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浙教版2022-2023学年八下数学第五章 特殊平行四边形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，是菱形
B．当时，是矩形
C．当时，是菱形
D．当且时，是正方形
【答案】A
【解析】A. 当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形而不是菱形，符合题意；
B. 当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；
C. 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D. 当AC＝BD且时，平行四边形ABCD是正方形，不符合题意．
故答案为：A．
2．如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处.若，，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵在长方形中，
∴，
∵
∴
∵沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处
∴，
∴
∴设，
∴
∴，即
∴解得
∴
∴
故答案为：A.
3．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＋∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠EAB＝45°，
∴∠BAG＋∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
则GE＝BG＋BE＝3＋x，CE＝6 x，
∴EF＝3＋x，
∵∠C＝90°，
∴（6 x）2＋32＝（3＋x）2，
解得，x＝2，
∴BE的长为2．
故答案为：A.
4．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∵BM=DN，
∴OM=ON，
∵OA=OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC=∠NAC，
∵∠AOM=∠AON=90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM=ON，
∵OA=OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙符合题意．
故答案为：C．
5．如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
【答案】C
【解析】∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故答案为：C．
6．如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM（AAS），
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
（+x）2=（2-x）2+12，
解得：x=2-，
∴CM=2-（2-）=，
故答案为：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵点A、B的坐标分别为，
∴
∵四边形是菱形
∴，
∵
∴
∴
故答案为：D．
8．如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②符合题意；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①符合题意；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③符合题意；
∵AE=FG=EG=BG，BE=HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④不符合题意．
故答案为：A．
9．如图， ，矩形 在 的内部，顶点 ， 分别在射线 ， 上， ， ，则点 到点 的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 中点 ，连接 、 、 ，
，
.
在 中，利用勾股定理可得 .
在 中，根据三角形三边关系可知 ，
当 、 、 三点共线时， 最大为 .
故答案为： .
10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO＋PB的最小值为 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN为△ABD的中位线，
∵P为AE中点，
∴点P在MN上，
作点O关于MN的对称点 ，连接 ，
∴ ，
∴PO＋PB= ，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=120°，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=BO=4，
过点A作AH⊥BO于H，
∴ ，
∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
即PO＋PB的最小值为 ，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵，
∴，
，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD的面积=，
故答案为：
12．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
【答案】2.4s或4s或7.2s
【解析】根据已知可知：点Q由
在点Q第一次到达点B过程中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，
∴t=12-4t，
∴t=2.4（s），
在点Q由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），
t=4（t-3），
解得：t=4（s），
在点Q再由过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），
t=12-4（t-6），
解得：t=7.2（s），
在点Q再由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），
t=4（t-9），
解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．
故答案为：2.4s或4s或7.2s；
13．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
∵M为EF的中点，
∴AM=AP， 当AP⊥BC时，AP的值最小，当点P与点C重合时AC的值最大，
∴AP=， AP的最大值为12，
∴．
故答案为：
14．一张矩形MNPQ纸片按如图所示的方式折叠，使得顶点Q与N重合，折痕为AB，MN=3，MQ=9，则折痕AB的长度为 ．
【答案】
【解析】连接NQ，如图所示：
∵四边形MNPQ为矩形，
∴，，
∴，
由折叠可知，AB垂直平分NQ，
∴，AQ=AN
设AM=x，AN=AQ=9-x,
x2+32=（9-x）2
解得x=4
AQ=5
由等面积法可知：AQ*MN=QN*AO
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴AO=BO，
∴．
故答案为：．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，
设AE＝x，则AB＝CE＝5x，
∴CO＝AC＝3x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，
∴OE＝2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，
DE＝＝，
故答案为：2．
16．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q.若∠AMP＝30°，则∠ABE＝ °，的值为 .
【答案】30；
【解析】∵四边形AEDC、四边形AMNB四边形BCGF都为正方形，
∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，
∴∠EAB＝∠CAM，
在△EAB和△CAM中，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，
∴∠BPQ＝∠APM＝60°，
∴∠BQP＝90°，
∴PQ＝ PB，
设AP＝a，
∴PM＝2AP＝2a，
在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM＝ ，
∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝（ ﹣1）a，
∴PQ＝ PB＝ a，
∴QM＝QP+PM＝ a+2a＝ a，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCG＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠ACB＝∠DCG，
在△ACB和△DCG中，
，
∴△ACB≌△DCG（SAS），
∴DG＝AB＝ a，
∴ .
故答案为：30； .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝OB＝1，
∴OC＝=，
∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AE==，
18．如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，
∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC×BD＝120．
19．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；
（2）证明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∠AFD=180° ∠DEF ∠EDF=180° 45° α=β∴α+β=135°．
20．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，∴且，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，，，，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．∴的长为．
21．如图，中，，过点B作的平行线，与的平分线交于点D，点E是上一点，于点F，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形；
（2）解：
∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴， ∴，∵，∴．
22．四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点G在边DC上，连接BG，DE．
（1）求证：．
（2）当，时，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，∴，∴．
（2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，，∴．在中，，∵，∴，∴．
23．【阅读材料】如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上且∠EAF＝45°，连接EF，求△CEF的周长．
小明想到解决问题的方法如下：
如图②，延长CB至点G，使BG＝DF，通过证明，得到BE、DF、EF之间的关系，进而求出△CEF的周长．
（1）请按照小明的思路，帮助小明写出完整的求解过程．
（2）【方法应用】如图②，若BE＝1，求DF的长．
（3）【能力提升】如图③，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝1，AD＝4，则CD的长为 ．
【答案】（1）解：依照小明的思路：
延长CB至点G，使BG＝DF，如图②，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°=∠D=∠ABC，AD=AB=CD=BC=4，
∵∠FAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，
∵BG=DF，AB=AD，∠D=∠ABG=90°，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠BAG=∠DAF，AF=AG，
∵∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAG=∠EAF，
∵AG=AF，AE=AE，
∴△AFE≌△AGE，
∴EF=GE，
∵△CEF的周长CF+FE+EC=CF+EC+GE，
∵GE=GB+BE，BG＝DF，
∴CF+EC+GE=CF+EC+GB+BE=CF+DF+EC+BE=CD+BC=4+4=8；
（2）解：∵BE=1，
∴EC=BC-BE=4-1=3，
∵FC=DC-DF=4-DF，∠C=90°，
∴在Rt△CEF中，，
∴，
∵在（1）已证明EF=GE，GB=DF，
∴EF=DF+BE=DF+1，
∴，
∴，
解得：DF=2.4；
（3）2.4
【解析】(3)∵AD⊥BC，AD=4，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
以AD为边上在AD的左侧作正方形ADGH，在GH上取一点E，连接AE、BE，使得∠EAB=∠BAC=45°，如图，
在正方形ADGH中，有AH=AD=4，∠H=∠ADG=90°=∠HAD，
∵∠EAB=45°，
∴∠HAE+∠BAD=∠HAD-∠EAB=45°，
∵∠BAC=45°=∠BAD+∠DAC，
∴∠DAC=∠HAE，
∵∠H=∠ADC=90°，AH=AD，
∴△AHE≌△ADC，
∴DC=HE，AE=AC，
即EG=HG-HE=AD-DC=4-DC，
∵∠EAB=∠BAC=45°，AB=AB，
∴△AEB≌△ACD，
∴BC=BE，
∵BD=1，
∴BE=BC=BD+DC=1+DC，
∵GD=AD，
∴GB=GD-BD=AD-BD=4-1=3，
∵∠G=90°，
∴在Rt△GEB中，，
∴，
解得：DC=2.4，
即DC长为2.4．
24．如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．
①求证：；
②连接CM，若，求GH的长；
（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为 ．（直接写出结果）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）．
（2）解：①证明：如图2，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，
∴PG=BC，
同（1）得，∠PGH=∠CBE，
在△PGH和△CBE中，
，
∴△PGH≌△CBE（ASA），
∴BE=GH；
②：由①知，BE=GH，连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，，
∴BE=2CM=6，
∴GH=6．
（3）16
【解析】(3)由（2）可知，BE=2ME=2CM，，
∴ME=4，
同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），
∴CG=BE=8，
∵BE⊥CG，
∴
故答案为：16．
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年八下数学第五章 特殊平行四边形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时， ABCD是菱形
B．当时， ABCD是矩形
C．当时， ABCD是菱形
D．当且时， ABCD是正方形
2．如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处.若，，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第5题）
3．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
5．如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
6．如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题）
7．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图， ，矩形 在 的内部，顶点 ， 分别在射线 ， 上， ， ，则点 到点 的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO＋PB的最小值为 （ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
13．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的取值范围是 ．
14．一张矩形MNPQ纸片按如图所示的方式折叠，使得顶点Q与N重合，折痕为AB，MN=3，MQ=9，则折痕AB的长度为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
16．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q.若∠AMP＝30°，则∠ABE＝ °，的值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长.
18．如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．
（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求平行四边形的面积．
19．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求证：．
20．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
21．如图，中，，过点B作的平行线，与的平分线交于点D，点E是上一点，于点F，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
22．四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点G在边DC上，连接BG，DE．
（1）求证：．
（2）当，时，求的值．
23．【阅读材料】如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上且∠EAF＝45°，连接EF，求△CEF的周长．
小明想到解决问题的方法如下：
如图②，延长CB至点G，使BG＝DF，通过证明，得到BE、DF、EF之间的关系，进而求出△CEF的周长．
（1）请按照小明的思路，帮助小明写出完整的求解过程．
（2）【方法应用】如图②，若BE＝1，求DF的长．
（3）【能力提升】如图③，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝1，AD＝4，则CD的长为 ．
24．如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．
①求证：；
②连接CM，若，求GH的长；
（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为 ．（直接写出结果）
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