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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形（解析版）
5.3正方形（2）
【知识重点】
正方形的性质：
1．正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【经典例题】
【例1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】四边形是菱形，，
四边形ABCD是正方形，
故答案为：A．
【例2】根据特殊四边形的定义，在图中的括号内①、②、③、④处应填写的内容是（ ）
A．平行四边形；一个角为60°；矩形；一组邻边相等
B．平行四边形；一组邻边相等；矩形；一组邻边相等
C．矩形；一个角为60°；平行四边形；一组邻边相等
D．矩形；一组邻边相等；平行四边形；一组邻边相等
【答案】B
【解析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
一组邻边相等的平行四边形是菱形，
有一个角是直角的菱形是正方形，
有一组邻边相等的矩形是正方形.
故答案为：平行四边形，一组邻边相等，矩形，一组邻边相等.
【例3】满足下列条件的四边形是正方形的有（ ）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形 ②对角线互相垂直的矩形③对角线相等的菱形 ④对角线互相垂直平分且相等的四边形
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
②对角线互相垂直的矩形是正方形，
③对角线相等的菱形是正方形，
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
故答案为：D．
【例4】在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有 .(填序号)
【答案】①②③
【解析】∵DE//CA，DF//BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，故①符合题意；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAF，
∵DF//BA，
∴∠BAD=∠ADF，
∴∠ADF=∠DAF，
∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形，故②符合题意；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴由②可得，四边形AEDF是矩形，故③符合题意，④不符合题意.
故答案为：①②③.
【例5】已知：如图，在Rt中，平分交于点，垂足分别为，求证：四边形是正方形.
【答案】证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠CED=∠CFD=∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形.
【例6】如图，已知一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OB＝OM，MC＝MP，OE＝ON，ND＝NP．
（1）求b的值；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y＝﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：一次函数的图象过点，
，解得．
（2）证明：轴于M，轴于N，
，
∴四边形是矩形，
，，，
，，
，，
又，，
，，，．
在和中，，
，
，
同理：，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：在直线上存在P点使四边形为正方形，设P点坐标为，要使四边形为正方形，需，且．
此时，，即需．
①当点P在第一象限时，由题意，，
．
点在直线上，
，解得．
②同理，当点P在第二象限时，，
，解得．
∴所求的P点坐标是或．
【基础训练】
1．下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意；
故答案为：C．
2．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．， B．
C．，， D．，
【答案】A
【解析】A∵，∴四边形ABCD为矩形，
由，所以矩形ABCD为正方形，
B. ，四边形ABCD为菱形；
C. ，，，四边形ABCD为菱形；
D. ，，不能判定四边形ABCD为正方形，
故答案为：A.
3．邻边不相等的矩形，各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
【答案】D
【解析】如图，BH，AF，CH，DF分别是矩形的四个角的平分线，
∴∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，∠EAB=∠EBA=∠HBC=∠HCB=∠DCG=∠GDC=45°，
∴∠AEB=∠BHC=90°，AE=BE，HB=HC
同理可证AF=DF=BH=CH，AE=BE=DG=CG，
∴EH=EF=FG=HG，∠H=∠F=∠AEB=∠BHC=90°，
∴四边形EFGH是正方形.
故答案为：D.
4．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可).
【答案】∠ABC=90°(答案不唯一）
【解析】∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
添加∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠ABC=90°(答案不唯一）.
5．如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ．
【答案】
【解析】添加的条件是：AB=BC．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB=BC．
6．如图所示，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上且∠CEF=45°.求证：矩形ABCD是正方形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AFD≌△AEB，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形.
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AB＝AC，试判定四边形ADCF的形状．
【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE．∵，∴∠DAF＝∠3．又∵∠1＝∠2，
∴．∴AF＝BD．
∵AD是斜边BC边上的中线，∴AD＝BD＝DC．
∴AF＝DC．又∵，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，
∴AD＝DC，∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：∵四边形ADCF是菱形，∴∠4＝∠5．当AB＝AC，∠BAC＝90°时，∴∠4＝∠ABC＝45°，∴∠DCF＝90°，∴四边形ADCF是正方形．
8．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.
求证：四边形BEDF是正方形.
【答案】证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°.
∴四边形BEDF为矩形.
又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF＝DE.
∴矩形BEDF为正方形.
9．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABF和△DAE中，
∴，
∴，
∴矩形ABCD是正方形．
10．如图，在矩形ABCD中， ， ，菱形 的三个顶点 分别在矩形 的边 上， ， ，求证：四边形 为正方形.
【答案】证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴
∵ ， ，
∴
在 和 中，
∴
∴
∵
∴
∴
∵四边形EFGH为菱形
∴四边形EFGH为正方形.
11．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E．
（1）求证；四边形BCDE是菱形；
（2）若AB=5，E为AC的中点，当BC的长为 时，四边形BCDE是正方形．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAO=∠DAO， ∵AB=AD，∴AC⊥BD，BO=DO，∵BE∥CD，∴∠BEO=∠DCO，∠EBO=∠CDO，∴△EBO≌△CDO，∴BE=CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形；
（2）
【解析】（2）当BC的长为时，四边形BCDE是正方形．
理由如下：∵四边形BCDE是菱形，
∴OB=OD，OE=OC，EC⊥BD，
∵E为AC的中点，
∴AE=EC，
设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，
在Rt△OBA中，OB2=AB2-AO2= 52-(3a)2=25-9a2，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，
∴25-9a2=a2，
∴a2=，
在Rt△OBC中，BC2=OB2+CO2= 25-9a2+a2=25-8×=5，
∴BC=(负值已舍)，
∴当BC的长为时，四边形BCDE是正方形．
故答案为：．
12．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）证明：在△ADE与△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SSS)，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∵AD∥BC，
∴四边形 ABCD 为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形 ABCD 是菱形；
（2）证明：∵ BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴
由（1）知四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形 ABCD 是正方形
【培优训练】
13．如图在边长为1的小正方形构成的5×4的网格中，定义：以网格中的格点为顶点的正方形叫做格点正方形．则图中完全包含“”的格点正方形最多能画（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．21个
【答案】D
【解析】边长为1的正方形有1个，
边长为2的正方形有4个，
边长为3的正方形有有6个，
边长为4的正方形有2个，
边长为的正方形有2个，
边长为2的正方形有2个，
边长为的正方形有2个，
边长为的正方形有2个，
则1+4+6+2+2+2+2+2=21（个），
故答案为：D.
14．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB．下列四个判断中，错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C．若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
【答案】D
【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意；
∵AD=EF，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意.
∵AD⊥EF，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故C选项不符合题意；
如果AD⊥BC且AB=BC，不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
15．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是yx+12．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】B
【解析】①如图1，连接BD，
∵Rt△ABC中，，
∴，
当D运动到AC中点时，∵于E，于F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，，
∴，
∴，
故结论①正确；
②由①知：，
由垂线段最短可知，当时，BD最小，即EF最小，
此时，，
即，
∴，
∴，
即EF的最小值是，
故结论②正确；
③∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
故结论④正确．
⑤设DF的长度为x，矩形的周长为y，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即y与x的函数关系式是，
故结论⑤不正确；
综上所述，正确的结论是①②④.
故答案为：B.
16．如图，在等腰直角△ABC中， ，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，延长MD、NE交于点F，连接AD、AE.其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE △ACD；③当 时， ，正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】∵DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，
∴∠AMF=∠ANF=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=45°，
∵DM⊥AB，EN⊥AC，
∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形，
又∵BD=CE，
∴△BDM≌△CEN（AAS），
∴BM=CN
∴AM=AN，
∴四边形AMFN是正方形，故①正确；
∵BD=CE，
∴BE=CD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正确；
如图所示过，过B作BE'⊥BC，取BE'=CE，连接AE' 、DE' ，则∠E'BA=∠C=45°，
∴△ ABE' ≌△ACE（SAS），
∴∠BAE' =∠CAE，AE'=AE
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE+∠BAD=∠BAE'+∠BAD =∠E'AD =45°=∠DAE
∴△ADE≌△ADE'（SAS），
∴DE'=DE，
∵∠DBE'=90°，
∴BE'2+BD2=DE'2，
∴ ，故③正确；
综上，正确的有①②③，共3个.
故答案为：D.
17．小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，接着沿所得图形的对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 .
【答案】1：1或 ：1
【解析】①如图1，
当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，此时，点B'，E，D重合，
∴AF＝CF＝DF，且∠AFD＝90°，
此时△ADF是轴对称图形，符合题意.
②如图2，
当AD：AB＝ ：1时，也符合题意，
∵此时∠DAC＝30°，
∴AC＝2CD，
∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，
∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意.
综上所述，矩形纸片ABCD的长宽之比是1：1或 ：1.
故答案为：1：1或 ：1.
18．如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：；
（2）当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，
∴，，
∴，，
∴，，
即；
（2）解：当点P是AC的中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：∵点P是AC的中点，
∴，
∴四边形AFCF是平行四边形，
∵，，
∴∠PCE+∠PCF=90°，
即：∠ECF=90°，
∴四边形AFCF是矩形；
（3）解：当△ABC是直角三角形，，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵∠ACB=90° ，
又∵CE平分∠ACB ，
∴∠BCE＝45°，
∵∠PEC＝∠BCE，
∴∠PEC＝45° ，
同理可得：∠PFC＝45°，
∴∠PEC＝∠PFC，
∴EC＝FC，
由（2）可得：四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形．
19．如图，在 中，G、H分别是 、 的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，则四边形 是 形；
（3）当 、 满足 时，四边形 是正方形.
【答案】（1）证明：如图，连接 .
∵四边形 是平行四边形，E， ，F分别是对角线 上的四等分点
∴点 是对角线 、 的交点
∴ .
∵G是 的中点
∴ 为 的中位线
∴ ， .
同理HF∥OB，
∴EG∥HF，
∴四边形 是平行四边形
（2）矩
（3）AC=2AB，AC⊥AB
【解析】【解答】（2）如图，连接GH
∵AC=2AB，AC=2EF
∴EF=AB
∵G、H分别是AD、BC的中点
∴AG= AD，BH= BC
∵四边形 是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴AG=BH，AG∥BH
∴四边形AGHB是平行四边形
∴GH=AB
∴EF=GH
由（1）知，四边形GEHF是平行四边形
∴四边形GEHF是矩形
故答案为：矩
（3）当AC=2AB时，由（2）知：四边形GEHF是矩形
当AC⊥AB时，由（2）知：四边形AGHB是平行四边形
∴GH∥AB
∴GH⊥AC
即四边形GEHF是正方形
故答案为： ，
20．在中，，于D，将沿所在的直线折叠，使点D落在点E处；将沿所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长、相交于点G．
（1）判断四边形的形状，并给予证明；
（2）若，四边形的面积为36，求长．
【答案】（1）证明：据题意得如下图形，
∵AD⊥BC，△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠EAB＝∠BAD，∠E＝∠ADB＝90°，AE＝AD，
又∵△AFC是由△ADC折叠所得，
∴∠DAC＝∠FAC，∠F＝∠ADC＝90°，AF＝AD，
∴AE＝AF，∠E=∠F=90°，
又∵∠BAD+∠DAC＝45°，
∴∠EAB+∠FAC＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴∠E=∠F=∠EAF =90°
∴四边形AEGF是矩形，
又AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：如下图
∵正方形AEGF面积是36，
∴，
∴，
∴在Rt△AEB中，，
由勾股定理得：，
根据题意由折叠得：BE＝BD=3，CD＝CF，
即BG=EG-BE=6-3=3，
设CD＝CF=x，
即CG=GF-CF=6-x，BC=BD+CD=3+x，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：
，即，
解得x＝2，
∴CD＝2．
21．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAG=∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG=∠FGA，
∴∠FAG=∠FGA，
∴FG=AF=AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF=AE，
∴四边形AEGF是菱形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=∠BAE=30°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠BAD=180°-∠B=150°，
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°，
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形
22．如图，已知点A位于第一象限，且在直线 上，过点A做 轴垂足为点B， 轴垂足为点C， ．
（1）求点A坐标；
（2）如果点E位于第四象限，且在直线 上，点D在y轴上，坐标平面内是否存在点F，使得四边形 是正方形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点A的坐标为（a，2a-3），
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴OB=a，OC=2a-3，
∵BC= ，∠BOC=90°，
∴5=a2+（2a-3）2，
∴a=2或a= ，
∴点A的坐标为（2，1）或（ ， ），
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（2，1）
（2）解：如图，分别过点A、点E作AH⊥y轴于H、EG⊥y轴于G，
∵∠HAD+∠ADH=90°，
∠EDG+∠ADH=90°，
∴∠HAD=∠EDG，
在△HAD与EDG中，
，
∴△HAD≌GDE（AAS），
∴AH=DG=2，DH=GE，
根据E在第四象限且在直线y=2x-3上，
设E（m，2m-3），
则GE=DH=m，OG=3-2m，
∴OG+OH=DH+DG=3-2m+1=2+m，
∴m= ，
∴E的坐标为（ ， ）
23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.
（1）求证：四边形EPFC是矩形.
（2）当点P运动到 时，四边形EPFC是正方形.
（3）求证：DE=DF.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴
∴
∴四边形EPFC是矩形.
（2）AB的中点(或点D的位置)
（3）证明：如图，连结CD.
∠ACB=90°，D为AB的中点，.
∴CD=AD.
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴ ，
∴
∵
∴
在 中， ，
∴
∴ .
∵四边形EPFC是矩形，
∴ .
∵
∴
在 和 中，
∴
∴
【解析】（2）AB的中点（或点D的位置），理由如下：
如图，P运动到AB中点（D点）时，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴PE∥BC，PF∥AC，∠ECF＝∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴四边形EPFC是矩形，
又∵D为AB的中点，
∴PE、PF分别为△ACB的中位线，
∴PE=AC，PF=BC，
∵AC＝BC，
∴PE=PF
∴矩形EPFC是正方形，
∴当点P运动到AB中点（D点）时，四边形EPFC是正方形.
24．已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
（2）在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
（3）如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝BA，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：△AHF是等腰三角形，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△BAF，
∴AE＝BF，
∵BH＝AE，
∴BF＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，即AB垂直平分FH，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
（3）解：延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABH＝∠BAD．
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝BH+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
【直击中考】
25．（2021·玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【解析】①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故答案为：C.
26．（2020·威海）如图，在平行四边形ABCD中，对角线 ， ， ， 为 的中点，E为边 上一点，直线 交 于点F，连结 ， ．下列结论不成立的是（ ）
A．四边形 为平行四边形
B．若 ，则四边形 为矩形
C．若 ，则四边形 为菱形
D．若 ，则四边形 为正方形
【答案】D
【解析】【解答】A.∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵ 为 的中点
∴
在 与 中
∴
∴
又∵
∴四边形 为平行四边形，
故A选项不符合题意；
B.假设
∵ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
则当 时，
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为矩形，
故B选项不符合题意；
C.∵ ，
∴E是AB中点
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为菱形，
故C选项不符合题意；
D.当 时与 时矛盾，则DE不垂直于AB，则四边形 不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项符合题意，
故答案为：D．
27．（2018·舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
又∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形。
28．（2020·玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝ AB.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.
【答案】（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝ AB，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2.
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x＝ ﹣1（负值舍去），
∴AH＝ ﹣1.
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形
5.3正方形（2）
【知识重点】
正方形的性质：
1．正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【经典例题】
【例1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【例2】根据特殊四边形的定义，在图中的括号内①、②、③、④处应填写的内容是（ ）
A．平行四边形；一个角为60°；矩形；一组邻边相等
B．平行四边形；一组邻边相等；矩形；一组邻边相等
C．矩形；一个角为60°；平行四边形；一组邻边相等
D．矩形；一组邻边相等；平行四边形；一组邻边相等
【例3】满足下列条件的四边形是正方形的有（ ）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形 ②对角线互相垂直的矩形③对角线相等的菱形 ④对角线互相垂直平分且相等的四边形
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【例4】在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有 .(填序号)
【例5】已知：如图，在Rt中，平分交于点，垂足分别为，求证：四边形是正方形.
【例6】如图，已知一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OB＝OM，MC＝MP，OE＝ON，ND＝NP．
（1）求b的值；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y＝﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【基础训练】
1．下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．， B．
C．，， D．，
3．邻边不相等的矩形，各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
4．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可).
5．如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ．
6．如图所示，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上且∠CEF=45°.求证：矩形ABCD是正方形.
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AB＝AC，试判定四边形ADCF的形状．
8．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.
求证：四边形BEDF是正方形.
9．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形．
10．如图，在矩形ABCD中， ， ，菱形 的三个顶点 分别在矩形 的边 上， ， ，求证：四边形 为正方形.
11．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E．
（1）求证；四边形BCDE是菱形；
（2）若AB=5，E为AC的中点，当BC的长为 时，四边形BCDE是正方形．
12．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【培优训练】
13．如图在边长为1的小正方形构成的5×4的网格中，定义：以网格中的格点为顶点的正方形叫做格点正方形．则图中完全包含“”的格点正方形最多能画（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．21个
（第13题） （第14题）
14．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB．下列四个判断中，错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C．若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
15．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．在D点的运动过程中，给出下列结论：①当D运动到AC中点时，EF＝5；②EF的最小值是；③AE2+EB2+BF2+FC2的值恒为100；④当AD：DC＝3：4时，四边形BEDF为正方形．⑤设DF的长度为x，矩形BEDF的周长为y，则y与x的函数关系式是yx+12．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②④⑤
（第15题） （第16题）
16．如图，在等腰直角△ABC中， ，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，延长MD、NE交于点F，连接AD、AE.其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE △ACD；③当 时， ，正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，接着沿所得图形的对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 .
18．如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：；
（2）当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）
19．如图，在 中，G、H分别是 、 的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，则四边形 是 形；
（3）当 、 满足 时，四边形 是正方形.
20．在中，，于D，将沿所在的直线折叠，使点D落在点E处；将沿所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长、相交于点G．
（1）判断四边形的形状，并给予证明；
（2）若，四边形的面积为36，求长．
21．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
22．如图，已知点A位于第一象限，且在直线 上，过点A做 轴垂足为点B， 轴垂足为点C， ．
（1）求点A坐标；
（2）如果点E位于第四象限，且在直线 上，点D在y轴上，坐标平面内是否存在点F，使得四边形 是正方形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.
（1）求证：四边形EPFC是矩形.
（2）当点P运动到 时，四边形EPFC是正方形.
（3）求证：DE=DF.
24．已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
（2）在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
（3）如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【直击中考】
25．一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线 ， ， ， 为 的中点，E为边 上一点，直线 交 于点F，连结 ， ．下列结论不成立的是（ ）
A．四边形 为平行四边形 B．若 ，则四边形 为矩形
C．若 ，则四边形 为菱形 D．若 ，则四边形 为正方形
27．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
28．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝ AB.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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