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浙教版2022-2023学年八下数学第五章 特殊平行四边形 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故答案为：C.
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】作EH⊥BD于H，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝5，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC＝∠EBH，
在△EBH和△EBC中，
，
∴△EBH≌△EBC，
∴BC＝BH＝4，EC＝EH，设EC＝EH＝x，
在Rt△DEH中，
∵DE2＝DH2+EH2，
∴（3﹣x）2＝12+x2，
∴x＝，
∴CE＝，
故答案为：A．
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
4．如图，在矩形 中，点 在 边上， 于 ，若 ， ，则线段 的长是( )
A．5 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90°，
∵FE=CE，
∵DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴∠FED=∠DEC，
∴∠FED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴BE=BC-EC=AE-EC，
在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2=AE2，
即32+（x-1）2=x2，
解得：x=5，
所以AE=5，
∴AF=AE-EF=5-1=4，
故答案为：B.
5．如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，
∴，AC平分∠DAB，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
6．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：
①；②≌；
③；④．
其中正确的结论是（ ）．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】∵，
∴，，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，即，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，，
，
∴，
∴①符合题意；
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴②符合题意；
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴③符合题意；
∵，，，
∴，
∴的面积为，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴的面积为，
∴，
∴④符合题意；
故答案为：A．
7．如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、.下列结论：①；②；③；④.正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=CF，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF；故①符合题意；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=CD=AD，
即2HG=AD；故④符合题意；
连接AH，如图所示：
同理可得：AH⊥DF，
∵HG=HD=CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD；
若AG=DG，则△ADG是等边三角形，
则∠ADG=60°，∠CDF=30°，
而CF=CD≠DF，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∴AG≠DG，故②不符合题意；
∴∠DAG=2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH=∠CDF，
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
∴∠CHG=∠DAG；故③符合题意；
正确的结论有3个，
故答案为：C．
8．已知菱形，E、F是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（ ）
①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴∠B＝180° ∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
在△BEC和△AFC中，，
∴△BEC≌△AFC（SAS），①符合题意；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，②符合题意；
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，
∴当CE⊥AB时，的边长取最小值，
∵∠B＝60°，
∴此时∠BCE＝30°，
∴BE＝，
∴CE＝，
∴的边长最小值为，③不符合题意；
过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB BE＝5 2＝3，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝3，
∵AD∥BC，
∴AF∥EM
∴，
∴，④符合题意；
故答案为：C．
9．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴四边形ABGD是平行四边形，∠ADB＝∠CBD，∠ADC＝180°－∠BCD＝90°，
∵ ，
∴四边形ABGD是菱形，
∴BG＝DG＝2，
∴∠BDG＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠BDG＝∠CBD，
∵ 平分 ，
∴∠CDG＝∠BDG，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠ADB＝∠CBD＝ ∠ADC＝30°，∠BDC＝60°，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，故①符合题意，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝ DG＝1，
∴CD＝ ，故②不符合题意，
∵ ， ，
∴ ，故③符合题意．
∵点E为 中点，
∴CE＝BE＝DE＝ BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，故④符合题意，
综上，正确的有①③④，
故答案为：C
10．如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠ABD=45°，
∴BF=EF，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，
∵∠ABD=∠FPG=45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，
∴∠APF=∠PEF=∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP=BG，
∴AP=PE；
故①正确；
如图2，连接CG，
由①知：PG∥AB，PG=AB，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG=CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG=PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，
∵∠CEG=45°，
∴CE= CG= PD；
故③正确；
如图3，连接AC交BD于O，
∠CGF=∠GFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD=
∴∠COF=90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴OC=FG，BD=2OC=2FG，
△BFG≌△EFP，
，
，
故②正确；
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 .
故④正确.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 °．
【答案】40
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
12．如图，在 中， ，在此三角形内作一个正方形DEFG，其中GF边是AB边上的一部分，点D、E分别在AC、BC上，若 时，则正方形DEFG的边的长度是 ．
【答案】1
【解析】∵ Rt△ABC中， ， ，
∴ ，∠A=∠B=45°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠AGD=∠BFE=90°，GF=GD=EF，
∴△AGD与△BFE是等腰直角三角形，
∴AG=DG，BF=EF，
∴AG=FG=FB=1，
故答案为：1．
13．如图，点E、F分别是正方形 的边 、 上的点，且 ，已知 ，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】9
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝ BD，OC＝ AC，AC＝BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴图中阴影部分的面积＝S△AOD＝ S正方形ABCD，
∵AD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝ ×62＝9.
故答案为：9.
14．如图所示，在 中， ，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点 ，连结OC.已知 ，则BC的长为 .
【答案】5
【解析】如图，过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝3，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC＝4，
由勾股定理得：CF＝OF＝4，
∴BF＝OF﹣MF＝4﹣3＝1，
∴BC＝CF+BF=4+1＝5．
故答案为：5．
15．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO，若，，则 ．
【答案】
【解析】过点E作EF⊥DC于F，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD=AB，∠BDC＝∠DBC=∠DBA=45°．
∵PE⊥BD，
∴△DEP为等腰直角三角形．
∵EF⊥DC，
∴EF＝DF＝FP＝DP．
∵PE⊥BD，O为BP的中点，，
∴BP＝2OE＝6．
在Rt△BCP中，
∵∠PBC＝30°，
∴CP＝BP＝3．
∴BC＝．
∴CD＝．
∴DP＝CD﹣CP＝．
∴EF＝FP＝．
∴FC＝CP+FP＝．
在Rt△EFC中，
CE＝＝＝．
在 ABE与 CBE中，
，
∴ ABE CBE，
∴AE=CE=，
故答案为：cm．
16．如图，在△CDE中，CD=1，∠CDE=45°，分别以CD，CE为边向外作正方形ABCD， CEFG。若AE=BD，则EF2= 。
【答案】
【解析】 过E作EN⊥AD，EM⊥CD，
∵∠CDN=45°，
∴四边形DMEN为正方形，
设DN=x，
∴EN=DM=EM=x，
∵AE=BD=CD=，
在Rt△AEN中，∵AN2+EN2=AE2，即（1+x）2+x2=2，
解得x=或（舍），
∵在Rt△CME中，∵CM2+EM2=CE2，即CE2=（+1）2+（）2=4-2，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF2=4-2，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD=BD， OC＝AC＝2，
∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD，
∵OD=BD，
∴OD= OE=3，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
即菱形的边长是
18．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
又点E，点F在边 上，
DF∥BE，
由已知条件：DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵四边形DEBF是矩形，
∴∠BFC=∠BFD=90°，
在Rt△BFC中，由勾股定理可知： ，
即 ，
由已知条件知DF=10，
∴AD=DF，△DAF为等腰三角形，
∴∠DFA=∠DAF，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∴AF平分∠DAB．
19．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB＝∠AEF．
（1）如图1，求证：BE+DF＝EF；
（2）如图2，若CE＝2BE，AE＝4，求证：DF＝CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF与AD的延长线交于P，连接BD交AE于M，交AF于N，连接NP，BM＝3，求NP的长．
【答案】（1）证明：作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∵ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵∠AEB＝∠AEF，∵∠ABE＝∠AGE，AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（AAS），∴BE＝GE，AG＝AB，∴AG＝AD，∵∠AGF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝EF；
（2）证明：∵CE＝2BE，∴AB＝3BE，∵AE＝，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，∴BE＝4（负值舍去），∴CE＝8，CD＝12，设DF＝x，FC＝12﹣x，EF＝BE+DF＝4+x，∴82+（12﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝6，∴CF＝6，∴DF＝CF；
（3）解：由（1）得∠BAE＝∠EAG，∠GAF＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAG+∠GAF+∠DAF＝90°，∴∠EAF＝45°，作AK⊥AM，截取AK＝AM，连接DK，NK，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAK，AM＝AK，∴△AMB≌△AKD（SAS），∴BM＝DK＝，∠BAE＝∠DAK，∴∠MAN＝∠KAN，∵AM＝AK，AN＝AN，∴△ANM≌△ANK（SAS），∴MN＝NK，设DN＝m，MN＝NK＝，∵∠ADB＝45°，∴∠KDN＝90°，∴DK2+DN2＝NK2，∴m＝， 作NH⊥AD于H，∴NH＝DH＝DN＝4，∵DF＝CF，∠DFP＝∠CFE，∠PDF＝∠ECF，∴△FDP≌△FCE（ASA），∴DP＝CE＝8，∴HP＝12，∴NP＝．
20．如图，在正方形 中，边长为3，点M，N是边 ， 上两点，
且 ，连接 ， ；
（1）则 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）若点E，F分别是 与 的中点，计算 的长；
（3）延长 至P，连接 ，若 ，试求 的长．
【答案】（1）CM=DN；DN⊥CM
（2）解：连 并延长交 于G，
∵BC∥AD，
∴∠ENC=∠EDG，
∵NE=DE，∠NEC=∠GED，
∴ ，NC=GD=1，
又∵ ，
∴ ，
∵正方形的边长为3， ，
∴
∴
（3）解：过点B作 于点H，
，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【解析】（1）设CM与DN交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，
∵ ，
∴△BCM≌△CDN，
∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD=90°，
∴∠CDN+∠MCD=90°，
∴∠CQD=90°，
∴ ，
故答案为： ， ．
21．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MH AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长.
【答案】（1）证明：如图1， 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
又 ， ，
，
，
（2）解：①如图2，设 ，则 ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②如图3，连接 ， ，
， ，
， ，
，
，
又 是等腰直角三角形，
是 的垂直平分线，
， ，
， ，
，
，
，
.
22．如图正方形，点E、G、H分别在、、上，与相交于点O．
（1）如图1，当，
①求证：；
②平移图1中线段，使G点与D重合，H点在延长线上，连接，取中点P，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，当，边长，，则的长为 （直接写出结果）．
【答案】（1）解：①过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
又∵DM∥GH，
∴四边形DGHM是平行四边形，
∴GH=DM，GD=MH，
∴∠GOD=∠MDE=90°，
∴∠MDC+∠EDC=90°，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠MDC=∠ADE，
在△ADE和△CDM中，
∴△ADE≌△CDM（AAS），
∴DE=DM，
∴DE=GH；
②在BC上截取BN=BE，如图2，
则△BEN是等腰直角三角形，EN=BE，
由（1）知，△ADE≌△CDH，
∴AE=CH，
∵BA=BC，BE=BN，
∴CN=AE=CH，
∵PH=PE，
∴PC=EN，
∴PC=BE，
∴BE=PC；
（2）
【解析】（2）如图3，过点D作DN//GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，
∴DN=HG，GD=HN，
∵∠C=90°，CD=AB=3，HG=DN=，
∴，
∴BN=BC-CN=3-1=2，
作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，
在△ADM和△CDN中，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AM=NC，∠ADM=∠CDN，DM=DN，
∵∠GOD=45°，
∴∠EDN=45°，
∴∠ADE+∠CDN=45°，
∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，
在△MDE和△NDE中，
∴△MDE≌△NDE，
∴EM=EN，
即AE+CN=EN，
设AE=x，则BE=3-x，
在Rt△BEN中，22+（3-x）2=（x+1）2，
解得：x=，
∴.
23．如图，已知，，，E是边的中点．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）F为边上一点，．
①若F为的中点，探究与的数量关系，并证明．
②如图，若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形；
（2）解：①结论：．
理由：如图，延长，交于点G，
四边形是矩形，
，，
，
是边的中点，
，
在△AGE和△BCE中
，
，
=AD．
为中点，
，
，
．
，
，，
，
∴，
．
；
②∵，
∴，，
∵，，，，
∴，，
，
设，
根据勾股定理得：，
即，
解得：．
，
，
．
24．在正方形中，点在边上运动，点在边或上运动．
（1）若点在边上，
如图1，已知，连结，求证：．
如图2，已知平分，求证：．
（2）若点在边上，如图，已知为的中点，且，求证：．
【答案】（1）①证明：延长至，使，连接，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
②证明：如图2，延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
平分，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：延长交的延长线于点，
为中点，
．
，，
≌，
，，
在上截取，则，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
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浙教版2022-2023学年八下数学第五章 特殊平行四边形 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，在矩形 中，点 在 边上， 于 ，若 ， ，则线段 的长是( )
A．5 B．4 C． D．
5．如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：
①；②≌；
③；④．
其中正确的结论是（ ）．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
7．如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、.下列结论：①；②；③；④.正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知菱形，E、F是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（ ）
①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
9．如图，在四边形中，，，，点G为上一点，，且平分，点E为中点，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 °．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题）
12．如图，在 中， ，在此三角形内作一个正方形DEFG，其中GF边是AB边上的一部分，点D、E分别在AC、BC上，若 时，则正方形DEFG的边的长度是 ．
13．如图，点E、F分别是正方形 的边 、 上的点，且 ，已知 ，则图中阴影部分的面积是 .
14．如图所示，在 中， ，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点 ，连结OC.已知 ，则BC的长为 .
15．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO，若，，则 ．
16．如图，在△CDE中，CD=1，∠CDE=45°，分别以CD，CE为边向外作正方形ABCD， CEFG。若AE=BD，则EF2= 。
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长．
18．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
19．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB＝∠AEF．
（1）如图1，求证：BE+DF＝EF；
（2）如图2，若CE＝2BE，AE＝4，求证：DF＝CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF与AD的延长线交于P，连接BD交AE于M，交AF于N，连接NP，BM＝3，求NP的长．
20．如图，在正方形 中，边长为3，点M，N是边 ， 上两点，
且 ，连接 ， ；
（1）则 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）若点E，F分别是 与 的中点，计算 的长；
（3）延长 至P，连接 ，若 ，试求 的长．
21．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MH AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长.
22．如图正方形，点E、G、H分别在、、上，与相交于点O．
（1）如图1，当，
①求证：；
②平移图1中线段，使G点与D重合，H点在延长线上，连接，取中点P，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，当，边长，，则的长为 （直接写出结果）．
23．如图，已知，，，E是边的中点．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）F为边上一点，．
①若F为的中点，探究与的数量关系，并证明．
②如图，若，，求的长．
24．在正方形中，点在边上运动，点在边或上运动．
（1）若点在边上，
如图1，已知，连结，求证：．
如图2，已知平分，求证：．
（2）若点在边上，如图，已知为的中点，且，求证：
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