4.5 三角形的中位线 课件 (共26张PPT)

(共26张PPT)
4.5 三角形的中位线
浙教版八下数学
新知导入
1.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段， 叫做三角形的角平分线．
A
B
C
D
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD =∠CAD =
∠BAC.
2.在三角形中，连结三角形的一个顶点与该顶点对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
A
D
C
B
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC
新知导入
3.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的垂心O在三角形内.
D
直角三角形的垂心就是直角顶点B.
F
D
E
P
钝角三角形的垂心P在三角形外.
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心
O
新知导入
A
B
C
D
O
4.平行四边形的性质：
(1)从边看：对边相等且平行
(2)从角看：对角相等，邻角互补
(3)从对角线看：对角线互相平分
(4) 从对称性看：是中心对称图形.
(5) 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
两条平行线间的距离处处相等。
新知导入
5. 怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,
使分成的两部分能拼成一个平行四边形
新知导入
剪拼探究：
备用图1.
备用图2.
备用图3.
备用图4.
F
F
F
F
F
新知讲解
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
A
B
C
D
E
分享你的猜想，大声说出来：
三角形两边中点的连线
与第三边有怎样 的关系？
猜想：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的 一半.
新知讲解
已知：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，
求证：DE∥BC,
DE= BC.
A
B
C
E
D
F
证法1：延长DE至F，使EF=DE
，连接CD、AF、CF，
∵AE=EC DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴AD FC
＝
∥
又∵D为AB中点，
∴DB FC
＝
∥
∴四边形BCFD是平行四边形
倍长中线造 “ ”
∴DE// BC 且DE=EF=BC
.
新知讲解
A
B
C
E
D
F
证法2：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴ AD=FC
又DB=AD，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DE// BC 且DE=EF=BC ．
平行造等角
新知讲解
A
B
C
E
D
F
证法3：以点E为旋转中心，把△ADE绕点 E，按顺时针方向旋转1800，得△CFE，则D、E、F同在一条直线上，DE=EF，且△ADE≌△CFE
∴AD=CF，∠ADE=∠F
∴CF∥AB，
∵BD=AD=CF
∴DF BC ∴DE BC ．
＝
∥
＝
∥
∴四边形BCFD是平行四边形
旋转出全等
新知讲解
C
E
D
B
A
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，
DE= BC.
2
1
新知讲解
理解三角形的中位线定义的两层含义:
C
E
D
B
A
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的 ；
中位线
② 如果DE为△ABC的中位线，那么
D、E分别为AB、AC的 。
中点
新知讲解
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A
B
C
中点
D
中点
E
F
中点
1、一个三角形有几条中位线？,
三条。
2、三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连结三角形两边中点的线段；
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。
新知讲解
例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
G
H
证明： 连接AC，
∵ EF是△ABC的中位线.
∴ EF//AC，EF= AC
同理:HG//AC，HG= AC
∴EF//HG，EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
课堂总结
三角形的中位线
定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
课堂练习
夯实基础，稳扎稳打
1、已知：DE是在△ABC中位线,则
（1）若∠ADE=65°,则∠B=____度.
（2）若BC=12cm，则DE=_____cm.
（3）若DE=7cm，则BC=______cm.
65
6
14
课堂练习
2、如图，已知△ABC中，AB = 3㎝，BC=3.4㎝， AC=4㎝
且D，E，F分别为 AC，AB，BC边的中点，
则△DEF的周长是 ㎝.
A
B
C
D
E
F
5.2
课堂练习
3、已知: 点D，E，F分别是△ABC三边的中点,则
（1）图中共有_____个平行四边形，
与△DEF全等的三角形有_____个
（2）若C△DEF =3，则C△ABC =____
（3）若S△DEF =6， 则S△ABC =_____
3
3
6
24
课堂练习
4.如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O,AE=EB,OE=3,AB=5 ABCD的周长( )
A. 11 B. 13 C. 16 D. 22
D
课堂练习
5、如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°，
D、E、F分别是各边中点， AB=6cm，AC=8cm，
则△DEF的周长= cm ．
E
F
B
A
C
D
12
课堂练习
连续递推，豁然开朗
6. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE与DF互相平分.
F
A
B
C
D
E
证明:连接DE、EF，
∵AD=DB，BE=EC，
∴DE ∥AC
（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）
同理EF ∥AB。
∴四边形ADEF是平行四边形。
∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
课堂练习
7.如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC中∠BAC的角平分线， BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长
F
中点的联想:
1、等腰三角形--------三线合一
2、直角三角形斜边中点--------三连等
3、三角形中两边中点-------中位线定理
分析：1.二线合一--------等腰三角形------
2.二边中点--------中位线定理
AD具有双重性：角平分线+垂线
6
6
14-6=8
8=4
.
三线合一
课堂练习
8.已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，
M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
分析法：执果索因
要证：∠1＝∠2
要证：PN＝PM
要证：PN＝
PM＝
要证：AD＝BC，P是BD的中点，
M是DC的中点，N是AB的中点．
要证： PN
.
课堂练习
9.已知 ：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB,AC为边向外侧作等边三角形ABM和
等边三角形ACN.D,E,F分别是MB,BC,CN的中点，连接DE,FE.求证：DE=FE
F
A
B
C
D
E
M
N
600
600
分析法：执果索因
要证：DE=FE
要证：＝
EF= BN
易证：△CMA≌△NBA（SAS)
要证：＝BN
.
谢谢
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