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专题4-3 用乘法公式分解因式
模块一：知识清单
若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定分解结果的运算符号。
补充：立方和公式：；
立方差公式：
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州·七年级期中）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、2x2+2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、x3-y3是两个立方项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
2．（2022·河南汝州·八年级期末）下列不能使用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2
【答案】C
【分析】根据平方差公式：，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C，，不能利用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了用平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式．
3．（2022·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解析】A. 只有两项，不符合完全平方公式；
B. 其中 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. ，其中与 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. 符合完全平方公式定义，故选：D.
【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
4．（2022·广西·）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断即得答案．
【详解】解：与不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解；
，故②能用完全平方公式进行因式分解；
，故④能用完全平方公式进行因式分解；故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
5．（2022·鹤壁八年级期中）下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行判断．
【详解】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
6．（2022·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
7．（2022·雅安八年级月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
【答案】C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可．
【详解】解：A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
8．（2022·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【详解】解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②-a2b2+1=1-(ab)2=(1+ab)(1-ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤-mn+m2n2=(-mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．
【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是应用的前提．
9．（2022·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是（ ）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
【答案】D
【分析】由题意可得x2＋kx＋25是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可．
【详解】解：因为x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，
所以x2＋kx＋25=，所以．故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．
10．（2022·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A．8 B．m C． D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解析】因为=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)
所以原式能被8整除．
【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江鹿城·九年级期中）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（n+3）（n-3），故答案为：（n+3）（n-3）．
【点睛】此题考查因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（2022·吉林长春·七年级期末）分解因式：______．
【答案】（1—m）（1+m）
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1—m）（1+m）故答案为：（1—m）（1+m）
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构是解题的关键，注意因式分解要彻底．
13．（2022·江西九江·七年级期末）若，且，则______．
【答案】5
【分析】将m2-n2按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【详解】解：，∵，∴．故答案为：5．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用．
14．（2022·郁南县初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．
【答案】（x﹣2）2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则算乘法，合并同类项，最后根据完全平方公式分解即可．
【解析】解：（x-1）（x-3）+1=x2-3x-x+3+1=x2-4x+4=（x-2）2，故答案为（x-2）2．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，合并同类项，完全平方公式的应用，能选择适当的方法分解因式时解此题的关键，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，因式分解法等．
15．（2022·广东二模）因式分解：a2﹣2ab+b2=_________．
【答案】（a﹣b）2
分析：根据完全平方公式即可求出答案．
【解析】原式 故答案为
点睛：本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
16．（2022·湖南九年级月考）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提出公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法，并根据多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
17．（2022·四川内江八年级开学考试）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】原式==，故答案是：．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解题的关键．
18．（2022·重庆九年级）分解因式：__．
【答案】
【分析】因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式，本题可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化简，即可得到正确答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解的化简，根据相关知识点解题是关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．
【解析】解：（1）=；
（2）==
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法，属于基础知识．
20．（2023·全国八年级课时练习）分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取y，再利用平方差公式分解即可；（4）原式利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝y（ 4）＝；
（4）原式＝（4＋）（4 ）＝．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（2022·山东八年级课时练习）分解因式
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．
22．（2022·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式 (从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
【答案】（1）推导见解析；（2），．
【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:;（2）根据配方法和立方差公式可得.
【解析】解:
解：
【点睛】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.
23.（2022 鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
【分析】（1）将已知的两个式子相减可得b﹣c＝2，则所求式子可化为5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）将所求式子利用完全平方公式化为a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再将（1）的式子代入即可．
【答案】解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解题的关键．
24．（2022·江苏沭阳·期中）阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为 所以或者．
解方程，得 所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
【答案】（1）x1=0或x2=5；（2）x1 =-1，x2=3；（3）见解析
【分析】（1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）利用平方差公式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（3）将代数式变形后得：（y+4-x）（y+4+x），根据三角形的三边关系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，则y2-8y+16-x2＞0
【解析】解：（1），∴，∴x=0或x-5=0，∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，∴（3x+3）（-x+3）=0，∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，∴x+y＞4，x+4＞y，∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式、三角形的三边关系，运用平方差公式是解题的难点，准确判断三边关系来求解．
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专题4-3 用乘法公式分解因式
模块一：知识清单
若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定分解结果的运算符号。
补充：立方和公式：；
立方差公式：
注意：立方和差公式公式将多项式分解成两部分相乘的形式，其中前项符合和立方和差的符号相同，后项内容与完全平方接近。不同点有2处：1）中间项的系数为1；2）中间项的符号与立方和差的符号相反。在利用立方和差公式时切勿记错公式符号。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州·七年级期中）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南汝州·八年级期末）下列不能使用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2
3．（2022·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西·）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
5．（2022·鹤壁八年级期中）下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
7．（2022·雅安八年级月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
8．（2022·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2022·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是（ ）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
10．（2022·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A．8 B．m C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江鹿城·九年级期中）分解因式：________．
12．（2022·吉林长春·七年级期末）分解因式：______．
13．（2022·江西九江·七年级期末）若，且，则______．
14．（2022·郁南县初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．
15．（2022·广东二模）因式分解：a2﹣2ab+b2=_________．
16．（2022·湖南九年级月考）分解因式：______．
17．（2022·四川内江八年级开学考试）分解因式：________．
18．（2022·重庆九年级）分解因式：__．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1） （2）
20．（2023·全国八年级课时练习）分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
21．（2022·山东八年级课时练习）分解因式
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
22．（2022·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式 (从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
23.（2022 鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
24．（2022·江苏沭阳·期中）阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为 所以或者．
解方程，得 所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
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