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浙教版2022-2023学年八下数学第五章 特殊平行四边形 培优测试卷1
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.菱形的两条对角线长分别为9cm与4cm,则此菱形的面积为( )cm2.
A.12 B.18 C.20 D.36
2.如图,小明在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧相交于C,D两点,直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形 一定是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法确定
(第2题) (第5题) (第6题) (第7题)
3.下列命题中,错误的是( )
A.矩形的对角线互相平分且相等 B.等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
C.等腰梯形的两条对角线相等 D.对角线互相垂直的四边形是菱形
4.周长为16的菱形 中,有一个角为45°,则菱形 的面积为( )
A. B.16 C.8 D.
5.如图所示,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为( )
A.(2-) B.(2-)2 C.2 D.2(2-)
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为底边在△ABC外部画等腰直角三角形,三个等腰直角三角形的面积分别是S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是( )
A. B. C. D.
7.如图,在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合),若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,则四边形EFGH周长的最小值等于( )
A.10 B.10 C.5 D.5
8.如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b=( )
A. B. C. D.
(第8题) (第9题) (第10题)
9.如图,正方形ABCD的边长为4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处,该三角形板的两条直角边与CD交于点F,与CB延长线交于点E,四边形AECF的面积是( )
A.16 B.12 C.8 D.4
10.如图,正方形ABCD的边长为3,将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,在AB上滑动,同时点F在BC上滑动,当点F到达点C时,运动停止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.如图,已知MN∥PQ,EF与MN,PQ分别交于A、C两点,过A、C两点作两组内错角的平分线,分别交于点B、D,则四边形ABCD是 .
(第11题) (第12题) (第13题)
12.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 度.
13.如图,把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠,使点B与点D重合,点A落在点G处, ,则 的度数为 .
14.菱形ABCD的对角线 =6 cm, =8 cm,则菱形ABCD的面积是 cm2.
15.如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点,若BH=7,BC=13,则DH= .
16.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=45°,AB= ,CD=5,AD=7,则BC= ,AC= .
(第15题) (第16题)
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.如图,点A、F、C、D在同一条直线上,点B、E分别在直线AD的两侧,且,,.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形.
(2)若四边形BCEF为菱形,,,,求线段AF的长.
18.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=AC,连接AE、CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠BCD=60°,求AE的长.
19.如图,将△ABC沿射线BC平移得到△A'B'C',使得点A'落在∠ABC的平分线BD上,连接AA'、AC'.
(1)判断四边形ABB'A'的形状,并证明;
(2)在△ABC中,AB=6,BC=4,若AC′⊥A'B',求四边形ABB'A'的面积.
20.如图,在菱形 中, ,点 在对角线 上,将线段 绕点 顺时针旋转 ,得到 ,连接
(1)求证: ;
(2)若 ,求四边形 的面积.
21.已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
(1)求证:△ABM≌△DCM
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:AB= _时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
22.如图,平面直角坐标系中,点A在第一象限,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,A(4m,3m),且四边形ABOC的面积为48.
(1)如图①,求A点的坐标;
(2)如图②,点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,同时点E从A出发,以每秒2个单位的速度沿射线BA运动,DE交线段AC于F,设运动的时间为t,当S△AEF<S△CDF时,求t的取值范围.
23.如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且,连接PD,O为AC中点.
(1)如图1,当点P在线段AO上时,试猜想PE与PD的数量关系和位置关系,请说明理由;
(2)如图2,当点P在线段OC上时,直接写出PB、BC、CE之间的数量关系;
(3)如图3,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当时,连接,试探究线段PB与线段DE的数量关系,并说明理由.
24.如图甲,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB= ,PC=1,求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
解题思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP′.
(1)△P′PB是 三角形,△PP′A是 三角形,∠BPC= °;
(2)利用△BPC可以求出△ABC的边长为 .
(3)如图丙,在正方形ABCD内有一点P,且PA= ,BP= ,PC=1;
求∠BPC度数的大小;
(4)求正方形ABCD的边长.
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浙教版2022-2023学年八下数学第五章 特殊平行四边形 培优测试卷1
(解析版)
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.菱形的两条对角线长分别为9cm与4cm,则此菱形的面积为( )cm2.
A.12 B.18 C.20 D.36
【答案】B
【解析】根据对角线的长可以求得菱形的面积,
根据S=ab=×4cm×9cm=18cm2,
故选:B.
2.如图,小明在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧相交于C,D两点,直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形 一定是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法确定
【答案】B
【解析】根据作图方法可得: ,
因此四边形ABCD一定是菱形.
故答案为:B.
3.下列命题中,错误的是( )
A.矩形的对角线互相平分且相等
B.等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
C.等腰梯形的两条对角线相等
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【解析】A、矩形的对角线互相平分且相等,所以A选项为真命题;
B、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等,所以B选项为真命题;
C、等腰梯形的两条对角线相等两直线平行,所以C选项为真命题;
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以D选项为假命题.
故选D.
4.周长为16的菱形 中,有一个角为45°,则菱形 的面积为( )
A. B.16 C.8 D.
【答案】A
【解析】如图作DH⊥AB于H.
∵四边形ABCD是菱形,∠A=45°,菱形的周长为16,∴AD=AB=4,AH=DH,
∴ ,即 ,
解得:DH=2 ,
∴S菱形ABCD=AB DH= .故答案为:A.
5.如图所示,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为( )
A.(2-) B.(2-)2 C.2 D.2(2-)
【答案】A
【解析】∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2,
∴两个正方形的边长分别是 2,,
∴阴影部分的面积=(2-)×=2-2.
故选A.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为底边在△ABC外部画等腰直角三角形,三个等腰直角三角形的面积分别是S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:AB2=AC2+BC2,
∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形,
∴S1= AF2= AB2,S2= EC2= BC2,S3= AD2= AC2,
∴S2+S3= BC2+ AC2= (BC2+AC2)= AB2,
∴S2+S3=S1.
故答案为:B.
7.如图,在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合),若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,则四边形EFGH周长的最小值等于( )
A.10 B.10 C.5 D.5
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴,,,
∵,,
∴,,
在和中
∵,
∴,
∴,
同理,
∴,
如图,作关于的对称点,连接交于,此时最小,即四边形周长最小,作于,
∴四边形是矩形,
∴,,
∵,,
∴,,
在中,由勾股定理得,
∴四边形的周长,
故答案为:A.
8.如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据左图可以知道图形是一个正方形,边长为(a+b),右图是一个长方形,长宽分别为(b+a+b)、b,并且它们的面积相等,
依题意得(a+b)2=b(b+a+b),而a=1,
∴b2-b-1=0,
∴b= ,而b不能为负,
∴b= .
故选B.
9.如图,正方形ABCD的边长为4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处,该三角形板的两条直角边与CD交于点F,与CB延长线交于点E,四边形AECF的面积是( )
A.16 B.12 C.8 D.4
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为正方形,
∴∠D=∠ABC=90°,AD=AB,
∴∠ABE=∠D=90°,
∵∠EAF=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°,∠BAE+∠BAF=90°,
∴∠DAF=∠BAE,
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD(ASA),
∴S△AEB=S△AFD,
∴它们都加上四边形ABCF的面积,
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16.
故选:A.
10.如图,正方形ABCD的边长为3,将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,在AB上滑动,同时点F在BC上滑动,当点F到达点C时,运动停止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示,连接BM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠QBF=90°,
∵M是线段QF的中点,
∴ ,
∴M在以B为圆心,以 的长为半径的圆上运动,Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置,当F与C重合时,此时线段QF的中点为M的终点位置,即线段QF的中点M所经过的路线长即为 ,
当Q与A重合时,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABF=90°,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵M是AF(QF)的中点,
∴ ,
∴ ,
同理可求得 ,
∴ ,
∴线段QF的中点M所经过的路线长 .
故答案为:C.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.如图,已知MN∥PQ,EF与MN,PQ分别交于A、C两点,过A、C两点作两组内错角的平分线,分别交于点B、D,则四边形ABCD是 .
【答案】矩形
【解析】证明:∵MN∥PQ,
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC,
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ,
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ,
又∵∠MAC=∠ACQ,
∴∠BAC=∠DCA,
∴AB∥CD,
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC,
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC,
又∵∠ACP=∠NAC,
∴∠BCA=∠DAC,
∴AD∥CB,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD平行四边形,
∵∠BAC= ∠MAC,∠ACB= ∠ACP,
又∵∠MAC+∠ACP=180°,
∴∠BAC+∠ACP=90°,
∴∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,
故答案为:矩形.
12.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 度.
【答案】22.5
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴OA=OB═OC,
∴∠OAC=∠ODA,∠OAB=∠OBA,
∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC,
∵∠EAC=2∠CAD,
∴∠EAO=∠AOE,
∵AE⊥BD,
∴∠AEO=90°,
∴∠AOE=45°,
∴∠OAB=∠OBA= =67.5°,
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°.
故答案为22.5°.
13.如图,把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠,使点B与点D重合,点A落在点G处, ,则 的度数为 .
【答案】56
【解析】∵把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠,使点B与点D重合,点A落在点G处,
∴∠G=∠A=90°,∠GDE=∠B=90°,
∵∠DFG=68°,
∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°,
∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°,
∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°,
由折叠可得:∠FEB=∠FED,
∴ ,
故答案为:56.
14.菱形ABCD的对角线 =6 cm, =8 cm,则菱形ABCD的面积是 cm2.
【答案】24
【解析】∵菱形ABCD的对角线AC=6cm,BD=8cm,
∴菱形ABCD的面积为:
故答案为24.
15.如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点,若BH=7,BC=13,则DH= .
【答案】17
【解析】∵将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,∠AEB=90°,
∴AF=AE,BE=DF,∠DFA=∠E=∠AFH=90°,∠EAF=90°,
∴四边形AEHF为正方形,
∴AF=EH,
设EH=x,
BH=7,
BE=7+x,AF=EF=x,
在正方形ABCD中,AD=BC=13,
在Rt△AFD中,
根据勾股定理,得,
解得=﹣12(舍去),=5,
∴DH=17.
故答案为:17.
16.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=45°,AB= ,CD=5,AD=7,则BC= ,AC= .
【答案】;
【解析】如图,过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥AD交AD的延长线于F,连接BD,
根据所作辅助线可知: ,
∵ , ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴在 中, ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ , ,
∴ ,
∴在 中, .
故答案为: .
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.如图,点A、F、C、D在同一条直线上,点B、E分别在直线AD的两侧,且,,.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形.
(2)若四边形BCEF为菱形,,,,求线段AF的长.
【答案】(1)证明:点A、F、C、D在同一条直线上,,
∴,
在和中,
∴,
∴,,
∴,∴,
又∵,∴四边形BCEF是平行四边形
(2)解:连接BE,交CF于点G,如图所示:
∴当四边形BCEF是菱形时,,,,
在中,∵,,
∴
由面积法可得,即
∴
在中,∵,,
∴,
∴,
∴.
18.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=AC,连接AE、CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠BCD=60°,求AE的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC=AC,
∴∠DOC=90°,
∵DE∥AC,DE=AC,
∴DE=OC,DE∥OC,
∴四边形OCED是平行四边形,
又∵∠DOC=90°,
∴平行四边形OCED是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BC=CD=8,OB=OD,AO=OC=AC,
∵∠BCD=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=BC=2,
∴OD=OB=1,
∴OC==,
∴AC=2OC=,由(1)得:四边形OCED为矩形,
∴CE=OD=1,∠OCE=90°,
在Rt△ACE中,由勾股定理得:
AE==,
19.如图,将△ABC沿射线BC平移得到△A'B'C',使得点A'落在∠ABC的平分线BD上,连接AA'、AC'.
(1)判断四边形ABB'A'的形状,并证明;
(2)在△ABC中,AB=6,BC=4,若AC′⊥A'B',求四边形ABB'A'的面积.
【答案】(1)解:四边形ABB′A′是菱形. 理由:由平移得AA′∥BB′,AA′=BB′,
∴四边形ABB′A′是平行四边形,∠AA′B=∠A′BC.
∵BA′平分∠ABC,
∴∠ABA′=∠A′BC,
∴∠AA′B=∠A′BA.
∴AB=AA′,
∴□ABB′A′是菱形
(2)解:过点A作AF⊥BC于点F 由(1)得BB′=BA=6.
∵AC′⊥A′B′,
∴∠B′EC′=90°,
∵AB∥A′B′,
∴∠BAC′=∠B′EC′=90°.
在Rt△ABC′中,AC′= .
∵S△ABC′= ,
∴AF= ,
∴S菱形ABB′A′= ,
∴菱形ABB′A′的面积是 .
20.如图,在菱形 中, ,点 在对角线 上,将线段 绕点 顺时针旋转 ,得到 ,连接
(1)求证: ;
(2)若 ,求四边形 的面积.
【答案】(1)解: 四边形 是菱形,
有旋转性质知:
在 和 中
(2)解:
过点 作 于 ,由于 ,故
21.已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
(1)求证:△ABM≌△DCM
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:AB= _时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC。
又∵MA=MD,∴△ABM≌△DCM(SAS)
(2)解:四边形MENF是菱形。证明如下:
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点,∴NE∥CM,NE= CM,MF= CM。
∴NE=FM,NE∥FM。∴四边形MENF是平行四边形。
∵△ABM≌△DCM,∴BM=CM。
∵E、F分别是BM、CM的中点,∴ME=MF。
∴平行四边形MENF是菱形。
(3)2:1
【解析】(1)求出AB=DC,∠A=∠D=90°,AM=DM,根据全等三角形的判定定理推出即可。(2)根据三角形中位线定理求出NE∥MF,NE=MF,得出平行四边形,求出BM=CM,推出ME=MF,根据菱形的判定推出即可。(3)当AD:AB=2:1时,四边形MENF是正方形,理由如下:
∵M为AD中点,∴AD=2AM。
∵AD:AB=2:1,∴AM=AB。
∵∠A=90°,∴∠ABM=∠AMB=45°。
同理∠DMC=45°。
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°。
∵四边形MENF是菱形,∴菱形MENF是正方形。
22.如图,平面直角坐标系中,点A在第一象限,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,A(4m,3m),且四边形ABOC的面积为48.
(1)如图①,求A点的坐标;
(2)如图②,点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,同时点E从A出发,以每秒2个单位的速度沿射线BA运动,DE交线段AC于F,设运动的时间为t,当S△AEF<S△CDF时,求t的取值范围.
【答案】(1)解:∵ AB⊥x轴, AC⊥y轴,
∴四边形ABOC是矩形,
∵AC =4m ,AB=3m,四边形ABOC的面积为48,
∴4m×3m=48,
∴m=2或-2,
∵点A在第一象限,
∴m=2,
∴A(8,6);
(2)解:由题意知,OD=t,AE=2t,
∵S△AEF<S△CDF,
∴S△CDF+S五边形ABODF>S△AEF+S五边形ABODF,即S四边形ABOC>S梯形DOBE,
∴ ,
∴ ,
∴t的取值范围是 .
23.如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且,连接PD,O为AC中点.
(1)如图1,当点P在线段AO上时,试猜想PE与PD的数量关系和位置关系,请说明理由;
(2)如图2,当点P在线段OC上时,直接写出PB、BC、CE之间的数量关系;
(3)如图3,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当时,连接,试探究线段PB与线段DE的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:PD=PE且PD⊥PE,理由如下:
∵正方形ABCD,AC是对角线,∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
又∵PC=PC∴△BCP≌△DCP(SAS).∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.又∵PE=PB,
∴PD=PE,∠PBC=∠PEB.∴∠PEB=∠PDC.∴∠PEC+∠PDC=180°.
由四边形PECD内角和为360°,∴∠DPE+∠DCE=180°.
∵∠DCE=90°,∴∠DPE=90°.∴PD⊥PE且PD=PE;
(2)解:BC2+CE2=2PB2,理由如下:如图.连接DE,
由(1)可得△BCP≌△DCP,∴∠CDP=∠CBP,BP=DP,∵BP=PE,
∴∠CBP=∠PEC,PD=PE,∴∠PEC=∠PDC,∵∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,∴PE⊥PD.∴DE2=PD2+PE2=2PE2,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCD=∠DCE=90°,∴在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,∴BC2+CE2=DE2=2PE2,又∵PE=PB,
∴BC2+CE2=2PB2.
(3)解:数量关系:DE=PB,理由:如图3,
∵四边形ABCD是菱形,且∠BAD=120°,
∴∠ACB=∠ACD=60°,∴∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°,
∵点P在对角线AC上,∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得:PD=PB,∠PDC=∠PBC,∵PB=PE,∴PD=PE,∠PBC=∠PEC,
∴∠PEC=∠PDC,又∵∠PHD=∠CHE,∴∠DPE=∠DCE=60°,∴△PED是等边三角形,∴DE=PE,∴DE=PB.
24.如图甲,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB= ,PC=1,求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
解题思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP′.
(1)△P′PB是 三角形,△PP′A是 三角形,∠BPC= °;
(2)利用△BPC可以求出△ABC的边长为 .
(3)如图丙,在正方形ABCD内有一点P,且PA= ,BP= ,PC=1;
求∠BPC度数的大小;
(4)求正方形ABCD的边长.
【答案】(1)等边;直角;150
(2)
(3)解:将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB,
与(1)类似:可得:AE=PC=1,BE=BP= ,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°, ∴ , 由勾股定理得:EP=2, ∵
∴AE2+PE2=AP2,
∴∠AEP=90°,
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°
(4)解:过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F; ∴∠FEB=45°,
∴FE=BF=1,
∴AF=2; ∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB= ; ∴∠BPC=135°,正方形边长为 .
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′,
∴
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP′是等边三角形,
∴
∵AP′=1,AP=2,
∴AP′2+PP′2=AP2,
∴∠AP′P=90°,则△PP′A是 直角三角形;
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°;(2)过点B作BM⊥AP′,交AP′的延长线于点M,
∴
由勾股定理得:
∴
由勾股定理得:
故答案为:(1)等边;直角;150; ;
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