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专题3-3 方差和标准差
模块一：知识清单
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差。
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2.
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·四川成都·八年级期末）射箭时，新手成绩通常不太稳定．小明和小华练习射箭，第一局12支箭全部射进完后，两人的成绩如图所示．根据图中信息，估计小明和小华两人中为新手的是（）
A．小明 B．小华 C．都为新手 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据统计图可知，小华的射击不稳定，可判断新手是小李．
【详解】解：由统计图可以看出，小华的成绩在2至9环之间波动，小明的成绩在6至9环之间波动，
∴小华的成绩波动比小明的大，
∵波动性越大，方差越大，成绩越不稳定，∴新手是小华．故选：B．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟知波动性越大，方差越大，成绩越不稳定是解题的关键．
2．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）成都市某一周内每天的最高气温为：6，8，，，7，8，8（单位：℃），则这组数据的极差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】极差是一组数据里面最大数据与最小数据的差，以此来求解即可．
【详解】解：最大值为，最小值为6；；故答案为：4．
【点睛】本题考查极差的计算，极差反映了一组数据变化范围的大小，掌握极差的概念是求解的关键．
3．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）一组数据，……的方差为，其中能确定这组数据的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】C
【分析】根据方差公式可进行求解．
【详解】解：由方差可知这组数据的平均数是4；故选C．
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差公式是解题的关键．
4．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）已知一组数据：，，，，，，这组数据的平均数和极差分别是（ ）
A．0，8 B．，7 C．0，7 D．，8
【答案】A
【分析】根据平均数和极差的算法计算，即可求解．
【详解】解：这组数据的平均数为，极差为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了求平均数和极差，熟练掌握平均数和极差的算法是解题的关键．
5．（2022·辽宁营口·一模）某校举办“诗词大会”，九年级某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学，代表班级参加比赛，四名同学平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
如果要选择一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
【详解】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．故选：B．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据（ ）比较小
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】根据方差的意义:是反映一组数据波动大小，稳定程度的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立，故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【详解】根据方差的意义知，数据越稳定，说明方差越小，故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）我区某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解八年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了八年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示下列说法正确的是（ ）
自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5
人数/人 1 2 4 2 1
A．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3 B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1
C．本次调查学生自主学习时间的中位数是4 D．本次调查学生自主学习时间的众数是2
【答案】A
【分析】根据中位数、平均数、方差、众数的求法直接求解即可．
【详解】解：本次调查学生自主学习时间的平均数是：，故B不符合题意；本次调查学生自主学习时间的方差是：
，故A符合题意；
本次调查学生自主学习时间的中位数是；故C不符合题意；
本次调查学生自主学习时间的众数是；故D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握极差、平均数、方差、众数的求法是解题的关键．
8．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）10名工人某天生产同一个零件，个数分别是45，50，50，75，20，30，50，80，20，30.由于记件组长的不认真，经过核实，一名工人生产的80件错误，实际生产了90件，则实际生产的零件中与记录表中零件中，以下不变量为（ ）
A．中位数与平均数 B．众数与平均数 C．中位数与方差 D．中位数与众数
【答案】D
【分析】分别求出众数，平均数，中位数和方差即可进行判断即可．
【详解】众数为50，出现了三次，当其中的80改为90，众数也不会变，因此是不变量；
平均数是将所有的数据加起来除10，当其中的80改为90，则平均数会变大，因此是变量；
中位数先将数据排序为：20，20，30，30，45，50，50，50，75，80，中位数是，当其中的80改为90，中位数也不会变，因此是不变量；
方差为平均数减分别减去每个数的平方的和除10，当其中的80改为90，方差会变大，因此是变量．
综上所述，中位数与众数是不变量．
故选：D．
【点睛】此题考查平均数，众数，中位数和方差，解题关键是明确每个量的定义，直接计算来判断．
9．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如果将一组数据中的每个数都加上6，那么所得的一组新数据（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
【答案】C
【分析】由每个数都加上6，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都加上6，方差不变，据此可得答案．
【详解】解：如果将一组数据中的每个数都加上6，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都加上6，方差不变，故选：C．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
10．（2023·贵州遵义·校考一模）我校《足球》社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄（单位：岁） 11 12 13 14 15
频数（单位：名） 5 12 2
A．平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、中位数 D．众数、方差
【答案】C
【分析】根据表格数据可知总人数是30，从小到大排列后，中位数为第15和第16个数的平均数，在表格中找到都是12岁；再结合人数不能是负数，得到年龄13岁和年龄14岁的人都不会超过11岁，得到众数不变．
【详解】解：根据表格数据，可知总人数为，
从小到大排列后，中位数为第15和第16个数的平均数，都是12岁，故中位数是12不会随x的不同而变化；因为人数不能是负数，所以年龄13岁和年龄14岁的人都不会超过11，所以众数是12也不会随x的不同而变化；故选：C．
【点睛】本题考查众数、中位数、方差和平均数，理解这些统计量的定义，根据题目条件进行运算．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为最适合参加决赛的选手是______（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】丙
【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
【详解】解：∵，，，∴，
∵他们的平均成绩都是，∴最适合参加决赛的选手是丙．故答案为：丙
【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
12．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）数据，2，4，0，8的方差是______．
【答案】16
【分析】先计算出这组数据的平均数，再利用方差公式进行计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数，
方差，故答案为：16．
【点睛】本题考查了方差，熟记方差公式：是解题的关键．
13．（2023·贵州铜仁·校考一模）某射击运动员在一次训练中，射击10次，均中8环，这组数据的方差______．
【答案】0
【分析】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，根据方差的定义解答即可．
【详解】解：∵射击10次，成绩均为8环，∴平均数为8环，
，故答案为：0．
【点睛】本题考查了方差的定义，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）年世界杯小组赛于月日结束，B组、F组两组四个球队3场比赛积分数据如图所示，则积分较整齐的小组是_________．（填“B”或“F”）．
【答案】B
【分析】根据条形统计图分别求出两组的方差，依据方差越小越稳定，进行比较即可．
【详解】解：由图可知，B组平均分为：，
B组方差为：，
F组平均分为：，F组方差为：，
，故B组积分较整齐，故答案为：B．
【点睛】本题考查了读图能力、方差的计算及意义；解题的关键是根据方差公式求出方差．
15．（2023·广西柳州·校考一模）已知两组数据，A组为1，2，3，4，5；B组为0，3，3，3，6，则数据波动较大的是___________组．
【答案】B
【分析】先分别求出两组数据的方差，然后根据方差的大小作出判断即可．
【详解】解：A组数据的平均数为，
A组数据的方差为：，
B组数据的平均数为，
B组数据的方差为：，
∵，∴数据波动较大的是B组．故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的方差，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式：．
16．（2023春·八年级单元测试）已知一组数据，，3，，6的中位数是1，则这组数据的标准差为_________．
【答案】##
【分析】先中位数的概念列出方程，求出的值，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：由题意知，数据，，3，，6的中位数是1，
，
这组数据的平均数为：，
这组数据的方差为：，
∴标准差为故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数和方差．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，关键是根据中位数的概念求得的值．
17．（2023春·八年级单元测试）已知样本的平均数为100，方差是2，则________．
【答案】
【分析】先根据平均数的定义得到，则根据完全平方公式推出，再根据方差为2推出，进而推出，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵样本的平均数为100，
∴，∴，
∴，∴，
∵这组数据的方差是2，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平均数，方差和完全平方公式，正确根据方差和平均数的定义得到x、y的两个关系式是解题的关键．
18．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知一组数据、、、…、，其平均数为1，方差为；则另一组数据、、、…、的平均数为________，方差为________．
【答案】 3 5
【分析】一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，平均数变为原数的n倍，它的方差变为原数据的倍，由此即可求解．
【详解】解：∵一组数据、、、…、，其平均数为1，
∴数据、、、…、的平均数为：，
∵、、、…、的方差为，
∴、、、…、的方差是．故答案为：3，5．
【点睛】本题考查根据已知数据的平均数和方差，求另一组数据的平均数和方差，掌握平均数公式和方差公式是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．为庆祝二十大胜利召开，我区某中学举行了以“我心向党，喜迎二十大”为主题的知识竞赛活动，满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6．6，7，7，7，7，8，9．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 6.8 a 6 3.76
乙组 b 7 c 1.16
(1)以上成绩统计分析表中______，______，______．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【答案】(1)6；6.8；7(2)甲(3)选乙组参加决赛；理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
乙组学生得分的平均数为：，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6；6.8；7．
（2）解：甲组的中位数是6分，乙组的中位数是7分，而小明得了7分，小明的得分在甲小组中属中游略偏上，因此小明可能是甲组的学生．
故答案为：甲．
（3）解：选乙组参加决赛．理由如下：
∵，∴，乙组的成绩比较稳定，
甲乙组学生平均数相等，∴从平均数和方差看，应该选择乙组参加决赛．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，正确理解它们的含义是解题关键．
20．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）某校针对初三年级共200名男生一百米跑步成绩情况进行快速调查，其过程如下：
数据收集
（1）从初三年级200名男生中抽取10名学生进行摸底测试：
A．从初三年级重点班中随机抽取10名男生
B．从初三年级身高为的男生中随机抽取10名男生
C．从初三年级男生中随机抽取10名男生
D．从初三年级同年出生的男生中随机抽取10名男生
其中你认为合理的抽样方案是（ ）
数据整理
（2）下表是所抽取的10名男生一百米跑步的成绩（分为A、B两组，跑步成绩以16s为基准，快于16秒的部分计为正，慢于16秒的部分为计负）．
A组
B组
数据分析
（3）A、B两组百米跑步成绩的众数分别是________s、______s，中位数分别是________s、________s；
（4）在“数据整理”中，通过相关的计算，说明哪个组的成绩比较均匀；
数据说理
（5）在上述统计中，通过对数据分析至少举出三条理由说明A组成绩好于B组成绩．
【答案】（1）C；（3），；，；（4）A组的成绩比B组的成绩均匀，见解析；（5）理由见解析
【分析】（1）根据样本的随机性可得答案；
（3）由众数、中位数的定义进行判断，即可得到答案；
（4）分别求出两个组的平均数和方差，然后进行判断，即可得到答案；
（5）可以从方差、平均数、合格率、众数等进行判断即可．
【详解】解：（1）A、从初三年级重点班中随机抽取10名男生，不能体现随机性，故A不符合题意；
B、从初三年级身高为160cm~165cm的男生中随机抽取10名男生，不能体现随机性，故B不符合题意；C、从初三年级男生中随机抽取10名男生，故C符合题意；
D、从初三年级同年出生的男生中随机抽取10名男生，不能体现随机性，故D不符合题意；
故选：C；
（3）由题意可知，A组同学的成绩为：，，，，；
B组同学的成绩为：，，，，；
∴A组成绩的众数为：；B组成绩的众数为：；
A组成绩的中位数为：；B组成绩的中位数为：；
故答案为：，；，；
（4）根据题意，则（s），
（s），，
，∴，即A组的成绩比B组的成绩均匀；
（5）A组成绩好于B组成绩的理由是：①；②；
③∵A、B两组的合格率分别为，∴A组的合格率>B组的合格率；
④A组的成绩的众数是14s，B组的成绩的众数18s．
【点睛】本题考查了数据的统计与分析，解题的关键是掌握求众数、平均数、中位数、方差的公式，从而进行解题．
21．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）2022年3月23日下午，“天宫课堂”再次开讲．神舟十三号飞行乘组三名航天员又一次给全国的青少年带来了精彩的太空实验，传播了载人航天知识和文化．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取了40名学生进行了测试，并对成绩（满分10分，成绩取整数，7分以上（包括7分）为合格，9分以上（包括9分）为优秀）进行了整理，绘制了条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 中位数 合格率 优秀率
男生 6.52 2.9 56% 16%
女生 2.8 53% 13%
(2)男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩好于男生，请给出两条支持女生的理由；
(3)后面又追加了男女共5名同学（其中女生多于男生）的成绩，这5名同学成绩均为优秀，下面是关于追加后女生成绩信息的统计：
众数 中位数
追加前 8
追加后 9 7.5
请求出追加后女生的人数，并说明理由．
【答案】(1)表格见详解(2)理由见详解(3)追加后女生的人数为18人，理由见详解
【分析】（1）根据条形统计图可进行求解；（2）根据（1）中的数据可进行求解；
（3）根据题意及（1）中的数据可进行求解．
【详解】（1）解：由条形统计图可得：女生的平均分为；
男生的人数为25人，则中位数为第13位，即为7，女生人数为15人，则中位数为第8位，即为7；
所以补充成绩统计分析表如下：
平均分 方差 中位数 合格率 优秀率
男生 6.52 2.9 7 56% 16%
女生 6.6 2.8 7 53% 13%
（2）解：由（1）可知：女生的平均分比男生高，并且女生的方差比男生的方差小，说明女生的整体波动较小，所以女生的成绩比男生好；
（3）解：设追加女生的人数为x人，由题意可知追加的女生成绩均为9分，且中位数为7.5，说明x必为奇数，且中位数为第9、10两人的平均数，由此可知，
∴追加后女生的人数为18人．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差是解题的关键．
22．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中投进球的个数统计如下表：
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
(1)求甲、乙两名队员投进球个数的平均数；(2)如果从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选哪名队员？请说明理由．
【答案】(1)，(2)应选乙队员参加比赛，理由见解析
【分析】（1）根据平均数的求解公式，由题中表格数据代值求解即可得到答案；（2）根据方差的求解公式及其意义，由得到乙队员投进球的个数比较稳定，应选乙队员参加比赛．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴∴乙队员投进球的个数比较稳定，应选乙队员参加比赛．
【点睛】本题考查求平均数及利用方差作决策，熟练掌握平均数及方差的求解公式是解决问题的关键．
23．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）为持续推进青少年宪法学习宣传教育，九年级某班举行了“学宪法讲宪法”比赛，随机抽取了男、女各名学生的比赛成绩百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．
男生：名学生的成绩数据是：，，，，，，，，，．
女生：名学生成绩数据中，在组中的是：，，．
抽取的男生、女生学生竞赛成绩统计表
学生类别 平均数 中位数 众数 方差
男生
女生
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中男生还是女生成绩更稳定，并说明理由；(2)求出统计图中的值以及表格中的值：
(3)该校男生共人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀的男生学生人数是多少？
【答案】(1)男生成绩更稳定，理由见解析(2)，(3)
【分析】（1）根据方差的意义求解即可；
（2）先求出女生学生成绩落在组人数所占百分比，再根据百分比之和为求解可得的值，然后根据中位数的概念求的值即可；
（3）用总人数乘以样本中成绩优秀的男生学生人数对应的百分比即可．
【详解】（1）解：∵男生成绩的方差为，女生成绩的方差为，
∴女生成绩的方差大于男生成绩的方差，∴男生成绩更稳定；
（2）解：∵女生学生成绩落在组人数所占百分比为，
，即；
女生、组人数共有（人），
∴女生成绩的第、个数据分别为、，所以女生成绩的中位数；
（3）解：根据样本中男生优秀人数占比为，
估计名参加此次比赛成绩优秀的男生学生人数是（人）．
【点睛】考查方差、中位数的意义和计算方法、扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
24．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）寒假归来，为检测初三同学假期锻炼的效果并为一个月后的体考做准备，学校组织了一次体育模拟考试，考试后体育王老师为了解所带A、B两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取10名同学的立定跳远成绩（满分15分）进行整理、描述，分析（立定跳远成绩用x表示，x为整数，共分为3个等级：为不合格，为良好，为优秀），下面给出了部分信息：
A班10名同学立定跳远成绩：7，15，15，13，11，15，9，10，13，12
B班立定跳远成绩是“良好”等级的有5人，其成绩分别是：10，12，11，11．
众数 中位数 平均数 方差 优秀等级比例
A班立定跳远成绩 a 12.5 12 6.8 50％
B班立定跳远成绩 11 b 12 3.4 40％
B班立定跳远情况
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：表中的______，______；
(2)初三学生共有2000人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？
(3)根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】(1)15，11(2)400人
(3)A班的成绩更好，理由：A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%
【分析】（1）先求出B班“优秀”等级的人数，即可求出B班“不合格”等级的人数，在根据中位数、众数的定义即可作答；
（2）统计出A、B班“不合格”的人数，继而求解出样本中的不合格率，即可估计出全年级不合格人数；
（3）结合众数、平均数、方差、中位数以及优秀率作答即可．
【详解】（1）将A班成绩从小到大排列：7，9，10，11，12，13，13，15，15，15，
∴A班的众数为：15，故，
B班优秀的人数为：（人），
则B班不合格的人数为：（人）
将B班成绩从小到大排列：不合格（2人），10，12，11，11，优秀（4人），
则B班中位数为：，故；
（2）A、B班中不合格比例为：，即：（人），
答：估计初三年级立定跳远成绩不合格的有400人；
（3）∵A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%，∴A班的成绩更好，
即A班的成绩更好，理由：A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了中位数、众数、方差、平均数、扇形统计图以及用样本估计总体等知识，注重数形结合，并掌握利用中位数、众数、方差、平均数等参数做决策是解答本题的关键．
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专题3-3 方差和标准差
模块一：知识清单
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差。
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2.
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·四川成都·八年级期末）射箭时，新手成绩通常不太稳定．小明和小华练习射箭，第一局12支箭全部射进完后，两人的成绩如图所示．根据图中信息，估计小明和小华两人中为新手的是（）
A．小明 B．小华 C．都为新手 D．无法判断
2．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）成都市某一周内每天的最高气温为：6，8，，，7，8，8（单位：℃），则这组数据的极差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）一组数据，……的方差为，其中能确定这组数据的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
4．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）已知一组数据：，，，，，，这组数据的平均数和极差分别是（ ）
A．0，8 B．，7 C．0，7 D．，8
5．（2022·辽宁营口·一模）某校举办“诗词大会”，九年级某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学，代表班级参加比赛，四名同学平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
如果要选择一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据（ ）比较小
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
7．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）我区某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解八年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了八年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示下列说法正确的是（ ）
自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5
人数/人 1 2 4 2 1
A．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3 B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1
C．本次调查学生自主学习时间的中位数是4 D．本次调查学生自主学习时间的众数是2
8．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）10名工人某天生产同一个零件，个数分别是45，50，50，75，20，30，50，80，20，30.由于记件组长的不认真，经过核实，一名工人生产的80件错误，实际生产了90件，则实际生产的零件中与记录表中零件中，以下不变量为（ ）
A．中位数与平均数 B．众数与平均数 C．中位数与方差 D．中位数与众数
9．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如果将一组数据中的每个数都加上6，那么所得的一组新数据（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
10．（2023·贵州遵义·校考一模）我校《足球》社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄（单位：岁） 11 12 13 14 15
频数（单位：名） 5 12 2
A．平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、中位数 D．众数、方差
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为最适合参加决赛的选手是______（填“甲”或“乙”或“丙”）．
12．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）数据，2，4，0，8的方差是______．
13．（2023·贵州铜仁·校考一模）某射击运动员在一次训练中，射击10次，均中8环，这组数据的方差______．
14．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）年世界杯小组赛于月日结束，B组、F组两组四个球队3场比赛积分数据如图所示，则积分较整齐的小组是_________．（填“B”或“F”）．
15．（2023·广西柳州·校考一模）已知两组数据，A组为1，2，3，4，5；B组为0，3，3，3，6，则数据波动较大的是___________组．
16．（2023春·八年级单元测试）已知一组数据，，3，，6的中位数是1，则这组数据的标准差为_________．
17．（2023春·八年级单元测试）已知样本的平均数为100，方差是2，则________．
18．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知一组数据、、、…、，其平均数为1，方差为；则另一组数据、、、…、的平均数为________，方差为________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．为庆祝二十大胜利召开，我区某中学举行了以“我心向党，喜迎二十大”为主题的知识竞赛活动，满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6．6，7，7，7，7，8，9．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 6.8 a 6 3.76
乙组 b 7 c 1.16
(1)以上成绩统计分析表中______，______，______．(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
20．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）某校针对初三年级共200名男生一百米跑步成绩情况进行快速调查，其过程如下：
数据收集
（1）从初三年级200名男生中抽取10名学生进行摸底测试：
A．从初三年级重点班中随机抽取10名男生
B．从初三年级身高为的男生中随机抽取10名男生
C．从初三年级男生中随机抽取10名男生
D．从初三年级同年出生的男生中随机抽取10名男生
其中你认为合理的抽样方案是（ ）
数据整理
（2）下表是所抽取的10名男生一百米跑步的成绩（分为A、B两组，跑步成绩以16s为基准，快于16秒的部分计为正，慢于16秒的部分为计负）．
A组
B组
数据分析
（3）A、B两组百米跑步成绩的众数分别是________s、______s，中位数分别是________s、________s；
（4）在“数据整理”中，通过相关的计算，说明哪个组的成绩比较均匀；
数据说理
（5）在上述统计中，通过对数据分析至少举出三条理由说明A组成绩好于B组成绩．
21．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）2022年3月23日下午，“天宫课堂”再次开讲．神舟十三号飞行乘组三名航天员又一次给全国的青少年带来了精彩的太空实验，传播了载人航天知识和文化．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取了40名学生进行了测试，并对成绩（满分10分，成绩取整数，7分以上（包括7分）为合格，9分以上（包括9分）为优秀）进行了整理，绘制了条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 中位数 合格率 优秀率
男生 6.52 2.9 56% 16%
女生 2.8 53% 13%
(2)男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩好于男生，请给出两条支持女生的理由；
(3)后面又追加了男女共5名同学（其中女生多于男生）的成绩，这5名同学成绩均为优秀，下面是关于追加后女生成绩信息的统计：
众数 中位数
追加前 8
追加后 9 7.5
请求出追加后女生的人数，并说明理由．
22．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中投进球的个数统计如下表：
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
(1)求甲、乙两名队员投进球个数的平均数；(2)如果从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选哪名队员？请说明理由．
23．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）为持续推进青少年宪法学习宣传教育，九年级某班举行了“学宪法讲宪法”比赛，随机抽取了男、女各名学生的比赛成绩百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．
男生：名学生的成绩数据是：，，，，，，，，，．
女生：名学生成绩数据中，在组中的是：，，．
抽取的男生、女生学生竞赛成绩统计表
学生类别 平均数 中位数 众数 方差
男生
女生
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中男生还是女生成绩更稳定，并说明理由；(2)求出统计图中的值以及表格中的值：
(3)该校男生共人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀的男生学生人数是多少？
24．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）寒假归来，为检测初三同学假期锻炼的效果并为一个月后的体考做准备，学校组织了一次体育模拟考试，考试后体育王老师为了解所带A、B两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取10名同学的立定跳远成绩（满分15分）进行整理、描述，分析（立定跳远成绩用x表示，x为整数，共分为3个等级：为不合格，为良好，为优秀），下面给出了部分信息：
A班10名同学立定跳远成绩：7，15，15，13，11，15，9，10，13，12
B班立定跳远成绩是“良好”等级的有5人，其成绩分别是：10，12，11，11．
众数 中位数 平均数 方差 优秀等级比例
A班立定跳远成绩 a 12.5 12 6.8 50％
B班立定跳远成绩 11 b 12 3.4 40％
B班立定跳远情况
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：表中的______，______；
(2)初三学生共有2000人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？
(3)根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由（写出一条理由即可）．
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