二次函数专题讲座[下学期]
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二次函数专题讲座
思维基础:
（一）填空：
1．二次函数的图象的开口方向是向 ，顶点从标是 ，对称轴是 。
2．抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 .
3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.
（二）选择：
1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（ ）
图代13-3-1 图代13-3-2
A.a+b+c0 B.a+b+c=0 C.a+b+c0 D.a+b+c的符号不定
2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ）
A.a0，b0，c0，b24ac B.a0，b0，c0，b24ac
C.a0，b0，c0，b24ac D.a0，b0，c0，b24ac
3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
学法指要：
例 在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.
（1） 求点C的坐标及这个二次函数的解析式；
（2） 试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的
三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.
【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交
点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？
【思路分析】 本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表
示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.
解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a0, β0，则a,β是方程
∴△AOC∽△COB。
把A（-4，0）代入①，得
解这个方程得n=2.
∴所求的二次函数的解析式为
现在来解答第二问。
【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC是一个什么样的三角形？
【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=
所求三角形若与△ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.
在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。
这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。
作法：取AO的中点D，过D作D D∥OC，
∴D是AC的中点。
∴ AD：AO=1：2，
即 △ADD=.
△ADD∽△ACO∽△ABC.
图代13-3-3
∴DD是所求作的直线，ADD是所求作的三角形。
方案2：利用∠C作一个△BCF △COB。
作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则△BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。
图13-3-4 图13-3-5
方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则△AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图13-3-6 图13-3-7
方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。
思维体操
例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时
相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.
图13-3-8
如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：
解之，于是有
解方程组，得
；
.
∴所求抛物线解析式为
或.
∵，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.
∴所求抛物线解析式为
（0≤x≤10）.
【扩散2】 仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为
.
又其图象过A，C两点，则
解方程组，得
；
.
∵抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.
故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.
【扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.
于是设抛物线解析式为，
其图象又过A，C两点，则有
，∴.
又
，
∴ . ②
①②联立解方程组，得
；
.
但不合题意，舍去.
故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.
【扩散4】 由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.
设抛物线，则可得
解这个方程组，得
.
∵（m，3）在第一象限，∴m0.
∴m=-20（舍去），∴m=4.
进而求得：
故所求抛物线解析式是：（0≤x≤10）.
【扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.
（1） 若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2） 说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.
【思路分析】
1 本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛
物线解析式为：（0≤x≤10）.
2 过点C作CB⊥Ox，垂足为B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得点在抛
物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.
【扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现
把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
图代13-3-9
【思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），
又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长.
【评析】 由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、
直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.
图13-3-10
本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，
我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的.
心中有数：
二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待
定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.
动手动脑：
1. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采
用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？
2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若
△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.
3. 已知抛物线.
（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.
（3） 当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.
创新园地：
如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数
的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为 .
提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.
图13-3-11
思维基础:
（一）填空：
1．二次函数的图象的开口方向是向 ，顶点从标是 ，对称轴是 。
2．抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 .
3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.
（二）选择：
1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（ ）
图代13-3-1 图代13-3-2
A.a+b+c0 B.a+b+c=0 C.a+b+c0 D.a+b+c的符号不定
2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ）
A.a0，b0，c0，b24ac B.a0，b0，c0，b24ac
C.a0，b0，c0，b24ac D.a0，b0，c0，b24ac
3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
学法指要：
例 在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.
（1） 求点C的坐标及这个二次函数的解析式；
（2） 试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的
三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.
【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交
点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？
【思路分析】 本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表
示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.
解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a0, β0，则a,β是方程
∴△AOC∽△COB。
把A（-4，0）代入①，得
解这个方程得n=2.
∴所求的二次函数的解析式为
现在来解答第二问。
【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC是一个什么样的三角形？
【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=
所求三角形若与△ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.
在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。
这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。
作法：取AO的中点D，过D作D D∥OC，
∴D是AC的中点。
∴ AD：AO=1：2，
即 △ADD=.
△ADD∽△ACO∽△ABC.
图代13-3-3
∴DD是所求作的直线，ADD是所求作的三角形。
方案2：利用∠C作一个△BCF △COB。
作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则△BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。
图13-3-4 图13-3-5
方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则△AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图13-3-6 图13-3-7
方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。
思维体操
例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时
相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.
图13-3-8
如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：
解之，于是有
解方程组，得
；
.
∴所求抛物线解析式为
或.
∵，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.
∴所求抛物线解析式为
（0≤x≤10）.
【扩散2】 仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为
.
又其图象过A，C两点，则
解方程组，得
；
.
∵抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.
故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.
【扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.
于是设抛物线解析式为，
其图象又过A，C两点，则有
，∴.
又
，
∴ . ②
①②联立解方程组，得
；
.
但不合题意，舍去.
故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.
【扩散4】 由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.
设抛物线，则可得
解这个方程组，得
.
∵（m，3）在第一象限，∴m0.
∴m=-20（舍去），∴m=4.
进而求得：
故所求抛物线解析式是：（0≤x≤10）.
【扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.
（1） 若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2） 说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.
【思路分析】
1 本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛
物线解析式为：（0≤x≤10）.
2 过点C作CB⊥Ox，垂足为B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得点在抛
物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.
【扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现
把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
图代13-3-9
【思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），
又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长.
【评析】 由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、
直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.
图13-3-10
本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，
我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的.
心中有数：
二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待
定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.
动手动脑：
1. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采
用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？
2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若
△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.
3. 已知抛物线.
（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.
（3） 当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.
创新园地：
如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数
的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为 .
提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.
图13-3-11
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