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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形
5.3正方形（1）
【知识重点】
1、正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2、判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
3、判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形.
【经典例题】
【例1】正方形具有而菱形不一定具有的特征是( )
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．中心对称图形 D．有4条对称轴
【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【例4】正方形的对角线长为2，则正方形的边长为 cm.面积为 cm2.
【例5】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP =
BC，则∠DCP度数是 ．
【例6】如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE=3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为 。
【例7】如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝ DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形.
【基础训练】
1．如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
3．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）
A．24 B．6 C． D．
6．如图，点E、F分别是正方形的边上的点，且相交于点G，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点M是正方形内位于对角线上方的一点，，则的度数为 ．
8．如图，在矩形中，平分交于点，，，则 ．
（第8题） （第9题） （第0题） （第11题）
9．如图，已知正方形的边长为8，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．
10．如图，在 中， ，以 的两边AC、AB为边向外作两个正方形， 、 分别表示这两个正方形的面积，若 ， ，则BC＝ ．
11．如图，正方形和正方形有公共点A，点B在线段上．判断与的位置关系，并说明理由；
12．在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接AE，过点F作FG⊥AE交AE于点G，交DC于点H，试猜想FH与AE的数量关系，并证明你的结论．
13．已知点，分别是正方形的边，上的动点，并且保持，请你证明的周长是一个只与正方形边长有关的定值．
14．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4 cm，求CF的长.
15．如图，四边形 是正方形，点 是 边上的一点， ，且 ，连接 ；求 的度数.
16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且，连接DE、DF、BE、BF．
（1）求证：≌；
（2）若，，求四边形BEDF的面积．
【培优训练】
17．如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，DC上的点，且∠EAF=45°，下列结论：①；②BE+DF=EF；③当△ABE≌△ADF时，EF的长为；④当EF=4时，△CEF是等腰直角三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第17题） （第18题） （第19题） （第20题）
18．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，则点B到直线AE的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
19．如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部AE=CF=8，BE=DF=6，则线段EF的长为（ ）
A． B．4 C． D．
20．如图，正方形中，，则 （ ）
A． B． C． D．
21．如图，正方形的边长为4，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第21题） （第22题） （第23题） （第24题）
22．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．
23．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
24．把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是 ．
25．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q.若∠AMP＝30°，则∠ABE＝ °，的值为 .
（第25题） （第26题） （第27题） （第28题）
26．如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△CDE的面积为 .
27．如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 ．
28．如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为 ．
29．如图，矩形ABCD中，，，点E是边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG．请完成下列探究
（1）若ED平分，则AE的长等于 ；
（2）连接AF，若，则的面积等于 ．
30．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是： ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求 的值．
31．基础探究：
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．
（2）应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为 ．
32．如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．
①求证：；
②连接CM，若，求GH的长；
（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为 ．（直接写出结果）
33．【阅读材料】如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上且∠EAF＝45°，连接EF，求△CEF的周长．
小明想到解决问题的方法如下：
如图②，延长CB至点G，使BG＝DF，通过证明，得到BE、DF、EF之间的关系，进而求出△CEF的周长．
（1）请按照小明的思路，帮助小明写出完整的求解过程．
（2）【方法应用】如图②，若BE＝1，求DF的长．
（3）【能力提升】如图③，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝1，AD＝4，则CD的长为 ．
【直击中考】
34．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（第34题） （第35题） （第36题） （第37题）
35．如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．E，F 分别为 AC，BD 上一点，且 OE=OF，连接 AF，BE，EF，若∠AFE=25°，则∠CBE 的度数为( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
36．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上， ， ，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若 ， ，则 的度数为 ．
38．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b. 依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为 . （用含a，b的代数式表示）
39．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
40．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第5章特殊平行四边形（解析版）
5.3正方形（1）
【知识重点】
1、正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2、判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
3、判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形.
【经典例题】
【例1】正方形具有而菱形不一定具有的特征是( )
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．中心对称图形 D．有4条对称轴
【答案】D
【解析】A、正方形和菱形的对边互相平行，故A不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，故B不符合题意；
C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C不符合题意；
D、正方形有4条对称轴，菱形有2条对称轴，故D符合题意.
故答案为：D.
【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】分别取的中点为，连接，
分别是的中点，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：D.
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【解析】过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE=90°，AE=AB，
∵∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠AEF=∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF=AC=8，AF=BC=7，
在Rt△ECF中，EF=8，FC=FA+AC=8+7=15，
根据勾股定理得： ．
故答案为：D．
【例4】正方形的对角线长为2，则正方形的边长为 cm.面积为 cm2.
【答案】；2
【解析】如图，正方形ABCD中，对角线AC=2，
由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC， ，
∴ ，S正方形=AB2=2，
故答案为： ；2.
【例5】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP =
BC，则∠DCP度数是 ．
【答案】22.5°
【解析】在正方形ABCD中，∠CBD=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP= ，
∴∠DCP=∠BCD ∠BCP=90° 67.5°=22.5°．
故答案为：22.5°.
【例6】如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE=3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为 。
【答案】4 +6
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠BAD=90°，
∵ △ABE的面积为8，
∴，
∴AB=BC=CD=4，
∴BD=，
∵ CE=3，
∴BE=，DE=1，
∴ △DBE的周长=BD+BE+DE=.
故答案为：
【例7】如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝ DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形.
【答案】证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a， .
∵BE＝2CE，
∴BE＝6a，EC＝3a.
在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝（3a）2＋（2a）2＝13a2.
在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝（9a）2＋（7a）2＝130a2.
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝（9a）2＋（6a）2＝117a2.
∵13a2＋117a2＝130a2，∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形.
【基础训练】
1．如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
【答案】A
【解析】∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故答案为：A．
2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
【答案】C
【解析】∵正方形ABCD，OA=3，
∴AC=BD=6，AO⊥BO，
∴正方形面积为：AC×BD=18.
故答案为：C.
3．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＋∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠EAB＝45°，
∴∠BAG＋∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
则GE＝BG＋BE＝3＋x，CE＝6 x，
∴EF＝3＋x，
∵∠C＝90°，
∴（6 x）2＋32＝（3＋x）2，
解得，x＝2，
∴BE的长为2．
故答案为：A.
4．如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②符合题意；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①符合题意；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③符合题意；
∵AE=FG=EG=BG，BE=HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④不符合题意．
故答案为：A．
5．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】如图：
∵∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝AB，
∴∠AEF＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴EF＝BF＝BE，
∴GE＝AH，
∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，
∴△GEM≌△HAM（ASA），
∴S△HAM＝S△GEM，
∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，
∵AD＝，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，
∴AH＝4，DH＝8，
∴DG＝GE＝4，
．
故答案为：A．
6．如图，点E、F分别是正方形的边上的点，且相交于点G，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABF与△BCE中，
，
∴Δ ABF≌Δ BCE，
∴AF=BE，故A不符合题意；
B、∵∠BAF+∠BFA=90°，
∠BAF=∠EBC，
∴∠EBC+∠BFA=90°，
∴∠BGF=90°，
∴AF⊥BE，故B不符合题意；
C、∵GF与BG的数量关系不清楚，
∴无法得AG与GE的数量关系，故C符合题意；
D、∵△ABF≌△BCE，
∴S△ABF=S△BCE，
∴S△ABF-S△BGF=S△BCE-S△BGF，
即S△ABG=S四边形CEGF，故D不符合题意；
故答案为：C
7．如图，点M是正方形内位于对角线上方的一点，，则的度数为 ．
【答案】135°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠2+∠ADM＝45°，
∵∠MAD＝∠2，
∴∠MAD+∠ADM＝45°，
∵∠AMD＝180°-∠MAD﹣∠ADM，
∴∠AMD＝135°，
故答案为：135°．
8．如图，在矩形中，平分交于点，，，则 ．
【答案】5
【解析】过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
平分，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
故答案为：5．
9．如图，已知正方形的边长为8，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠D=∠BAE
∵
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴∠DAF=∠EBA
∵∠EBA+∠AEG=90°
∴∠DAF+∠AEG=90°
则∠AGE=∠BGF=90°
∵H是BF中点
∴GH=BF
∵BF=
∴GH=BF=5
故答案为：5
10．如图，在 中， ，以 的两边AC、AB为边向外作两个正方形， 、 分别表示这两个正方形的面积，若 ， ，则BC＝ ．
【答案】3
【解析】
故答案为：3.
11．如图，正方形和正方形有公共点A，点B在线段上．判断与的位置关系，并说明理由；
【答案】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴．
12．在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接AE，过点F作FG⊥AE交AE于点G，交DC于点H，试猜想FH与AE的数量关系，并证明你的结论．
【答案】解： FH=AE，
证明：过点B作BM∥FH交DC于M，
∵FG⊥AE，
∴BM⊥AE，
∴∠MBC+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠MBC=∠EAB，
在△MBC和△EAB中，
∴△MBC≌△EAB（ASA），
∴BM=AE，
∵BM∥FH且BF∥HM，
∴四边形BFHM是平行四边形，
∴BM=FH，
∴FH=AE．
13．已知点，分别是正方形的边，上的动点，并且保持，请你证明的周长是一个只与正方形边长有关的定值．
【答案】证明：延长FD至H点，使得DH=BE，连接AH，如图，
在正方形ABCD中，有∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD=BC=CD，
即∠ADH=90°，
∵AB=AD，BE=DH，∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE≌△ADH，
∴∠BAE=∠DAH，AE=AH，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠FAD+∠DAH=∠FAH=45°，
∴∠EAF=∠FAH，
∵AE=AH，AF=AF，
∴△EAF≌△HAF，
∴EF=FH，
∵BE=DH，
∴EF=FH=FD+DH=FD+BE，
∵△CEF的周长为CE+EF+CF，
∴CE+EF+CF=CE+BE+FD+CF=BC+CD=2BC，
即△CEF的周长为定值，且等于正方形ABCD边长的2倍．
14．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4 cm，求CF的长.
【答案】解：∵正方形ABCD，点E是CD的中点，
∴∠B=∠D=90°，AD=CD=4，DE=CE=CD=2，
在Rt△ADE中，
，
∵将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，
∴DE=EF=2，AG=AB=4，BF=FG，
∴GE=
设BF=x，则CF=4-x，
在Rt△GEF中
EF2=GE2+GF2=
∴在Rt△CEF中
EF2=CE2+CF2，
∴
解之：
∴.
15．如图，四边形 是正方形，点 是 边上的一点， ，且 ，连接 ；求 的度数.
【答案】解：作FH⊥CG交BC的延长线于H.
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
又∵∠B=∠EHF，且AE=EF，
∴△ABE≌△EHF，
∴BE=HF，BC=AB=EH，
∴EH-EC=BC-EC，
∴BE=CH，
∴CH=HF.
∴∠FCH=∠CFH=
∴
16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且，连接DE、DF、BE、BF．
（1）求证：≌；
（2）若，，求四边形BEDF的面积．
【答案】（1）证明：依题意，，
在和中，
，
∴≌（SAS）．
（2）解：∵，
∴．
由正方形性质可得：，，，
又∵，
∴，
∴EF=OE+OF=2
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵，
∴四边形BEDF为菱形．
∴菱形BEDF的面积为．
【培优训练】
17．如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，DC上的点，且∠EAF=45°，下列结论：①；②BE+DF=EF；③当△ABE≌△ADF时，EF的长为；④当EF=4时，△CEF是等腰直角三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】如下图所示，过点A作AH，使，AH交EF于点H，过点E做，垂足为M，过点F做，垂足为N；
∵，∠EAF=45°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AE、AF分别是和的角平分线，
∵，；，；
∴，；
∵ ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴点M、N、H三点重合，
∵，，，
∴，
∵，；
∴BE+DF=EF；
故①②符合题意；
当△ABE≌△ADF时，，
设，得，
∵，
∴，
解方程得（负数舍去），
∴，
故③符合题意
当△CEF是等腰直角三角形时，
设，，，
∵，
∴，
解方程得，，
故④不符合题意，
故答案为：C．
18．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，则点B到直线AE的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，
∵BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE==，
∴BE=，
∴BF=EF==2，
∴点B到直线AE的距离是2．
故答案为：B．
19．如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部AE=CF=8，BE=DF=6，则线段EF的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解∶延长DF交AE于G，如图，
∵AB=10， AE=6， BE=8，
∴AB2=AE2+BE2，
∴△ABE是直角三角形，
同理可得△DFC是直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， AB= BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90° ，
∵在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∵∠DCF+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠DCF=∠ADG，
∴∠BAE=∠ADG，
∵∠BAE+∠DAG=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠DGA=90°，即△AGD是直角三角形，
∵在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE，
∴AG=BE=6， DG=AE=8，
∴EG=8-6=2，GF=8-6=2，
∵∠DGA=90°，
∴∠EGF=180°-90°=90°，
∴在Rt△EFG中，
故答案为：∶A ．
20．如图，正方形中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，
∵∠MCE+∠NMC=90°，∠MNP+∠NMC=90°，
∴∠MCE=∠MNP，
在△MNP和△ECB中，
，
∴△BEC≌△PMN，
∴∠MCE=∠PNM，
∴∠ANM=90°-∠MCE=50°．
故答案为：C．
21．如图，正方形的边长为4，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠的性质可得，，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，，故①符合题意；
，
，故②不符合题意；
在中，，
；
，
，
，
，，
．故③不符合题意；
，
，故④符合题意；
综上所述：正确的是①④，
故答案为：B．
22．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP＋PM＝C′P＋PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P＋PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B 3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝，
∴CP＋PM的最小值是 3，
故答案为：B．
23．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【解析】连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴.AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE= BF，所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，连接EH、BH，则A、B、H三点共线，且AE=EH，BH=AB=4，
连接DH交BC于E′，则AE+DE=EH+DE≥DH，当点E在E′处时取等号，
∴BF+DE最小值为DH的长度．
在Rt△ADH中，AH=8，AD=4，
∴DH=，
∴BF+DE最小值为．
故答案为：D．
24．把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是 ．
【答案】y＝x或y＝0.9x
【解析】如图，过A作AB⊥y轴，垂足为点B，则OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB＝4+1＝5，
∵OB＝3，
∴AB 3＝5，
解得：AB＝，
∴A点坐标为（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
∴k＝，
∴直线l解析式为y＝x．
故答案为：y＝x．
25．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q.若∠AMP＝30°，则∠ABE＝ °，的值为 .
【答案】30；
【解析】∵四边形AEDC、四边形AMNB四边形BCGF都为正方形，
∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，
∴∠EAB＝∠CAM，
在△EAB和△CAM中，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，
∴∠BPQ＝∠APM＝60°，
∴∠BQP＝90°，
∴PQ＝ PB，
设AP＝a，
∴PM＝2AP＝2a，
在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM＝ ，
∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝（ ﹣1）a，
∴PQ＝ PB＝ a，
∴QM＝QP+PM＝ a+2a＝ a，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCG＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠ACB＝∠DCG，
在△ACB和△DCG中，
，
∴△ACB≌△DCG（SAS），
∴DG＝AB＝ a，
∴ .
故答案为：30； .
26．如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△CDE的面积为 .
【答案】
【解析】解：过E作EH⊥CD于点H．
∵∠ADG+∠GDH=∠EDH+∠GDH，∴∠ADG=∠EDH．
又∵DG=DE，∠DAG=∠DHE．
∴△ADG≌△HDE．∴HE=AG．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是5和9．即AD2=5，DG2=9．
∴在直角△ADG中，
AG=，∴EH=AG=3．
∴△CDE的面积为CD·EH=××3=．
故答案为.
27．如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 ．
【答案】或46度
【解析】【解答】∵正方形，
∴，，
∵点在对角线上，
∴
∵
∴
∴
在△DEA和△DEC中，
∴△DEA≌△DEC（SAS）
∴
∴
故答案为：．
28．如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接AC，过点C作CG⊥AE交AE的延长线于点G
AE⊥EF，CF⊥EF，则四边形EFCG是矩形，
中，，，，
.
故答案为：.
29．如图，矩形ABCD中，，，点E是边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG．请完成下列探究
（1）若ED平分，则AE的长等于 ；
（2）连接AF，若，则的面积等于 ．
【答案】（1）2
（2）
【解析】（1）四边形是矩形，
，，，
四边形是正方形，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为2；
（2）过点作于点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
（AAS），
，，
由可设，则，
在△AFH中，由勾股定理得：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴；
故答案为．
30．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是： ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求 的值．
【答案】（1）相等且垂直
（2）成立，
理由：∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD MC=BC ∠ACD=∠BCM=90°，
∴ ∠ACD+∠DCM=∠BCM+∠DCM，
即∠ACM=∠BCD，
在△ACM与△DCB中，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
同（1）可证AM⊥DB，
∴AM=BD且AM⊥DB.
（3） 解：如图，
∵AM⊥DB，
∴∠DOM=∠AOB=∠AOD=∠BOM=90°，
由勾股定理得OD2+OM2=DM2，OD2+OA2=AD2，OB2+OM2=MB2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+DM2=OD2+OM2+OA2+OB2=AD2+BM2，
∵AD=AC＝4，BM=BC＝2 ，
∴AB2+DM2=（4）2+（2）2=40.
【解析】（1）相等且垂直.
延长AM交BD与H，
∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD MC=BC ∠ACD=∠BCM=90°，
∴△ACM≌DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
∵∠DMH=∠AMC，
∴∠DHM=∠ACM=90°，
∴AM⊥DB，
故答案为：相等且垂直.
31．基础探究：
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．
（2）应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为 ．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵DF⊥CE，
∴∠ADF+∠DEC＝∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠DEC，
∴△ADF≌△DCE（AAS），
∴DF＝CE，即CE＝DF；
（2）
【解析】（2）过作FH⊥CD于点H，如图②，则FH＝BC＝CD，
∴FG⊥CE，
∴∠CGO+∠OCG＝∠CGO+∠HFG＝90°，
∴∠DCE＝∠HFG，
∵∠D＝∠FHG＝90°，
∴△CDE≌△FHG（ASA），
∴CE＝FG，
∵CD＝12，DE＝5，
∴FG＝CE＝，
∴．
32．如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．
①求证：；
②连接CM，若，求GH的长；
（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为 ．（直接写出结果）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）．
（2）解：①证明：如图2，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，
∴PG=BC，
同（1）得，∠PGH=∠CBE，
在△PGH和△CBE中，
，
∴△PGH≌△CBE（ASA），
∴BE=GH；
②：由①知，BE=GH，连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，，
∴BE=2CM=6，
∴GH=6．
（3）16
【解析】(3)由（2）可知，BE=2ME=2CM，，
∴ME=4，
同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），
∴CG=BE=8，
∵BE⊥CG，∴
故答案为：16．
33．【阅读材料】如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上且∠EAF＝45°，连接EF，求△CEF的周长．
小明想到解决问题的方法如下：
如图②，延长CB至点G，使BG＝DF，通过证明，得到BE、DF、EF之间的关系，进而求出△CEF的周长．
（1）请按照小明的思路，帮助小明写出完整的求解过程．
（2）【方法应用】如图②，若BE＝1，求DF的长．
（3）【能力提升】如图③，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝1，AD＝4，则CD的长为 ．
【答案】（1）解：依照小明的思路：
延长CB至点G，使BG＝DF，如图②，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°=∠D=∠ABC，AD=AB=CD=BC=4，
∵∠FAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，
∵BG=DF，AB=AD，∠D=∠ABG=90°，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠BAG=∠DAF，AF=AG，
∵∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAG=∠EAF，
∵AG=AF，AE=AE，
∴△AFE≌△AGE，
∴EF=GE，
∵△CEF的周长CF+FE+EC=CF+EC+GE，
∵GE=GB+BE，BG＝DF，
∴CF+EC+GE=CF+EC+GB+BE=CF+DF+EC+BE=CD+BC=4+4=8；
（2）解：∵BE=1，
∴EC=BC-BE=4-1=3，
∵FC=DC-DF=4-DF，∠C=90°，
∴在Rt△CEF中，，
∴，
∵在（1）已证明EF=GE，GB=DF，
∴EF=DF+BE=DF+1，
∴，
∴，
解得：DF=2.4；
（3）2.4
【解析】(3)∵AD⊥BC，AD=4，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
以AD为边上在AD的左侧作正方形ADGH，在GH上取一点E，连接AE、BE，使得∠EAB=∠BAC=45°，如图，
在正方形ADGH中，有AH=AD=4，∠H=∠ADG=90°=∠HAD，
∵∠EAB=45°，
∴∠HAE+∠BAD=∠HAD-∠EAB=45°，
∵∠BAC=45°=∠BAD+∠DAC，
∴∠DAC=∠HAE，
∵∠H=∠ADC=90°，AH=AD，
∴△AHE≌△ADC，
∴DC=HE，AE=AC，
即EG=HG-HE=AD-DC=4-DC，
∵∠EAB=∠BAC=45°，AB=AB，
∴△AEB≌△ACD，
∴BC=BE，
∵BD=1，
∴BE=BC=BD+DC=1+DC，
∵GD=AD，
∴GB=GD-BD=AD-BD=4-1=3，
∵∠G=90°，
∴在Rt△GEB中，，
∴，
解得：DC=2.4，
即DC长为2.4．
【直击中考】
34．（2022·资阳）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，
∵A与关于BC对称，
∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
在中，.
故答案为：D.
35．（2022·重庆）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．E，F 分别为 AC，BD 上一点，且 OE=OF，连接 AF，BE，EF，若∠AFE=25°，则∠CBE 的度数为( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】如图，连接CF，
∵正方形ABCD，
∴OB=OC=OA=OD，BD⊥AC，
∴∠AOB=∠DOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，AF=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
又∵∠AFE=25°，
∴∠FAC=∠FCA=20°，
易证△EOB≌△FOC（SAS），
∴∠FCO=∠EBO=20°，
∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=20°+45°=65°.
故答案为：C.
36．（2021·河池）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上， ， ，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 如图，过 作 的垂线分别交 于 ，
四边形 是正方形，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
在 和 中，
（AAS），
，
设 ，则 ，
，
即 ，
解得 ，
，
四边形 是正方形， ，
，
，
.
故答案为：B
37．（2021·包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【解析】连接AE，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°， ，
∵DE=CD，
∴AD=DE=CD，
∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67.5°，
∴ ， ，
又∵EF=EC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△DAE和△DEC中：
∵
∴△DAE≌△DEC(SAS)，
∴AE=EC，
又∵EC=EF，
∴AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠FAE=45°，
∴ ，
故填：22.5°．
38．（2020·台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b. 依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为 . （用含a，b的代数式表示）
【答案】a+b
【解析】如图，
正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a．故正方形ABCD的面积＝a+b．
39．（2019·杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1-x，
解得x= （负根舍去），
即CE= .
（2）证明：因为点日为BC边的中点，
所以CH= ，所以HD= ，
因为CG=CE= ，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG= + = ，所以HD=HG
40．（2017·杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
【答案】（1）解：结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2
（2）解：过点A作AH⊥BG于H．
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABD=∠GBF=45°
∵GF⊥BC
∴∠BGF=45°
∵∠AGF=105°
∴∠AGB=∠AGF-∠BGF=60°
在Rt△ABH中，
∵AB=1
∴AH=BH=
在Rt△AGH中，
∵AH=，∠GAH=30°
∴GH=AH·tan30°=
∴BG=BH+HG=+
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