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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 （常考题型）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD=6，BD⊥AB，则AC的长为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．3
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，则线段EF的长是（ ）
A． B．3 C．2 D．
3．如图，在四边形中，，将沿翻折，得到.若，则的度数为( )
A． B． C． D．
4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.连接，设正方形的面积为，正方形的面积为，四边形的面积为.若，则下面结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
（第4题） （第5题） （第6题）
5．将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形 中，则平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C．32 D．
6．如图，一块长方形场地的长与宽的比为2∶1，于点E，于点F，连接，则四边形与长方形的面积比为( )
A． B． C． D．
7．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合.已知AB＝6，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C． D．81
（第7题） （第8题）
8．如图， 的四个顶点分别在 的四条边上， ，分别交EH、CD于点P、Q过点P作 ，分别交AD、BC于点M、N，若要求 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ）
A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ
9．如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为( )
A． B． C． D．
10．如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
（第9题） （第10题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平行四边形ABCD中，若∠B=3∠A，则∠D的度数是
12．如图，AB∥CD，AB＝CD，若点E在直线CD上，△ABE的面积为30，则四边形ABCD的面积 .
13．如图，在中，，，、分别平分、，则长为 .
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为 ．
16．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：如图，点 ，点 是 的对角线 上的两点，且 .
（1）求证： .
（2）求证：四边形 是平行四边形.
18．如图所示，的对角线与相交于点O，，垂足为点E，，，.
（1）求证：；
（2）求的长.
19．如图，正方形网挌中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面要求画图：
（1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图乙中，画出一个平行四边形，使其两边长为和.
20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB=BC，CD=10，AC=16，求四边形AECD的面积．
21．如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD.
（1）求∠BAC的度数.
（2）若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE.
（1）求证：四边形BECO是平行四边形.
（2）若OB⊥AC，OF=4，求平行四边形ABCD的周长.
23．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）如图1，四边形 的顶点 ， ， 在网格格点上，请你在 的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形 ，要求顶点 在网格格点上.
（2）如图2， ， ， 平分 ，求证：四边形 为“等邻边四边形”.
（3）如图3，在（2）的条件下， ， ， 是 的中点，点 是 边上一点，当四边形 是“等邻边四边形”时，求 的长.
24．如图，在 中， 于点F，点E在线段 上，过点E作 于点H， 于点I，线段 与线段 交于点G.
（1）若 ， ，求 的度数.
（2）若 .求证： .
（3）在（2）的条件下，解答下列问题：
①已知 ， ， ，求 的面积.
②用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并给出证明.
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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 （常考题型）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD=6，BD⊥AB，则AC的长为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．3
【答案】C
【解析】设AC与BD交于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=BD=3，AB∥CD，CD=AB=6，
∵BD⊥AB，
∴∠ODC=∠ABO=90°，
∴OC===3，
∴AC=2OC=6.
故答案为：C.
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，则线段EF的长是（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】 AE和BF分别是∠DAB和∠CBA的角平分线
∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF
AB∥CD
∠DEA=∠BAE， ∠CFB=∠ABF
∠DAE=∠DEA， ∠CFB=∠CBF，
∴DA=DE，CF=CB
AD=BC=5，AB=8
DE=CF=5，CD=8
EF=DE+CF-CD=2.
故答案为：C.
3．如图，在四边形中，，将沿翻折，得到.若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∠A=120°，∠C=70°，
∴∠BME=120°，∠ENB=70°，
∵将△BMN沿MN翻折得△EMN，
∴∠EMN=∠BMN=60°，∠ENM=∠MNB=35°， ∠B=∠E
∴∠E=∠B=180°-60°-35°=85°，
∴∠D=360°-120°-70°-85°=85°.
故答案为：C.
4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.连接，设正方形的面积为，正方形的面积为，四边形的面积为.若，则下面结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设AE=a，
假设，则AE=EF=BF=a，
∴BE=2a，
在Rt△ABE中，
∴，
∴，，，
∴，则与已知相矛盾，故A选项错误；
假设，则∠ABE=30°，
∴AB=2AE=2a，
∴，
∴，
∴，，
∴，则与已知相矛盾，故B选项错误；
假设，则BE=2a，EF=BE-AE=a，则与A选项相同，故C选项错误；
假设，则BE=3a，
∴，EF=BE-AE=2a，
∴，，，
∴，则与已知相符合，故D选项正确.
故答案为：D.
5．将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形 中，则平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C．32 D．
【答案】C
【解析】如图，
∵ 将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形 中，
∴BC边上的高为EF=4×1=4
小长方形的长EG=3，
∴EG=CF=BH=3，
HF=2，
∴BC=3+2+3=8，
∴平行四边形ABCD的面积为4×8=32.
故答案为：C.
6．如图，一块长方形场地的长与宽的比为2∶1，于点E，于点F，连接，则四边形与长方形的面积比为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设长方形的长和宽为：2x和x，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，即，解得：，
同理：，
在和中，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为：.
故答案为：C.
7．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合.已知AB＝6，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C． D．81
【答案】C
【解析】由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，BC∥DE，
∴∠DEC=∠ACB=90°，
∵AD=CD，
∴AE=CE=DE，
∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=3，AC=9，
∴DE=CE=，
∴四边形DEBF的面积为：DE CE=.
故答案为：C.
8．如图， 的四个顶点分别在 的四条边上， ，分别交EH、CD于点P、Q过点P作 ，分别交AD、BC于点M、N，若要求 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ）
A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ
【答案】C
【解析】如图，连接PG，FN，
∵ EFGH，
∴，
∵，
∴，
又∵MN∥AB，
∴四边形FBNP为平行四边形，
∴
∴，
∴要求 EFGH的面积，只需要知道四边形FBNP的面积.
故答案为：C.
9．如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
10．如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平行四边形ABCD中，若∠B=3∠A，则∠D的度数是
【答案】135°
【解析】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠B=3∠A，
∴4∠A=180°，
∴∠A=45°，
∴∠D=180°-∠A=135°.
故答案为：135°.
12．如图，AB∥CD，AB＝CD，若点E在直线CD上，△ABE的面积为30，则四边形ABCD的面积 .
【答案】60
【解析】连接，如下图：
根据平行四边形的性质可知：的面积为平行四边形的面积的一半，
即，
又根据同底等高可得：，
又的面积为30，
，
又，
的面积为60.
故答案为：60.
13．如图，在中，，，、分别平分、，则长为 .
【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，，，
∴CD=AB=5，BC=AD=7， ，
∴∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，
∵、分别平分、，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴BE=AB=5，CF=CD=5，
∴EF=.
故答案为∶3.
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 .
【答案】40°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°.
15．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为 ．
【答案】3
【解析】如图所示，过点O作OH⊥AC于点H，连接CO、AO，
∵点E，F分别为AD和AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∵EF=5，
∴BD=10，
又∵∠DAB=∠BCD=90°，O为BD的中点，
∴OC=OA=BD=5，
∵AC=8，
∴AH=HC=AC=4，
∴在Rt△CHO中，OH===3，
∴O点到AC的距离为3.
故答案为：3.
16．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为 .
【答案】12-
【解析】如图所示：
∵四边形A′ECF是菱形，
∴A′E=EC=FC=A′F，
∵边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，
∴∠A=∠ACD=45°，
∴AD=DC，则A′D=DF，AA′=A′E，
∴设A′E=x，则A′D=DF=6-x，A′F=x，
故在Rt△A′DF中，
x2=（6-x）2+（6-x）2，
解得：x1=12-，x2=12+＞6（不合题意舍去），
故AA′为：12-.
故答案为：12-.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：如图，点 ，点 是 的对角线 上的两点，且 .
（1）求证： .
（2）求证：四边形 是平行四边形.
【答案】（1）证明：连接 ，交 于点 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
；
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形
18．如图所示，的对角线与相交于点O，，垂足为点E，，，.
（1）求证：；
（2）求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，，，
∴OA = AC = 1，OB = BD = 2.
又∵AB = ，
∴OA2 + AB2 = OB2，
∴△BAO为直角三角形，且∠BAO = 90°，
∴；
（2）解：∵△BAC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴.
19．如图，正方形网挌中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面要求画图：
（1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图乙中，画出一个平行四边形，使其两边长为和.
【答案】（1）解：平行四边形ABCD即为所求，如图所示：（答案不唯一，画出其中一种即可）
（2）解：平行四边形ABCD即为所求，如图所示.（答案不唯一，画出其中一种即可）
20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB=BC，CD=10，AC=16，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）证明：在△EAO和△DCO中，
∵
∴△EAO≌△DCO（ASA）
∴OD=OE
又∵OA=OC
∴四边形AECD是平行四边形
（2）解：∵AB=BC，OA=OC
∴AC⊥BD
∴四边形AECD是菱形，
∵CD=10，OC=8，
∴OD==6，
∴DO=6，
∴DE=2OD=12，
∴S=AC×DE=12×16=96 .
21．如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD.
（1）求∠BAC的度数.
（2）若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长.
【答案】（1）解：∵在 ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠B=180°-80°=100°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵∠ACE=2∠ECD ，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=5∠ECD=100°，
∴∠ECD=20°，
∴∠BCA=2∠ECD=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=180°-80°-40°=60°；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=80°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠E=∠D，
在△EFA与△DFC中
∴△EFA≌△DFC（AAS），
∴AF=CF=4，
∴AD=BC=4+2=6，
又∵∠ECD=20°，∠D=80°，
∴∠CFD=180°-∠D-∠ECD=180°-80°-20°=80°，
∴∠CFD =∠D，
∴CD=CF=4，
∴ ABCD的周长=AD+BC+CD+AB=6+6+4+4=20.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE.
（1）求证：四边形BECO是平行四边形.
（2）若OB⊥AC，OF=4，求平行四边形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
∴OD∥EC，OD=EC，
∴EC∥OB，EC=OB，
∴四边形BECO为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
由（1）得：四边形BECO为平行四边形，
∴EF=OF=4，
∵OB⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO为矩形，
∴BC=OE=2OF，
∵OF=4，
∴BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=4BC=32.
23．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）如图1，四边形 的顶点 ， ， 在网格格点上，请你在 的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形 ，要求顶点 在网格格点上.
（2）如图2， ， ， 平分 ，求证：四边形 为“等邻边四边形”.
（3）如图3，在（2）的条件下， ， ， 是 的中点，点 是 边上一点，当四边形 是“等邻边四边形”时，求 的长.
【答案】（1）解：如图
（2）解： ，
平分
，
四边形 为“等邻边四边形”
（3）解： ， ， ，
， ，
，
①当 时， ；
②如图3，当 时，作 于 ，
在 中， ，
， ，
；
③当 时，设 ，由②得， ， ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，即 ，
，
综上所述，当 为 或 或 时，四边形 是“等邻边四边形”.
24．如图，在 中， 于点F，点E在线段 上，过点E作 于点H， 于点I，线段 与线段 交于点G.
（1）若 ， ，求 的度数.
（2）若 .求证： .
（3）在（2）的条件下，解答下列问题：
①已知 ， ， ，求 的面积.
②用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并给出证明.
【答案】（1）解： ， ，
，
（2）证明： 四边形 是平行四边形
，
，
，
（3）解：①
， ，
中，
即
解得 或
或 .
②由(2)可知△ABF≌ △EGF，
∴AF = EF，
如图，将△AFH绕点F顺时针旋转至△FEH'，使AF与EF重合，点H对应点为H'，则
∠H'FE= ∠AFH，FH= FH，AH = EH'，∠H'EF= ∠HAF，
在四边形AFEH中，
∵∠AFE=∠ AHE= 90°，∴∠HAF+∠FEH =180°，
∴∠H' EF + ∠FEH =180°，∴点H’、E、H在同一条直线上，
∵AF⊥BC，
∴∠AFH + ∠HFE= 90°，
∴∠H'FE+ ∠HFE= 90°=∠H'FH，
∴△PHH'是等腰直角三角形，
∴HH'= FH，
∵HH' = H'E+ EH= AH + EH，
∴AH + EH = FH.
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