第五单元《特殊平行四边形》（困难）（含解析）

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浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第五单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是( )
A. B. C. D.
2. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是( )
A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形
3. 如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为，若，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：；；；点运动的路程是，其中正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
5. 如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上连接，交于点，交于点给出以下结论：
；；和的面积相等；当点与点重合时，，其中正确的结论共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，下列结论中，一定正确的个数是( )
是等腰三角形；；
四边形是菱形；．
A. B. C. D.
7. 已知菱形的边长为，，为上的动点，在上，且，设的面积为，，当点运动时，能正确描述与关系的图象是( )
B.
C. D.
8. 如图，菱形中，，，点是边上一点，点在上，在以下四个结论中不正确的是( )
A. 若，则≌
B. 若，，则
C. 若，则周长的最小值
D. 若，则
9. 如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论中，错误的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点若，，下列结论：≌；点到直线的距离为；； 其中正确的序号是( )
A. B. C. D.
11. 如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在边长为的正方形中，是对角线上一点，且，点是上一动点，则点到边，的距离之和的值( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是定值 D. 是定值
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，延长矩形的边至点，使，连结，如果，则______度．
14. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为______．
15. 如图，在菱形中，，，点为边上一点，，点为边上的一动点，沿将翻折，点落在点处，当点在菱形的对角线上时，的长度为_______．
16. 正方形，，，按如图的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线和轴上，则点的坐标是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，已知正方形和正方形，连结、．
求证：，；
连接、、，点、、分别是、、的中点，连接，，，求证：是等腰直角三角形；
若，，，直接写出______．
18. 本小题分
四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
如图，求证：矩形是正方形；
若，，求的长度；
当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
19. 本小题分
如图，中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交内角平分线于．
求证：；
当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论；
若边上存在点，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论。
20. 本小题分
如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，则当_______时，四边形是矩形．
21. 本小题分
如图所示，已知是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为坐标原点，点在轴上，点在轴上，且，，在边上选取一点，将沿翻折，使点落在边上，记为点．
求所在直线的解析式；
设点在轴上，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点有几个，并求出所有满足条件的点的坐标；
在轴、轴上是否分别存在点、，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
22. 本小题分
定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边不重复相等的四边形叫做“准菱形”．
如图，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．
如图，在边长为的正方形网格中，、、在格点小正方形的顶点上，请分别在图、图中画出“准矩形”和“准菱形”要求：、在格点上；
下列说法正确的有_______；填写所有正确结论的序号
一组对边平行的“准矩形”是矩形；
一组对边相等的“准矩形”是矩形；
一组对边相等的“准菱形”是菱形；
一组对边平行的“准菱形”是菱形．
如图，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点．
若，求证：“准菱形”是菱形；
在的条件下，连接，若，，，请直接写出四边形的面积．
23. 本小题分
如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接，交于点．
证明：四边形是菱形；
若，．
求的面积；
若直线上有一点，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长．
24. 本小题分
如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒．
若、分别是、的中点，且，求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形．
在的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？
若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．
25. 本小题分
已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，上，，连接．
当四边形为正方形时，求的长；
当的面积为时，求的长；
当的面积最小时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】
解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，
，
即
，
解得，
．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】
解：已知：如图，四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，
求证：四边形是对角线垂直的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：设，，
，
，
沿直线折叠，使点落在边上的点处，
，，，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
化简变形得：，
把代入得：
，
解得或舍去，
，
故选：．
设，，在中，可得，由，有，即得，而，知，可得，即，把代入可解得．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理及三角函数列方程解决问题．
4.【答案】
【解析】解：，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论正确；
如图，连接，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
故结论正确；
，
，即，
故结论正确；
如图，延长至，使，连接，
≌，，
点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，
，
点运动的路程是，
故结论正确；
故选：．
根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论正确；
如图，连接，利用证明≌，再证明≌，即可得出结论正确；
通过等量代换即可得出结论正确；
如图，延长至，使，连接，通过≌，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论正确；
本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：由折叠可知，点是点关于折痕的对称点．
设交于点，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，可知，，
故正确．
四边形是矩形，
，．
又，，
，
．
又由折叠可知，
，故正确．
过点作于，
，，
，即是的平分线．
又，，
．
在中，，
的面积大于的面积，故错误．
在中，，，
．
由知，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形，
．
根据菱形的每条对角线平分一组对角，可知，故正确．
正确的结论有，共个故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的判定，菱形的判定有关知识，根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】
解：，
，，
又≌，
，，，
，
是等腰三角形，故正确；
同理可证，是等腰三角形，
，，
是的中位线，
，故正确；
，，
又，，，
，故正确．
而无法证明四边形是菱形，故错误．
所以一定正确的结论个数有个，
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、动点问题的函数图象、三角形的面积问题．求出与的函数关系式是解决问题的关键．
证明是等边三角形，求出的面积与的函数关系式，即可得出答案．
【解答】
解：连接，如图所示：
菱形的边长为，，
和都为正三角形，
，，
，而，
，
在和中，，
≌；
，，
，
即，
为等边三角形；
，的面积，
作于，则，，
，
，
，
；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：、四边形是菱形，
，，
、都是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，，
≌故A正确．
B、，，
，
是等边三角形，
，，
同理，，
，，
是等边三角形，
故B正确．
C、在和中，
，
≌，
，，，
，
是等边三角形，
的周长，
等边三角形的边长最小时，的周长最小，
当时，最小，
的周长最小值为，故C正确
D、错误，当时，，此时是变化的不是定值．故D错误．
故选：．
A、正确，只要证明≌即可证明．
B、正确，只要证明，是等边三角形即可．
C、正确，只要证明≌得出是等边三角形，因为的周长，所以等边三角形的边长最小时，的周长最小，只要求出的边长最小值即可．
C、错误，当时，，由此即可判断．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，，
≌
故正确，，，
，
，
故正确，
一定成立故正确．
假设，
已证，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
在中，，
，这与正方形的边长相矛盾，
，假设不成立，故错误；
故错误的只有一个．
故选：．
【分析】
本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质．
根据四边形是正方形及，可证出≌，则得到：，以及和的面积相等，得到；；可以证出，则一定成立．错误的结论是：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理的运用，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
首先利用已知条件根据边角边可以证明≌；
可证是等腰，故B到直线距离为，故是错误的；
由可得，故BE不垂直于过点作延长线于，由得所以，可以得出就可以得出正确，
由≌，可知，然后利用已知条件计算即可判定；
连接，根据三角形的面积公式得到，所以，由此即可判定．
【解答】
解：四边形是正方形，
，．
，
，
，
，
即．
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，
，故正确．
过作，交的延长线于，则的长是点到直线的距离，
在中，由勾股定理得，
在中，，，由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，故是错误的；
≌，
，
，因此是错误的；
连接，则，
所以，
所以故正确；
综上可知，正确的有．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作于点，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
在中，，
平分，，，
，
又，
，
，
，
，．
设，则，
在和中，，
，解得，
，
．
点，分别为，的中点，
为的中位线，
故选D．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，作于点，则，
正方形的性质可知，
为等腰直角三角形，
正方形的边长为，
，
，
，，
，
，
，
则点到边，的距离之和的值是定值
故选：．
连接，作于点，由正方形的性质可知为等腰直角三角形，，可求，利用面积法得，将面积公式代入即可．
本题主要考查正方形的性质，三角函数，等面积法，解决此题的关键是用等面积求出．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
【解答】
解：连接，
四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，即，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了翻折变化折叠问题，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到一对角相等，对应边相等，再由矩形对边相等且平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，，过作垂直，利用勾股定理及面积法求出与的长，即可确定出坐标．
【解答】
解：由折叠得：，，
矩形，
，，，
，
，
，
，
，
设，则有，
在中，根据勾股定理得：
解得：，即，，
过作，
，
，，
则
故答案为
15.【答案】或
【解析】解：分两种情况：当点在菱形对角线上时，如图所示：
：由折叠的性质得：，，
四边形是菱形，，
，
，
；
当点在菱形对角线上时，如图所示：
设，
由折叠的性质得：，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
∽，
，即，
，
解得：或不合题意舍去，
，
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
分两种情况：当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得：，，证出，得出；
当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得：，，，求出，证明∽，得出，求出，由比例式，求出的值即可．
本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．
16.【答案】为正整数
【解析】解：设直线与轴交点为，
当时，，当时，，
，，
，
，
轴，
，
，
四边形为正方形，
，．
同理可得：，，，，，
，为正整数．
故答案为：为正整数．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可找出部分点、的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．亦可利用等腰直角三角形的性质结合一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标，进而得出点的坐标
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“，为正整数”是解题的关键．
17.【答案】证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
证明：如图，
由三角形中位线定理可得：，，
，，
，，
即是等腰直角三角形；

【解析】
证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
证明：如图，
由三角形中位线定理可得：，，
，，
，，
即是等腰直角三角形；
解：如图，
过点作垂直于的延长线于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【分析】根据证明与全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
利用三角形中位线定理证得是等腰直角三角形；
过点作垂直于的延长线于点，利用勾股定理得出，进一步得出，利用勾股定理得出结果．
此题考查三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，结合图形和数据，灵活作出辅助线解决问题．
18.【答案】证明：如图，作于，于，
正方形为正方形，
，
，，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
矩形是正方形；
如图中，在中．，
，
，
，
此时点为中点，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，
，
；
或．
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
作于，于，证明≌，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
分两种情形考虑问题即可．
【解答】
解：见答案：
见答案；
当与的夹角为时，即
，
则在四边形中，
当与的夹角为时，，
，
，
，
综上所述，或．
故答案为或．
19.【答案】见解析；运动到的中点时；运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时
【解析】试题分析：根据平分，，找到相等的角，即，再根据等边对等角得，同理，可得．
利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
利用已知条件及正方形的性质解答．
试题解析：平分，
，
，
，
，
，
同理，，
．
当点运动到中点处时，四边形是矩形．
如图，，
四边形为平行四边形，
平分，
，
同理，，
，
四边形是矩形．
是直角三角形
四边形是正方形，
，故，
，
，
，
是直角三角形．
考点：正方形的性质；平行线的判定与性质；矩形的判定．
20.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
又为的中点，
，
在和中，
，
≌；
，
四边形是平行四边形；
．
【解析】
【分析】
由证明≌，得出，即可得出结论；
由平行四边形的性质得出，由三角形的外角性质求出，得出，证出，即可得出结论．
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【解答】
解：解：若，则当时，四边形是矩形．
理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
故答案为．
21.【答案】解：由题意知，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理知：，即，
解得，
，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
当在的正半轴上，时，点与点重合，则；
当在的负半轴上，时，则；
当时，作于点，有，则；
当时，由勾股定理知，即，
解得，即；
满足为等腰三角形的点有四个：
；；；；
作点关于的对称点，点关于轴的对称点，连接，
分别交于轴、轴于点、点，则点、是所求得的点．
在中，
四边形的周长．

【解析】本题综合考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质、等腰三角形的判定．运用了分类讨论思想．
由于，，在中，由勾股定理求得的值，再在中，由勾股定理建立关于的方程求解；
分四种情况：在的正半轴上，时，时，时；在的负半轴上，时，分别可以求得点对应的点的坐标；
作点关于的对称点，点关于轴的对称点，连接，分别交于轴、轴于点、点，则点、是所求得的点，能使四边形的周长最小，周长且为．
22.【答案】解：如图所示，四边形即为所求；
如图所示，四边形即为所求；
；
证明：，，，
≌，
，，
，
，，
，，
准菱形是平行四边形，
，
准菱形是菱形；
．
【解析】
【分析】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定，直角三角形斜边中线的性质，含度角的直角三角形，“准矩形”和“准菱形”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
根据题意画出图形即可；
根据矩形和菱形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，，求得，，推出，，根据菱形的判定定理即可得到结论；
首先取的中点，连接、、，再根据，，然后求出，即可判断出是等腰直角三角形；由勾股定理和直角三角形的性质，分别求出、的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形的面积为多少即可．
【解答】
解：见答案；
当，
，
，
，
四边形是矩形，故正确；
如下图，连接，
，，，
≌，
，
四边形是矩形，故正确；
，，，
，
四边形是菱形；
如图，连接，
，，
，，
当，
，
，
，
，
四边形是菱形；
故正确的有，
故答案为；
见答案．
如图，取的中点，连接、、．
四边形是菱形，
，
，
，，
，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
设，则，即，
，
，
，
，
，
菱形的面积为：．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
四边形是平行四边形，
，，
由折叠的性质得：，
，
，
的面积．
由得：，，
，
分三种情况：
、时，，或；
、时，过作于，如图所示：
则，
的面积，
，
，
，
；
、时，在的垂直平分线上，与点重合，如图所示：
为的中点，
；
综上所述，线段为的长为或或或．
【解析】证≌，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，再由折叠的性质得：，则，然后由三角形面积公式求解即可；
由勾股定理得，分三种情况：
、时，，或；
、时，过作于，则，由三角形面积求出，再由勾股定理求出，则，得；
、时，在的垂直平分线上，则为的中点，与点重合，得即可．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明≌是解题的关键，属于常考题型．
24.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
在中，，
、分别是、的中点，
，，
，
、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，
，
，
≌，
，或得，
，
以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形；
如图，连接，由可知四边形是平行四边形，
、分别是、的中点，
，
当时，四边形是矩形，分两种情况：
若，则，解得：，
若，则，解得：，
即当为秒或秒时，四边形是矩形；
如图，连接、，
四边形是菱形，
，，，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，解得：，
，
，
，
即为秒时，四边形是菱形．
【解析】根据勾股定理求出，证明≌，根据全等三角形的性质得到，利用内错角相等得，根据平行四边形的判定可得结论；
如图，连接，分、两种情况，列方程计算即可；
连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：四边形为正方形，
，
，
，
，
≌
作，为垂足，连接，
，
，，
．
在和中，，，≌．
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值．
因此，解得，．
设，则由第小题得，，又在中，，
，，，
的最小值为，此时．
【解析】当四边形为正方形时，则易证≌，则
作，为垂足，连接，可以证明≌，则，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值根据的面积为，就可以解出，的长．
先求出的取值范围，的面积可以表示成的函数，根据函数的性质，就可以求出最值．
求最值的问题一般是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
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