(共15张PPT)
2.2 等腰三角形
等腰三角形中，
相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图所示，AB＝AC，△ABC 就是等腰三角形.
定义：
如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
等腰三角形 腰 底边 顶角
△ABC
△ABD
AB和AC
BC
∠A
AD和BD
AB
∠ADB
你懂了吗？
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
∵△ABC中，AB＝AC，
∵△ABC是等腰三角形
A
B
C
底边
腰
腰
－－－－－－－判定
－－－－－－－性质
∴△ABC是等腰三角形.
∴AB＝AC.
？问：腰和底一定不相等吗？
答：腰和底可以相等，此时三边相等，叫做等边三角形（正三角形）。
等边三角形:
(正三角形)
三条边都相等的三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形.
特殊性！！！
分清楚
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.
2、等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
1、等腰三角形是轴对称图形.
你发现了什么
探索:
合作学习
等腰三角形的对称轴有几条？
2.已知线段a，b(如图). 用直尺和圆规作
等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a.
a
b
画一画
做一做
（1）等腰三角形的底边长为3，腰长为5，那么它的周长是______
（2）等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是______
（3）等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为______
13
11或13
3
分类讨论思想
等腰三角形两腰上的高相等吗
两底角的角平分线相等吗
1、如图，五角星中有几个等腰三角形？
找一找:
10个
2、 如图，正方形ABCD中,H、E、F、P分别是各边的中点，以这8个点为顶点，能构成多少个等腰三角形？
A
B
C
D
E
F
P
H
12个.
4、如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，腰AC的中垂线EF交BC于E，交AC于F，已知△ABC的周长为11，AC=4，则△ABE的周长是 。
3、若等腰三角形的周长为29，一条边长为9，则这个等腰三角形的腰长为 ；
F
C
A
B
E
9或10
7
5、已知等腰三角形的腰长为5，求底边x的取值范围。
6、如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？
C
E
F
H
想一想
a
D
O
BREAD PPT DESIGN(共16张PPT)
2.3 等腰三角形的性质定理
（1）有__________的三角形
叫做等腰三角形
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
(1)
（3）从图形的对称性来说，
等腰三角形是__________图形,
它的对称轴是
_________________________
顶角平分线所在的直线。
(2) 底边和腰相等的等腰三角形
是__________三角形？
等边
两边相等
轴对称
回顾旧知
1. ∠ B =∠ C
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线
3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
已知:AB=AC
A
D
C
B
结论:
,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
已知:在△ABC中，AB=AC
求证: ∠ C =∠ B
A
C
B
D
探究新知
等腰三角形的性质定理1
等腰三角形的两个底角相等.
也可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
用符号语言可表示为：
在△ABC中
∵ AB=AC
∴ ∠ B=∠ C
解：
∵ AB=AC
∴ ∠ B= ∠C（等腰三角形的两个底角相等）
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∠Ａ=50°
∴ ∠B=∠C= （180°- ∠A）= （180°- 50°)=65°
2.已知：等腰三角形的一个内角为 50 °， 求另两个角的度数.
1. 50 °为顶角：另两个角的度数为65°，65°
2. 50 °为底角：另两个角的度数为50°，80°
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°,0°＜底角＜90°
1.如图，在△ABC中AB=AC，∠A=50°，求∠ B，∠C的度数。
学以致用
A
B
C
（2）等腰三角形的一个底角是70°，
则其顶角是_________________
（3）如果等腰三角形的一个内角等于70°
那么它的底角度数____________.
（1） 如图，在△ABC中，AB=AC，
外角 ∠ACD=100°，则∠B=______
A
B
C
D
100°
（4） 如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，
那么它的底角是__________度
小结：当等腰三角形中遇“角”的计算问题，
需对各种可能的情况分类讨论
80°
40°
70°或55
72或 45°
试一试
已知 ABC是等边三角形 .求它三个内角的度数.
A
C
B
推论 等边三角形的各角都相等，
并且每一个角都等于60
3. 如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD、BE相交于点O. 求∠AOB的度数.
4.如图，在ΔABC中，AB=AC，P为BC的中点，
点D,E分别在 AB ,AC上，AD=AE
求证：PD=PE.
A
B
C
P
D
E
小结：等腰三角形的性质定理------两个底角相等
（或等边对等角）为两个角相等又增加了一种证明方法
5. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线.
求证：BD=CE
等腰三角形
的主要特征
②从角看-------------
①从边看----------
③从“三线”看-----
④从整体看---------
分类思想 --------在 解决等腰三角形问题中
有着重要 的作用
总结反思
两边相等
两个底角相等
两腰上的中线相等
两腰上的高线相等
两底角平分线相等
是轴对称图形
A
B
C
F
1、已知△ABC中，AB=AC,且BC=BF=AF
求∠A 的度数
1
3
2
挑战自己：
A
B
C
A
B
C
A
B
C
F
F
F
变式：从等腰三角形纸片的 底角 顶点出发，将其剪成两个
等腰三角形，求原等腰三角形纸片的顶角度数
顶角
提示：等腰三角形，遇到边不确定时要分类讨论
问题延伸2：从等腰三角形纸片的顶点出发，
将其剪成两个等腰三角形，
求出此等腰三角形纸片的顶角度数
课后再思考：
A
B
C
2、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角是42°，求∠B
E
F
A
B
C
E
F
∠B=66°
∠B=24°
在没有明确等腰三角形的具体形状时，我们要考虑顶角是锐角，直角或钝角的情形。
42°
42°
等腰三角形的顶角的外角等于底角的2倍
3、等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角是50°，试求出它顶角的度数
提示：等腰三角形遇“高线”问题中，要考虑高线在三角形内部和外部两种情形。
50°
50°
顶角140°
顶角是40°(共18张PPT)
如图，测量河宽，即测量ＡＢ之间的距离。方法是：从点Ａ出发，沿着与直线ＡＢ成６０°角的ＡＣ方向前进至Ｃ，在Ｃ处测得Ｃ＝３０°,这时只要测出ＡＣ的长就可知河宽。这个方法可行吗？请说明理由．
A
B
C
60°
30°
D
引例
2.4 等腰三角形的判定
杭红雅
探求
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：
在△ABC中，∠ B= ∠ C
说明：
AB=AC的理由
证明：
A
B
C
作 ΔABC的角平分线AD，
△ BAD≌ △ CAD（AAS）
AB=AC（全等三角形的对应边相等）
D
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定：
等角对等边。
在同一个三角形中，
几何语言
∴ △ABC是等腰三角形。
在△ABC中，
∵∠B=∠C
∴AB=AC
(在一个三角形中,等角对等边)
在同一个三角形中,等角对等边。
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
温故
在同一个三角形中,等边对等角
等腰三角形的判定：两个底角相等的三角形是等腰
三角形。
知新
解：
∴ ∠B=∠DAC —∠C
=60°—30°=30°
∵∠DAC=∠B+∠C
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）
６0°
30°
B
A
C
D
即ＡＣ的长度就是河的宽度ＡＢ的长度
（ ）
三角形外角的性质
练习2
D
1.如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,则∠1= ,∠2= , 图中的等腰三角形有 .
2.课文P63课内练习2
A
B
C
1
2
4.如图,BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高线,DE∥BC,交AB于点E.判断△BDE是不是等腰三角形,并证明你的判断．
课本作业题4.
如图,BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高线,DE∥BC,交AB于点E.判断△BDE是不是等腰三角形,并证明你的判断．
一个三角形还满足什么条件时会成为等边三角形？
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
探索发现
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三条边都相等的三角形是等边三角形．
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC
(在同一个三角形中，等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB
(在同一个三角形中，等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
C
B
A
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°
(在同一个三角形中，等角对等边)
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第一种情况：有一个底角是60°；
A
C
B
60°
证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等角对等边)
∴∠A=∠B=∠C =60°，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
第二种情况：顶角是60°；
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
A
C
B
60°
1、三边相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法:
3、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
2、三个角都相等的三角形是等边三角形.
小结
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等 腰 三 角 形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形.
2.等边对等角.
3. 三线合一.
4.是轴对称图形.
2.等角对等边.
1.两边相等.
1.两腰相等.
∵AF平分∠CAB，
∴∠1=∠3
∵EF∥AB
∴∠1=∠2（两直线平行，
内错角相等）
∴∠2=∠3
∴ AE=EF
（同一三角形中，等角对等边）
证明：
例 在∠ABC中，AF平分∠CAB，EF∥AB，判断△AEF是不是等腰三角形，并证明你的判断。
E
例题讲解：
1
2
C
A
B
F
3
例1 矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点B落在B1处，AB1交CD交于F，求证△AEF是等腰三角形。
A
B
C
D
B1
F
1
2
3
矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合
3
1
2
3
1
2
角平分线+平行线→等腰三角形
拓展(共13张PPT)
单击此处添加副标题
直角三角形
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
直角三角形表示： Rt△
直角边
A
B
C
斜边
直角边
直角三角形ABC表示为Rt△ABC,
∠ACB为Rt∠
直角三角形的两个锐角互余
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
练一练
1、△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∠B= .
2、直角三角形两个锐角之差是10°，
则较大的锐角是 度。
3、直角三角形的两个锐角的平分线所构成
的角是 度.
60°
50°
45°或135°
4、一个三角形的三个内角之比是1：2：3 ，
则这个三角形是 三角形.
直角
如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高。
（1）图中有几个直角三角形？
Rt△ACD、Rt△BCD、Rt△ABC、
（2）图中有几对互余的角？
从三条相交线看：
（3）图中有几对相等的角？
∠1=∠ B
从Rt△ABC看：
∠A与∠B
从Rt△ACD看：
∠A与∠1
从Rt△BCD看：
∠B与∠2
∠1与 ∠2
看∠1：
看∠2：
∠2=∠A
看小的，再看大的，
从小看到大
A
B
D
C
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.
求证：AD=CD.
B
A
C
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直角三角形特有性质：三连等-------CD＝AD＝BD
用数学语言表述为：
∵
∴CD＝AD＝BD＝ AB
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
∠ACB＝90°，
D为AB中点
练一练：
1、在Rt△ABC中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线，若ＣＤ＝３.5厘米，则ＡＢ＝＿＿厘米
2、已知△ABC中，∠Ａ＝９０°，
ＢＣ＝20cm，则BC边上的中线为
3、已知如图在△ABC中，∠ＡCB＝９０°，
AC=6，∠Ｂ＝300，D是AB的中点，
则AB= ，CD=
在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
∵∠ACB＝90°，∠B=30°
∴AC= AB
回顾：
2、在直角三角形中，30°角
所对的直角边等于斜边的一半。
1、直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半。
1、巩固类（yes or no）
A
B
C
D
条件双重性
结论多样性
(1)．已知:如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，
则CD＝ AB （ ）
(2)．直角三角形中斜边上的中线长为10cm，
则斜边长为20cm （ ）
(3). 如图是一副三角板拼成的四边形ABCD，
E为BD的中点.则EA=EC ( )
斜边上中线
（条件严密性）
2、解答类
A
D
B
C
E
.
例2. 已知：如图， AD⊥BD, AC⊥BC, E是AB边上的中点.
试判断△DEC的形状，并说明理由.
已知：如图， △ABC和△ABD中， ∠ACB= ∠ADB=
Rt ∠, E是AB边上的中点.
求证：CE=DE
A
B
C
D
E
变式1：
A
G
B
D
C
E
F
A
D
B
C
E
F
变式2：∠ADB＝∠ACB＝90°,连结CD，
E为AB的中点，过点E作EF⊥CD,
试说明点F为CD中点
变式3：已知：如图，AD⊥BG，BC⊥AG，
连结CD, E是AB的中点，F是CD的中点，
求证：EF⊥CD
注意：见中点，连中线(共14张PPT)
2.8 直角三角形全等的判定
浙教版八上数学
领悟的，SSA------HL
请你给出三个条件，说明这两个三角形全等。
当∠B=∠E=90O，还能添什么条件说明这两个三角形全等。
命题：斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
用画图的方法探究
已知线段a，c（如图），用直尺和圆规作RT△ABC，
使∠C=RT∠，BC=a，AB=c
已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF,AB=DE.
证明：Rt△ABC≌ Rt△DEF
定理证明
简写：“斜边、直角边定理”或“HL”
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
注意：“HL”是仅适用于直角三角形
几何语言：
在RT△ABC与RT△A’B’C’中
∵AB=A’B’，BC=B’C’
∴ RT△ABC≌RT△A’B’C’（HL）
思考：“有两条边相等的两个直角三角形全等”是真命题吗？
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
SSS
知识小结：
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ (HL)
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
B
C
A
E
F
D
1.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
学以致用：
定理应用
例：已知：如图，P是∠AOB内点,
PD⊥OA，PE⊥OB，
D，E分别是垂足，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
新知讲解
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系
点在角的平分线上
性质定理
(角的内部)点到角的两边的距离相等
判定定理
1 . 如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分C,D,BD=AC.
求证:BC=AD.
A
B
D
C
┓
┓
=
当堂检测：
2、已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点,DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF.
求证：AB=AC.
D
B
C
A
E
F
┓
┓
3：如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，∠1=∠2，则∠3=∠4 ，请说明理由。
4.已知：如图，在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AC上一点，且BF=AC,DF=DC.求证：BE⊥AC.
A
B
C
D
E
F
┓
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
A
B
O
5.给你一块有刻度的三角板，作出∠AOB的平分线
连续递推，豁然开朗(共18张PPT)
等腰三角形
对称
和谐
等腰三角形两腰相等；
等腰三角形两底角相等；
等腰三角形“三线合一”；
……
问题1：小区内有一个三角形小花坛，现在 想把它分割成两个三角形，使之可以种上不同的花。你会怎么分？
尝试交流
A
B
C
P
问题2：如果要分割成两个等腰三角形呢？
原三角形的角度不知道。无法分！
从顶点引一条线段
问题3：如果花坛的三个角分别为36°、 72°、72°，你可以帮忙办到吗？
尝试交流
A
B
C
36°
72°
72°
P
36°
问题4：如果把三角形的三个内角改成20°、60°、100°，你还能分吗？
尝试交流
P
20°
请设计个三角形，使这两个三角形都可以被分割成两个等腰三角形。
问题:任何三角形都能被分割成两个等腰三角形吗？
尝试交流
课题：探索三角形可以被
分割成两个
等腰三角形的条件
A
B
C
P
A
B
C
β
γ
图1
如图 1, △ABC中,设∠A=α,∠B=β,∠C=γ.
α
探索猜想
(2) 原三角形有一个角是另一个角的3倍；
(1) 原三角形有一个角是另一个角的2倍；
(3) 原三角形是一个直角三角形。
探索猜想
A
B
C
P
β
β
2β
2β
图2
已知： △ABC中, ∠B=β,∠C=2β
问： △ABC一定能够被分割成两个等腰三角形吗
验证发现
（分第三个角）
A
B
C
48
图3
96
36
如图 3，△ABC中，设∠A=36 ,∠B=96 ,∠C=48 .
怎么画呢
问题在哪里呢
验证发现
条件1还缺点什么呢
A
B
C
P
β
β
2β
2β
图2
验证发现
P
图4
A
B
C
β
3β
β
2β
2β
已知： △ABC中, ∠B=β,∠C=2β
问： △ABC一定能够被分割成两个等腰三角形吗
3
（分3倍角）
A
B
C
P
β
1
2β
β
图5
2
已知： 在直角三角形ABC中, ∠C=90 ，问： △ABC一定能够被分割成两个等腰三角形吗
（分直角）
验证发现
梳理积累
1.一个三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件：
（1）原三角形一个角是另一个角的2倍；（有何限制条件？）
（2）原三角形一个角是另一个角的3倍；
（3）原三角形是直角三角形。
2.如何分？
（分第三个角）
（分3倍角）
（分直角）
3.数学思想及方法：猜想——验证、分类讨论、反例说明等
应用体验
将一个等腰三角形分割成两个等腰三角形,原等腰三角形的顶角为几度
21． (2008年宁波市中考题)
（1）如图1中，∠C=90°.请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
挑战中考
（第21题）
A
B
C
图1
A
B
C
图2
24°
24°
84°
A
B
C
图3
104°
52°
如图 6 , P为△ABC中BC边上一点.
A
B
C
P
图6
问题 2：“当一个角为另一个角 3 倍时, 分割两个等腰三角形”, 第三角的取值有没有什么限制呢
问题1： 你会计算“当原三角形一个角为另一个角 2 倍时, 若分割成两个等腰三角形”, 第三角的取值范围吗
拓展作业
已知：等腰△ABC的顶角∠A=72°，你会将等腰△ABC分割成三个小等腰三角形吗？
会用几种方法？
回家作业
