第5章《特殊的平行四边形》培优提升卷
班级______ 姓名_______
一、选择题（每题3分，共30分）
1、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是 （ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形
2、如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C、 D、
第2题 第3题 第5题
3、点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90o，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（ ）2·1·c·n·j·y
A、75o B、60o C、 45o D、 30o www-2-1-cnjy-com
4、如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个正方形ＥＦＧＨ，其中Ｅ、Ｆ、Ｇ 分别在AB、BC、DF上 ，若BF=3，则正方形ＥFGH的边长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．5 B．6 C． D． 21*cnjy*com
5、如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6、如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是 （ ）【出处：21教育名师】
7、如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )【来源：21·世纪·教育·网】
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长;④四边形AnBnCnDn的面积是
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
8．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为 ( )21·cn·jy·com
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在三角形ABC中，AB>AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A'．若四边形ADA'E是菱形，则下列说法正确的是 ( )【版权所有：21教育】
A．DE是△ABC的中位线 B．AA'是BC边上的中线
C．AA'是BC边上的高 D．AA'是△ABC的角平分线
10．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为 ( )www.21-cn-jy.com
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（每题4分，共24分）
11、如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为 . 21教育名师原创作品
12、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 ．21*cnjy*com
第11题 第12题 第13题
13、如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
14、以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是______．
第14题
15、如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接。已知 ，，则另一直角边的长为
16、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．
三、简答题（共66分）
17、（本题6分）
如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.
(1)∠DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；
(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.
18、（本题8分）)如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.21教育网
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
19. （本题8分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接。【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求证：四边形是菱形；
(2) 若求MD的长。
20、（本题10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。
21．（本题10分）已知：平行四边形ABCD中，E、F 是BC、AB 的中点，DE、DF分别交AB 、CB的延长线于H、G；
（1）求证：BH =AB；
（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，
并证明你的结论．
22、（本题12分）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD∶AB＝ 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
23、（本题12分）
如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝EB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
C
C
B
C
B
D
D
二、填空题
11、 12、（2，） 13、②④ 14、 15、7 16、5
三、简答题
17、解：（1）相等. 理由如下:
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C=∠D=90°
∴∠BEC+∠CBE=90°
∵EF⊥BE ∴∠BEF=90°
∴∠DEF+∠BEC=90°
∴∠DEF=∠CBE
（2）BE=EF.理由如下:
∵AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD ∴∠BAE=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴AD=ED=BCA
∵∠C=∠D=90° ∠DEF=∠CBE
∴△DEF≌△CBE（ASA）
∴BE=EF
18. (1)证明：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
∴DF∥BE，DF＝BE.
∴四边形DEBF为平行四边形．
∴DE∥BF.
(2)证明： ∵AG∥BD，
∴∠G＝∠DBC＝90°.
∴△DBC为直角三角形．
又∵F为边CD的中点，
∴BF＝CD＝DF.
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
19、（1）证明：四边形是矩形
是的垂直平分线
在和中
是的垂直平分线
四边形是菱形
（2）解：设 则，
在中 则有 解得：
即：
20. （1）∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD,AB∥CD∴∠1=∠ACD ,∵∠1=∠2 ∴∠2=∠ACD ∴MC=MD ∵ME⊥CD ∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=221cnjy.com
(2) 延长DF,BA交于G，∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA , ∵BC=2CF,CD=2CE ∴CE=CF ∵CM=CM∴△CEM≌△CFM, ∴ME=MF∵AB∥CD∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD∵CF=BF∴△CDF≌△BGF∴DF=GF∵∠1=∠2, ∠G=∠2∴∠1=∠G∴AM=GM=MF+GF=DF+ME21·世纪*教育网
21．（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H
又∵E是CB的中点，∴CE=BE
∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC
∴BH=AB
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C
∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE
∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF ∴∠H=∠G
22. （1）证明:∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠D＝90°，AB＝DC.
又∵ MA=MD，
∴ △ABM≌△DCM（SAS）.
（2）解:四边形MENF是菱形.
理由：∵ CF=FM,CN=NB，
∴ FN∥MB.同理可得：EN∥MC，
∴ 四边形MENF是平行四边形.
∵ △ABM≌△DCM，
∴ MB＝MC.
又∵ ME=MB,MF=MC,
∴ ME＝MF.
∴ 平行四边形MENF是菱形.
（3）解:2∶1.
23. （1）PE＝PD且PE⊥PD
（2）成立
理由：∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∠BCD＝90°
又∵PC＝PC
∴△BCP≌△DCP
∴PB＝PD，∠1＝∠2
又∵PE＝PB
∴PE＝PD，∠1＝∠3
∴∠2＝∠3
∵∠BCD＝90°
∴∠DCE＝90°
∴∠DPE＝180°―∠2―∠5
∠DCE＝180°―∠3―∠4
又∵∠4＝∠5
∴∠DPE＝∠DCE＝90°
即PE⊥PD
（3）仍然成立
作图如图
第5章《特殊的平行四边形》基础检测卷
班级______ 姓名_______
一、选择题（每题3分，共30分）
1、如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2、在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4、下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
5、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A. B. C. D.
6、如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
第5题 题6题 第7题
7、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）21cnjy.com
A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8 21·cn·jy·com
8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是( ) www.21-cn-jy.com
A．5 B．5 C．5 D．10
9、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）2·1·c·n·j·y
A、4 B、6 C、8 D、10
第8题 第9题 第10题
10、如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．3 C．4 D．8
二、填空题（每题4分，共24分）
11、菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为
12、我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 21·世纪*教育网
13、在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是 （填上你认为正确的一个答案即可）
14、如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．
第14题 第15题 第16题
15、将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______
16、如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ． www-2-1-cnjy-com
三、简答题（共66分）
17、（本题6分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．
求证：△ACE≌△ACF．
18、（本题8分）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上 的点，且AE=DF。求证：BE=CF2-1-c-n-j-y
19、（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
20、（本题10分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G． 21*cnjy*com
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．
21、（本题10分）
如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50° ,求∠BAO的大小.
22．（本题12分）
如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.
23、（本题12分）
在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;
(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
D
B
C
B
C
A
二、填空题
11、20 12、5cm 13、答案不唯一，如∠A=90°或AC=BD，等. 14、22.5°
15、62° 16、
三、简答题
17、∵四边形ABCD为菱形
∴∠BAC=∠DAC
又∵AE=AF，AC=AC
∴△ACE≌△ACF（SAS）
18、证明：∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB=OC=OD AB=CD
∵AE=DF
∴OE=OF
在ΔBOE与ΔCOF中，
∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)
∴BE=CF
19、证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
20、解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF＝DC，BE＝AB
∴DF∥BE，DF＝BE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF
(2)证明：∵AG∥BD
∴∠G＝∠DBC＝90°
∴DBC 为直角三角形
又∵F为边CD的中点．
∴BF＝DC＝DF
又∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF是菱形
21．（1）∵菱形ABCD，
∴AB＝CD,AB∥CD,
又∵BE=AB，
∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC.
（2）∵BECD,∴BD∥CE,
∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD,
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°
22. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB≌△NDC，∵ AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴四边形MQNP是菱形．
23. 解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为（，）
（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；21世纪教育网版权所有
（3）＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，21教育网
∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。
