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第四章平行四边形 (4.1- 4.3) 姓名：
一、仔细选一选 (本大题有 10小题，每小题 3分，共 30分) A a
1. 已知：在四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D= 70°，则∠C的度数为
6
( ) ° 3
A
30 15°
A. 70° B. 90° C. 110° D. 140° 15°
B C b
2. 在平行四边形ABCD中，对角线AC ,BD交于点O，下列式子中一定成
13. 如图，小亮从A点出发前进 10m，向右转 15°，再前进 10m，又向右转 15°，
立的是 ( )
这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m.
A. AC⊥BD B. OA=OC C. AC=BD D. AO=OD
14. 如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点 C与点 A重合，这时点 D落在
3. 若点P(a,2)与Q( 1,b)关于坐标原点对称，则 a,b分别为 ( ) D 1，折痕为EF，若∠BAE= 55°，则∠D1AD= .
A. 1,2 B. 1, 2 C. 1,2 D. 1, 2 D1
A D
4. 过 n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成 8个三角形，则这个多
边形数是 ( ) A F D
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 F
5. 下列命题中的真命题是 ( ) B E C
A.关于中心对称的两个图形全等 B E C H
B.全等的两个图形是中心对称图形
C.中心对称图形都是轴对称图形 第 14题 第 15题
D.轴对称图形都是中心对称图形 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB= 3,AD= 4,∠ABC= 60°，过BC的
中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF
6. 六边形的内角和是 ( )
的面积是 .
A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080°
16. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB= 6,AD= 8,∠B= 60°，∠BAD与
7. 我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②等腰梯形；③平行四边形； ∠CDA的角平分线AE,DF相交于点G，且交BC于点E,F，则图中阴影
④等腰三角形；⑤圆.在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中 部分的面积是 .
心对称图形的有 ( )
三、全面答一答 (本大题有 7小题，共 66分)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17. (6分)一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为 1850°，求这个多
8. 平行四边形ABCD中，∠B= 45°,AD= 4cm，对边AB,CD之间的距离 边形的边数及除去这个内角的度数.
是 ( )
A. 2cm B. 2 2cm C. 4cm D. 3cm
A D A D
O
B C B C
第 8题 第 9题
9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，已知AD= 8,BD
= 12,AC= 6，则△OBC的周长为 ( ) 18. (8分)如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点
O任作一直线分别交AD,CB的延长线于E,F，求证：OE=OF.
A. 13 B. 17 C. 20 D. 26
10. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点 B落在点B′处.若
∠1=∠2= 44°，则∠B为 ( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
B
D D C
1 C2
O
A B A B
第 10题 第 11题
二、认真填一填 (本大题有 6小题，每小题 4分，共 24分)
11. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC= 8,BD= 6,AD= a则 a的取值
范围是 .
12. 已知：直线 a b，夹在 a,b之间的一条线段AB的长为 6，AB与直线 a的
夹角为 150°，则 a,b之间的距离为 .
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19. (8分)下列 3× 3网格图都是由 9个相同的小正方形组成，每个网格图中 22. (12分)已知如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A= 60°，E,F分别是
有 3个小正方形已涂上阴影，请在余下的 6个空白小正方形中，按下列要 AB,CD的中点，且AB= 2AD.
求涂上阴影： （1）求证：BD= 3EF；
(2)试判断EF与BD的位置关系，并说明理由.
D F C
（1）选取 1个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不 A E B
是中心对称图形；
（2）选取 1个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但
不是轴对称图形；
（3）选取 2个涂上阴影，使 5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
(请将三个小题依次作答在图 1、图 2、图 3中，均只需画出符合条件的一
种情形)
20. (10分)已知n边形的内角和 θ= (n 2) × 180°.
(1)甲同学说，θ能取 360°；而乙同学说，θ也能取 630°.甲、乙的说法对
吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若 n边形变为 (n+ x)边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法
确定 x.
23. (12分)如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ADB= 90°,OA= 5,BD=
6,OE⊥AC交AB于E，连结CE，求△EBC的周长.
21. (10分)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=∠B=∠BCD=∠D=∠E,
AB=BC=AE=DE.
求证：(1)AC DE； A
(2)CD=DE.
B E
C D
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第四章平行四边形 (4.1- 4.3) 姓名：
一、仔细选一选 (本大题有 10小题，每小题 3分，共 30分) A D A D
1. 已知：在四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D= 70°，则∠C的度数为 M
( C )
O
A. 70° B. 90° C. 110° D. 140°
B C B C
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A+∠B= 180°
∵∠B= 70∴∠A= 180° - °= 第 8题 第 9题70 110°
故答案应选为: A 【解答】 如图，过点C作CM AB，垂足为M
在平行四边形ABCD中，∠B= 45°,AD = 4cm
2. 在平行四边形ABCD中，对角线AC ,BD交于点O，下列式子中一定成 ∴BC = 4cm
立的是 ( B ) ∴CM =BM = 2 2
A. AC⊥BD B. OA=OC C. AC=BD D. AO=OD 故选B
【解答】 本题主要考查平行四边形的性质平行四边形的对角线互相平分，因 9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，已知AD= 8,BD
此OB=OD，OA=OC，故C项正确故本题正确答案为B = 12,AC= 6，则△OBC的周长为 ( B )
3. 若点P(a,2)与Q( 1,b)关于坐标原点对称，则 a,b分别为 ( B ) A. 13 B. 17 C. 20 D. 26
A. 1,2 B. 1, 2 C. 1,2 D. 1, 2 【解答】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
P(a,2) ∴OA=OC= 3，OB=OD= 6，BC=AD= 8,【解答】 点 与Q(-1,6)关于坐标原点对称.a，6分别为 1，-2
B ∴△OBC 的周长=OB+OC+AD= 3+ 6+ 8= 17故本题选
故选:B.
4. 过 n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成 8个三角形，则这个多
( C ) 10. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点 B落在点B′处.若边形数是
∠1=∠2= 44°，则∠B为 ( C )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
【解答】 由过n边形的一个顶点的所有对角线把这个n边形分成n- 2个三
角形这一结论可知这个多边形的边数为 10，选C BD D C
1 C
5. 下列命题中的真命题是 ( A ) 2
A. 关于中心对称的两个图形全等 O
B. 全等的两个图形是中心对称图形 A B A B
C. 中心对称图形都是轴对称图形
第 10题 第 11题
D. 轴对称图形都是中心对称图形
【解答】 由折叠得∠BAC=∠B'AC
【解答】 对于A，成中心对称的两个图形一定全等，故A选项是真命题 ∵DC//AB
对于B，全等的两个图形不一定对称，则全等的两个图形不一定是中 ∴∠DCA= ∠BAC
心对称图形，故B选项是假命题 ∴∠DCA=∠B'AC
对于C，关于中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，即中心 ∴∠1= ∠B'AC +∠DCA
对称图形不一定是轴对称图形，故C选项是假命题 ∴∠1= 2∠BAC = 2∠BAC
对于D，关于某条直线轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心 ∵∠1= ∠2 = 44°
对称，即轴对称图形不一定中心对称图形，故D选项是假命题 ∴∠BAC = 12 × 44° = 22°.
故选A
∴∠B= 180° -∠BAC -∠2 = 180° - 22° -44° = 114°
6. 六边形的内角和是 ( B ) 故选:C.
A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 二、认真填一填 (本大题有 6小题，每小题 4分，共 24分)
【解答】 由内角和公式可得:(6- 2) × 180° = 720故选:B. 11. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC= 8,BD= 6,AD= a则 a的取值
范围是 1< a< 7 .
7. 我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②等腰梯形；③平行四边形；
【解答】 如图，AC,BD交于点O
④等腰三角形；⑤圆.在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中
∵四边形ABCD是平行四边形
心对称图形的有 ( A )
∴OA=OC= 4,OB=OD= 3,
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 在△AOD中，有三角形的三边关系得 4- 3
【解答】 如果一个图形沿着一条直线对折两侧的图形能完全重合，这个图形 即 1< a< 7
就是轴对称图形.
12. 已知：直线 a b，夹在 a,b之间的一条线段AB的长为 6，AB与直线 a的
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与
夹角为 150°，则 a,b之间的距离为 3 .
原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形
①②④⑤是轴对称图形，③⑤是中心对称图形 A a
∴⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形 6
3 A
故选:A 30° 15°
b 15°
8. 平行四边形ABCD中，∠B= 45°,AD= 4cm，对边AB,CD C之间的距离 B
是 ( B )
A. 2cm B. 2 2cm C. 4cm D. 3cm
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13. 如图，小亮从A点出发前进 10m，向右转 15°，再前进 10m，又向右转 15°， ∵n是自然数
这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 240 m. ∴n- 2= 11即n= 13
∴ x= 180° × 11- 1850° = 130°
【解答】 360÷ 15 = 24,则一共走了 24× 10= 240m故选C 答:这个多边形的边数是 13，除去这个内角的度数是 130度
14. 如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点 C与点 A重合，这时点 D落在 18. (8分)如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点
D ，折痕为EF，若∠BAE= 55°，则∠D AD= 55° . O任作一直线分别交AD,CB的延长线于E,F，求证：OE=OF.1 1
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形 【解答】 在 ABCD中，AO=CO，AD BC
∴∠BAD=∠C ∴∠E= ∠F，∠EAO =∠FCO
由折叠的性质得∠D AE=∠C， 在△AOE和△COF中1
∵∠D1AE=∠BAD
∴∠DAD=∠BAE= 55°
∠E =∠F
∠EAO =∠FCOAO =CO
D1 ∴△AOE≌△COF(AAS)
A D ∴OE=OF
A F D 19. (8分)下列 3× 3网格图都是由 9个相同的小正方形组成，每个网格图中
F 有 3个小正方形已涂上阴影，请在余下的 6个空白小正方形中，按下列要
求涂上阴影：
B E C
B E C
H
第 14题 第 15题
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB= 3,AD= 4,∠ABC= 60°，过BC的
中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF
的面积是 2 3 . （1）选取 1个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不
是中心对称图形；
【解答】 ∵平行四边形ABCD
（2）选取 1个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但
∴AB=CD= 3，AD=BC= 4
不是轴对称图形；
∵EF AB
（3）选取 2个涂上阴影，使 5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
∴EH DC，∠BFE= 90°
(请将三个小题依次作答在图 1、图 2、图 3中，均只需画出符合条件的一
∵∠ABC= 60°
种情形)
∴∠HCB=∠B= 60°
∴∠FEB= ∠CEH= 180° -∠B- ∠BFE= 30°
∵E为BC的中点
∴BE=CE= 2
∴CH=BF= 1
由勾股定理得: EF=EH= 3, 【解答】
∴S△DFH= 12 FE×DH= 2 3 20. (10分)已知n边形的内角和 θ= (n 2) × 180°.
(1)甲同学说，θ能取 360°；而乙同学说，θ也能取 630°.甲、乙的说法对
16. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB= 6,AD= 8,∠B= 60°，∠BAD与
吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
∠CDA的角平分线AE,DF相交于点G，且交BC于点E,F，则图中阴影
(2)若 n边形变为 (n+ x)边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法
部分的面积是 14 3 .
确定 x.
【解答】 ∵平行四边形ABCD A D
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 【解答】 (1)将 360°代入 θ= (n -2) × 180得到 360° = (n -2) × 180°解得 nBAD ADC B BAD
180°, = 4AD BC G
∵ ∠ ∠ , 将 630°代入 θ= (n- 2) × 180得到 630° = (n- 2) × 180°解得 n=BAD与 CDA的角平分线 AE
B C 5.5DF相交于点G F E
∴∠ = ∵n边形的边数应该为整数AGD 90°,AB=BE,CD=CF
∴△ ∴甲的说法对，乙的说法不对ABE为等边三角形且S△ABE=S△CDF
∴ = + - ∴甲同学说的边数n是 4S S△ABE S△CDF 2S△EFG
3 3 (2) (n+ x -2) × 180° - (n -2) × 180= 360°= 24 × 6 × 2- 2× 4 × 6+ 6- 8
2
解得 x= 2
= 14 3
21. (10分)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=∠B=∠BCD=∠D=∠E,
三、全面答一答 (本大题有 7小题，共 66分) AB=BC=AE=DE.
17. (6分)一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为 1850°，求这个多 ( A求证：1)AC DE；
边形的边数及除去这个内角的度数. (2)CD=DE.
【解答】 设这个多边形的边数是n，除去的这个内角为 x度,由题意得 【解答】 (1) ∵∠BAE= ∠B= ∠BCD = ∠DB E
(n -2) × 180° -x= 1850°所以 x = (n- 2) × 18° -1850° = ∠E且 ∠BAE + ∠B + ∠BCD +
∵ 0< x< 180° F∠D+∠E= 540°
∴ 0<(n -2) × 180° -1850° < 180° ∴ ∠BAE = ∠B= ∠BCD=∠D =
∴ 1850° < (n- 2)×180° < 180° +1850 ∠E= 108°
∴ 10.28<(n - 2) < 11.28 C D
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∵AB = BC，∠ABC = 108° ∴EA=EC
∴∠BAC = ∠BCA= 36° ∴C△EBC=EC+CB+BE
∴∠CAE =∠DCA= 72° =EA+CB+BE
∴∠CAE +∠AED = 180° =AB+BC
∴AC DE. = 2 13+ 4
2 过D作DF AE o
∴四边形DEAF为平行四边形,∠EAC=∠DFC= 72° =∠DCA
∴AE=DF=CD
∴CD=DE
22. (12分)已知如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A= 60°，E,F分别是
AB,CD的中点，且AB= 2AD.
（1）求证：BD= 3EF；
(2)试判断EF与BD的位置关系，并说明理由.
D F C
A E B
【解答】 (1)证明: 如图，连接DE
∵AB= 2AD，E是AB的中点 D F C
∴AD = AE
又∵∠A= 60°
∴△ADE是等边三角形
∴DE = AE = BE A E B
∴∠ADE=∠DEA=∠A= 60°
∴∠DBA=∠EDB= 30°
∴∠ADB= 90°
∵AB = 2AD
∴BD = 3AD
在 ABCD中，AB CD,AB=CD
∵E,F分别是AB,CD的中点，
∴DF AE,DF = AE D F C
∴四边形AEFD是平行四边形 O
∴EF=AD
∴BD = 3EF: A E B(2)EF与BD互相垂直平分理由如下:
连接BF,
∵在 ABCD中，E、F分别是AB,CD的中点，
∴DF BE,DF =BE
∴四边形BEDF为平行四边形
∴EF与BD互相平分
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD EF
∴∠ADB=∠EOF= 90°
∴EF与BD互相垂直平分.
23. (12分)如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ADB= 90°,OA= 5,BD=
6,OE⊥AC交AB于E，连结CE，求△EBC的周长.
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，OA= 5，DB= 6
∴DO= 12 BD= 3，AD=BC
在Rt△AOD中，AD= OA2-OD2= 52 -32= 4
∴BC=AD= 4
在Rt△ABD中，AB= 62+42= 2 13
∵O为AC中点，OE垂直AC
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