ∴ ∠ABC＝90°,所以以四边形ABCD是矩形, 又∵ AB＝AD, ∴ 四边形ABCD是正方形.
2.求证:依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形.
已知:如图,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点.
求证:四边形EFGH是正方形.
证明:在正方形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA(正方形的四条边相等). ∵E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点, ∴AE＝EB＝BF＝CF＝CG＝GD＝DH＝HA. ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D(正方形的四个角都是直角), ∴△AEH,△BEF,△CFG,△DGH是四个全等的等腰直角三角形, ∴HE＝EF＝FG＝GH, ∴四边形EFGH是菱形(四条边相等的四边形是菱形). ∵∠FEB＝∠AEH＝45°, ∴∠HEF＝180°-(45°+45°)＝90°, ∴菱形EFGH是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
3.已知:如图,在正方形ABCD 中,E,F,G,H分别是它的四条边上的点,且AE＝BF＝CG＝DH.
求证:四边形EFGH是正方形.
提示:由已知可得HA＝EB＝FC＝GD, 由此可得△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, ∴EF＝FG,GH＝HE, ∴四边形EFGH 是菱形. ∵∠FEB＝∠EHA, ∴∠FEB+∠AEH＝90°, ∴∠HEF＝Rt∠, ∴四边形EFGH 是正方形.
平行四边形
矩形
有一个角是直角
正方形
有一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
有一个角是直角
对 角 线 相 等
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5.3正方形（1）学案
教学过程：
一、回顾并思考:
1、我们已经学习过哪些特殊的平行四边形
2、是否存在一组邻边相等的特殊的矩形 若存在,它是什么图形
3、是否存在一个角是直角的菱形 若存在,它是什么图形
2、 新课教学
1、请在图中填上各种图形的名称和转化的条件
2、你能从上图的转化过程中给正方形下定义吗
3、判断
(1)对角线互相垂直,一个角是直角的四边形是正方形. ( )
(2)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形. ( )
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正方形.( )
(4)四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形. ( )
3、 例与练
例1、已知:如图,△ABC中.∠ACB=90°,CD是角平分线,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E、F. 求证：四边形CFDE是正方形.21世纪教育网版权所有
课堂练习：
1、已知:如图,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,∠A＝∠C＝Rt∠. 求证:四边形ABCD是正方形. 21教育网
2、求证:依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形.
3、已知:如图,在正方形ABCD 中,E,F,G,H分别是它的四条边上的点,且AE＝BF＝CG＝DH.
求证:四边形EFGH是正方形.
4. (2013·南京)如图，在四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.21cnjy.com
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形
4、 课堂小结
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