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专题4-4 平行四边形的判定定理
模块一：知识清单
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．（2022·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
3．（2022·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：
①∥，∥；②，；
③，；④∥，．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A．1组； B．2组； C．3组； D．4组．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
【详解】①∥，∥，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
②，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；
③，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
④∥，，无法判定四边形是平行四边形．故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．
4．（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【答案】D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
5．（2022·全国·八年级）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可.
【详解】解：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形的对角线互相平分∴D能判定ABCD是平行四边形．
若AO＝BO，CO＝DO，证明AC=BD，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，故C错误，
若AO＝OC，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故A错误，
若AC＝BD，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故B错误，故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件.
6．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；
∵BE=DF∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意；
∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌CDF（SAS），∴AE=CF，BE=DF，∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意；
由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，故选B.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．（2023·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
8．（2022·四川宣汉·八年级期末）如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】D
【分析】根据点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，可得OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，四边形OEBF是平行四边形，则AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，由此可以推出OE+OF=5，再由四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，
∴OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，BC//EO，
∴四边形OEBF是平行四边形，AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，
∵四边形OEBF的周长为10，∴OE+BE+BF+OF=10，∴OE+OF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）=20，故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】先证明图中的平行四边形，再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是平行四边形的对角线，
∴，
∵是平行四边形的对角线，
∴．
∴，即，
∴，
同理．
即：，，．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个面积相等的三角形．
10.（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC， ∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴， ∴，故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是______．
【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可．
【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木，
由题意，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可证，四边形等均为平行四边形，
∴
∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了，
∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则的长度等于______．
【答案】3
【分析】通过证明四边形是平行四边形，即可得出．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
【答案】或或
【分析】分两种情况：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标．
【详解】解：①当为平行四边形的边时，，
∵，，，
∴点C坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，，
故答案为：或或．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
14．（2023春·天津东丽·八年级校考阶段练习）已知四边形，有下列条件：①，；②；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是_______（填序号）
【答案】①②
【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解．
【详解】解：如图所示，四边形，
①，能证明四边形是平行四边形，故①正确；
②，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
③，，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴不能证明四边形是平行四边形，故③错误；
④，
∴，
∴不能证明四边形是平行四边形，故④错误；
综上所述，正确的有①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
15．（2022·山东八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．
【答案】8
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝，， 过点E作EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB=CD，
∵，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE=CD＝，，
过点E作EH⊥BF于H，∵，∴∠ECH=，∴CH=EH，
∵，， ∴CH=EH=4，
∵∠EHF=90°，，∴EF=2EH=8，故答案为：8．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
16．（2022·云南·昆明市九年级阶段练习）如图，在中，与交于点，点在上，cm，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动_____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】3秒或5秒5秒或3秒
【分析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，可得，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∠ADB＝∠MBC，
又∵∠FBM＝∠MBC∴∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，
∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，
∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ
∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故答案为3或5秒
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）两条宽为纸条如图交叉以角重叠在一起，则重叠部分的面积为________
【答案】
【分析】过点A作于F，过点C作于E，证明四边形是平行四边形，然后求出的长，即可解决问题．
【详解】如图，过点A作于F，过点C作于E，
由题意可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即重叠四边形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
18．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
【答案】
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD 性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵∴ 过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵∴ ∴，即
∵，且∴
∴∴ ∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∴∴
∴ ∴
∵，∴DG是中位线∴
∴故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
20．（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
【答案】（1）见详解；（2）AD=3
【分析】（1）由题意易得AD∥EC，进而根据平行四边形的判定定理可求解；
（2）由题意易得EF=3，然后根据角平分线的性质定理可得EC=EF=3，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥EC，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，∴BF＝4，∵EF⊥AB，∴由勾股定理可得：，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，∴EC=EF=3，∵四边形AECD是平行四边形，∴EC=AD=3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理，熟练掌握平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理是解题的关键．
21．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；
（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．
【详解】证明：（1），，即，，，
在与中，，；
（2）由（1）得：，，，
，，四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．
22．（2022·黑龙江·哈尔滨九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先证明再证明可得从而有 于是可得结论；（2）先证明再证明，从而可得结论.
【详解】证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形BEDF是平行四边形.
（2）由（1）得：
四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，
，
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的的三角形是解题的关键.
23．（2022·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
【答案】）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．∴．
∵．∴．∵．∴．
∴．∴．∴．
（2）．
理由：∵，，∴四边形是平行四边形．∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴．∴．
∴．
（3）
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，．
，，，，
四边形为平行四边形．
（2），，，，四边形为平行四边形．
上述结论成立，由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，．
平分，，，．
，，是的垂直平分线，．
，是等边三角形，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
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专题4-4 平行四边形的判定定理
模块一：知识清单
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
2．（2022·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC
3．（2022·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：
①∥，∥；②，；
③，；④∥，．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A．1组； B．2组； C．3组； D．4组．
4．（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
5．（2022·全国·八年级）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
6．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
8．（2022·四川宣汉·八年级期末）如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10.（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是______．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则的长度等于______．
13．（2023·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是_____．
14．（2023春·天津东丽·八年级校考阶段练习）已知四边形，有下列条件：①，；②；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是_______（填序号）
15．（2022·山东八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．
16．（2022·云南·昆明市九年级阶段练习）如图，在中，与交于点，点在上，cm，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动_____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）两条宽为纸条如图交叉以角重叠在一起，则重叠部分的面积为________
18．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
20．（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
21．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．
22．（2022·黑龙江·哈尔滨九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
23．（2022·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
24．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
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