浙教版八下数学期末（特殊平行四边形）总复习学案
知识链接：
1.在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3.如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）21cnjy.com
A． 矩形 B．菱形 C．正方形 D． 梯形
4.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A． 8 B. 6 C．4 D．2
5.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）A．24 B. 16 C． D．
6.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）【来源：21·世纪·教育·网】
7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 21·世纪*教育网
8.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
9.如图，菱形ABCD中，AB＝4，,,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是 2-1-c-n-j-y
10.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论： 21*cnjy*com
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
二．共同探索：
1.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.www-2-1-cnjy-com
(2) 若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG
沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．
如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD
于F.(1)∠DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；
(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.
4.已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.21·cn·jy·com
（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由.
巩固练习：
1.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分(ABC，P是BD上一点，过点P作PM(AD，PN(CD，垂足分别为M、N。(1) 求证：(ADB=(CDB；www.21-cn-jy.com
(2) 若(ADC=90(，求证：四边形MPND是正方形。
2.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．
课堂反馈：
1．四条边都相等，且对角线也相等的四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC＝4，则BD的长为( )
A．8 B．4 C ．2 D．8
3．如图，EF过矩形ABCD对角线交点O，且分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 ( )21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
4．四边形的四条边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形一定是( )2·1·c·n·j·y
A．两组角分别相等的四边形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
5．如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF＋EG等于（ ）21教育网
A． B． C．a D．2a
6.如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
浙教版八下数学期末（特殊平行四边形）总复习学案答案
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1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 21世纪教育网版权所有
OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等 7. 10 8. 135
9. 10. ①②④
共同探索：
1.解：（1）由□ABCD ，得AD=BC,AD∥BC.
由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.
由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.
∴BE=AE=EC， BE=5.
2.解：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,
由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.
(2)MN2=ND2+DH2.
理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，
∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,
再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，
∴MN2=ND2+DH2.
(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,
由Rt△ECF，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(舍去) ∴AG=12.
由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,
设NH=y,由Rt△NHD,得y2=(9-y)2+(3)2,y=5,即MN=5.
3.解：（1）相等. 理由如下:
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C=∠D=90°
∴∠BEC+∠CBE=90°
∵EF⊥BE ∴∠BEF=90°
∴∠DEF+∠BEC=90°
∴∠DEF=∠CBE
（2）BE=EF.理由如下:
∵AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD ∴∠BAE=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴AD=ED=BCA
∵∠C=∠D=90° ∠DEF=∠CBE
∴△DEF≌△CBE（ASA）
∴BE=EF
4.解：（1）如图①，过点G作于M.
在正方形EFGH中，.
又∵，∴⊿AHE≌⊿BEF.
同理可证：⊿MFG≌⊿BEF. ∴GM=BF=AE=2.
∴FC=BC-BF=10.
（2）如图②，过点G作于M.连接HF.
又
∴⊿AHE≌⊿MFG. ∴GM=AE=2.
（3）⊿GFC的面积不能等于2.
∵若则12- a =2，∴a=10.
此时，在⊿BEF中，
在⊿AHE中，
∴AH＞AD.
即点H已经不在边AB上.
故不可能有
巩固练习：
1.证明：(1) ∵BD平分(ABC，∴(ABD=(CBD。又∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD ( △CBD。∴(ADB=(CDB。
(2) ∵PM(AD，PN(CD，∴(PMD=(PND=90(。
又∵(ADC=90(，∴四边形MPND是矩形。
∵(ADB=(CDB，PM(AD，PN(CD，∴PM=PN。
∴四边形MPND是正方形。
2.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，
∵E、F为DC、BC中点，
∴DE=DC，BF=BC，
∴DE=BF，
∵在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，
∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6．
课堂反馈：
1. D 2. B 3. B 4. C 5. A
6.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
浙教版八下数学期末（特殊平行四边形）总复习练习
选择题
1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( ) A．24 B．16 C．4 D．2 21教育网
3.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．1721·cn·jy·com
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
5.如图的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是( )
A．S四边形ABDC＝S四边形ECDF B．S四边形ABDC < S四边形ECDF
C．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1 D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2
6.如图，在菱形ABCD中，点E、 F分别是AB、AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）2-1-c-n-j-y
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6【来源：21cnj*y.co*m】
7.如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A. B. C. D.
8.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）21·世纪*教育网
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
9.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )【出处：21教育名师】
A．12 B. 24 C. 12 D. 16
如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开
后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）
A．2＋ B．2＋2 C．12 D．18
二．填空题：
11.如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件_________________________________，使四边形ABCD为矩形． 21*cnjy*com
如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一
个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是
13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=
14.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD=
15.如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________
16.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________www.21-cn-jy.com
17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB,则∠EBC＝________
18．若菱形的两条对角线长是方程x2－8x＋15＝0的两个根，则该菱形的面积等于_______
19．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝________
20.如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠PAD＝_______
解答题：
21.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
求证：DF＝DC.
22.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.21cnjy.com
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
24.已知：如图4-3-46，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．2·1·c·n·j·y
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．
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25．如图，在正方形ABCD中，P是CD的中点，连PA并延长AP交BC的延长线于点E，连结DE，取DE的中点Q，连结PQ，求证：www-2-1-cnjy-com
26.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求证：AE＝DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
浙教版八下数学期末（特殊平行四边形）总复习练习答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
A
A
D
B
D
B
二．填空题：
11. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90° 12. 13.
14. 15. 12 16. 5 17. 18. 19. 20.
解答题：
21．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.
又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB.
∴DF＝AB.∴DF＝DC.
22．证明：由平移变换的性质，得
CF＝AD＝10 cm，DF＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC2＝AB2＋CB2，即AC＝10 cm.
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm.
∴四边形ACFD是菱形．
23．(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.
∴四边形AEBD是矩形．
(2)解：当△ABC是等腰直角三角形时，
矩形AEBD是正方形．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBA＝45°.∴BD＝AD.
由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴四边形AEBD是正方形．
24．(1)证明：在矩形ABCD中，
AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，
又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.
∴△ABM≌△DCM(SAS)．
(2)解：四边形MENF是菱形．证明如下：
E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE＝MF.
∴四边形MENF是平行四边形．
由(1)，得BM＝CM，∴ME＝MF.
∴四边形MENF是菱形．
(3)2∶1 解析：当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，∴AD＝2AM.
∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB.
∵∠A＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°.
同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.
∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．
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26.解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF.
(2)能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．
当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t.
解得t＝10 s，
∴当t＝10 s时，四边形AEFD为菱形．
(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝60°，∴AD＝AE＝t.
又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12 s.
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°.
∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝ s.
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝ s或t＝12 s时，△DEF为直角三角形．
