中小学教育资源及组卷应用平台
专题4-2 平行四边形及其性质
模块一：知识清单
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD表示为“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
（1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山西八年级期末）如图所示，直线的顶点A在直线a上，顶点B，C在直线b上，点D是直线a上的一动点，连接BD，CD若，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】△ABC与△BDC，都以BC为底，高都是两平行线之间的距离，再根据平行线间的距离处处相等，故能得到两三角形的面积相等，即可解决．
【详解】解：∵△ABC与△BDC，都以BC为底，高都是两平行线之间的距离
又∵平行线间的距离处处相等∴S△ABC=S△BDC=10故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，清楚平行线间的距离处处相等以及三角形面积算法是解决本题的关键．
2．（2022·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．
【详解】根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（、重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）
A．26 B．29 C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．
【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，EF×AD=×120，∴EF=6，
又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
5．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
6．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ）
A．150° B．40° C．80° D．90°
【答案】C
【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．
【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
7． （2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.
【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，
∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.
8.（2022·西工大附中分校九年级期末）如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比.
【详解】在中，OB=OD，
∵为的中点，∴DE=OE,∴DE:BE=1：3，
∴S△ADE：S△ABE=1：3，∴S△ABE：S△ABD=1：4，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD,∴与的面积比为3:8，故选：C.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.
9．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，，
于点，于点，
，；
平行四边形的面积，，，
，；若，则，
，，，
，，平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD=AD BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，，
∴E是AB的中点，∴DE=BE，，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S ABCD=AD BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE
∵OE =OE ∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
【答案】200m
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°∴ ∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m 故答案为：200m．
【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
12．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，将沿着对角线折叠，使得点落在点处，若，则__________．
【答案】105°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG==25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【详解】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，∴△ABD中，∠A=105°，∴∠A'=∠A=105°，故答案为：105°.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．
13．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，点E是平行四边形的边上一点，连结，并延长与的延长线交于点F，若，，则______．
【答案】65
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．
14．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【答案】48
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，
得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
15．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是 。
【答案】（7，3）
【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】 四边形ABCD为平行四边形。且。
C点和D的纵坐标相等，都为3．
A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），．
D点坐标为（2，3），C点横坐标为， 点坐标为（7，3）．
【点睛】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
16．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
【答案】10或14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，，，，
，，BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，，，
，， 由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：
， ，，
情况2：当与不相交时，如下图所示：
，，故答案为：10或14．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
17．（2022·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．
【答案】
【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=S，
∵EF=AB，GH=BC，∴S1=S，S2=S，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
18．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
【答案】或
【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．
在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；
②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．
在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．
即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或．
【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·湖北·浠水县八年级期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE的长是．
【分析】（1）通过证≌得到CG=CF，再结合已知条件即可证明结论；
（2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四边形的性质得到AB，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵点F为CE的中点，∴CF=CE，
在与中，，∴≌，∴CG=CF=CE，
又∵CE=CD，∴CG=CD，即G是CD的中点；
（2）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF= 2，∴CD=CE=2CF= 4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用各性质及
20．（2022·江苏·九年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，
∵E为CD的中点，∴ED＝EC，
在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∴BE⊥AF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
21．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在 ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
【答案】（1）t=2；（2）t=3或．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t的方程，进而即可求解．
（2）根据△PAQ是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）．
∵∠A=60°，∴当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2，
∴当t=2时，△PAQ是等边三角形．
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒），
当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒），
∴当t=3或时，△PAQ是直角三角形．
【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．
22．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．（1）求证：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）77°
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可得证；
（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，∴，
∵，∴，即，
在和中，，∴≌，∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，∴，
∵FG//AB，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．
23．（2021·安徽九年级一模）如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证： △ADP≌△BCM；（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，∠ADC+∠BCD=，由PM//DC，且PM=DC，证得四边形PMCD是平行四边形，得到PD=CM，∠PDC+∠DCM=，推出∠ADP=∠BCM，即可证得结论；（2）作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，根据四边形ABCD是平行四边形，得到△ABC≌△CDA，BH=DG，求得，，利用△ADP≌△BCM，得到，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ADC+∠BCD=，
∵PM//DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM=，∴∠ADP=∠BCM，∴△ADP≌△BCM；
（2）解：作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABC≌△CDA，∴BH=DG，
∴，即，，即，
∵△ADP≌△BCM，∴，∴=．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明△ADP≌△BCM并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．
24．（2022·天津八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．（Ⅰ）求证：AF＝GB；（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；（Ⅲ）在 ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）添加四边形ABCD为矩形等．
【分析】（Ⅰ）由角平分线知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，则有AF=GB；
（Ⅱ）由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了；
（Ⅲ）要成为等腰直角三角形，则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．
【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．
∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC．
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF．
∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF∴AD＝AG，BF＝BC．∴AF＝BG；
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠FEG＝90°，∴△EFG是直角三角形；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：我们只要保证添加的条件使得EF＝EG就可以了．
我们可以四边形ABCD为矩形等．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和直角三角形的判定，解答关键是根据条件找到图中的等腰三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题4-2 平行四边形及其性质
模块一：知识清单
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD表示为“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
（1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山西八年级期末）如图所示，直线的顶点A在直线a上，顶点B，C在直线b上，点D是直线a上的一动点，连接BD，CD若，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（、重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）
A．26 B．29 C． D．
4．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
6．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ）
A．150° B．40° C．80° D．90°
7． （2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8.（2022·西工大附中分校九年级期末）如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
10．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
12．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，将沿着对角线折叠，使得点落在点处，若，则__________．
13．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，点E是平行四边形的边上一点，连结，并延长与的延长线交于点F，若，，则______．
14．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
15．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是 。
16．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
17．（2022·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．
18．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·湖北·浠水县八年级期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
20．（2022·江苏·九年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．
21．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在 ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
22．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．（1）求证：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
23．（2021·安徽九年级一模）如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证： △ADP≌△BCM；（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
24．（2022·天津八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．（Ⅰ）求证：AF＝GB；（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；（Ⅲ）在 ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
