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专题4-5 中位线
模块一：知识清单
三角形的中位线定理：
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
知识点1.5 三角形的中位线定理
1．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为，的中点，，
∴，
∵，
∵D为的中点，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知是的一条高线，点是的中点，点是的中点，连接、、，如果，，的周长为，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7.5 D．7
【答案】D
【分析】根据题意，得出是的中位线，根据中位线的性质，得出，再根据题意，得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，再根据三角形的周长，得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵点是的中点，点是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵是的一条高线，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
在中，，点是的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解本题的关键在熟练掌握相关的性质．
3．（2023春·天津东丽·八年级校考阶段练习）如图，已知平行四边形中，M，N分别是上的点，E，F分别是的中点，当M在上从A向D移动而N不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
【答案】C
【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得到，进而得到答案．
【详解】解：连接，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点N不动，
∴当M在上从A向D移动时，线段的长不改变，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定和性质定理，熟记三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（2022秋·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，，点，分别是，中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边对等角求出，利用三角形中位线的判定和性质求出，再根据三角形外角的性质求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
5．（2023·浙江温州·统考一模）如图，在中，点D，E分别是的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】由点D，E分别是的中点得是的中位线，由中位线定理得到，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F，则，即可得到的长．
【详解】解：∵点D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F，
∴，
∴，
即的长为3．
故选：C
【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的性质定理是解题的关键．
6．（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD=DN，AN=AB=4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．
【详解】解：在△ADB和△ADN中，，
∴△ADB≌△ADN（ASA）∴BD=DN，AN=AB=4，
∵BM=MC，BD=DN，∴NC=2DM=2，∴AC=AN+NC=6，故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
7．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2022·全国·八年级课时练习）中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，根据三角形的中位线性质可得，，DF∥BC，由D、G为AB、BH中点，可得DG∥AH，且DG=，根据平行线间的距离处处相等可得DG=ME=，利用三角形面积公式S△ABC=，再求即可．
【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，
∵、分别是的、边的中点，∴，DF∥BC，
∵D、G为AB、BH中点，∴DG∥AH，且DG=，
∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=
∵S△ABC=∴．故选B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中位线性质，平行线间的距离性质，熟练掌握三角形的中位线性质，三角形的面积，平行线间的距离性质是解题关键．
9．（2022·福建安溪·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，∴ ，
∵AD＝BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，
∵∠EPF＝130°，∴ ．故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
10．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
【详解】解：点，分别为，的中点，，
点，分别为，的中点，，，，
△的面积，故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为，则的周长为________．
【答案】
【分析】先根据题意画出相应的图形，再利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下：
∵点、、分别是的中点
∴、、是的三条中位线
∴、、，
∵的周长是
∴
∴
∴的周长是．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半是解决问题的关键。
12．（2023·广东茂名·统考一模）如图，为等腰三角形，，是的平分线，点D是的中点，连接，若，则的长为______．
【答案】6
【分析】先证明，再利用三角形中位线定理即可得答案．
【详解】解：∵，是的平分线，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练的运用三角形中位线定理是解本题的关键．
13．（2022春·浙江·八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，E，F，M分别为边，和对角线的中点．连接，，则____________．
【答案】1
【分析】利用三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵F，M分别为边和对角线的中点，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
14．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
【答案】12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵∴
∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，
又∵，即有，∴，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
15．（2022·江西抚州市·九年级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
【答案】1
【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．
【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，
∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴，
又∵，∴，即C为EG的中点，
∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．
16．（2023·浙江温州·校考一模）如图，在中，，，点为边上一点，绕点顺时针旋转90°至，交于点．已知，，点是的中点，连接，求线段的长______．
【答案】
【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作于M，于N，在上截取一点H，使得，连接，易得为直角三角形，证明，得到，勾股定理求出的长，证明，推出是的中位线，利用中位线的性质，即可得解．
【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，作于M，于N，在上截取一点H，使得，连接．
则：，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．本题的综合性较强，解题的关键是构造旋转全等图形，证明是的中位线．
17．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，为等边三角形，，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，与交于点，连接，为的中点．连接，则线段的长为______．
【答案】
【分析】连接，．由勾股定理求出，证，得，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
是等边三角形，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在中，，将平移个单位长度得到，点、分别是、的中点，的取值范围__．
【答案】
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：如图，取的中点，的中点，连接，，，，
∵将平移个单位长度得到，，
∴，，
∵点、分别是、的中点，
∴，
∴，即，
∴的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得，，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．
【详解】解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵，AD平分，∴，，
在中，，
∵E、D分别是AC和BC的中点，∴，故答案是：6.5．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
20．（2022·浙江八年级期末）已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．
【答案】见解析
【分析】连接DF、EF，根据DE是中位线、AF是中线证DF、EF是△ABC的中位线，据此知DF∥AC，EF∥AB，从而得出四边形ADFE是平行四边形，即可得证．
【详解】解：证明：如图所示，连接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位线，∴点D是AB中点、点E是AC中点，
又∵AF是BC边上的中线，∴F是BC中点，∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DE与AF互相平分．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及三角形中位线定理的运用．
21．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，∴是边的中点，∴，．
∴，．
∵是的中点，∴，
在△MDE和△FCE中，∴．
∴，∴．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
22．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，在中，平分，于点，点是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系： ．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
平分，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
，
，
．
（2）解：结论：，
理由：如图2中，延长交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
点为的中点，
，
；
故答案为．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点，分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，点是边的中点，点是边的中点，若，，，直接写出的长＝______．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，再由，即可证明；
（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．
【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，且；
（2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E，
∵，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，即点N是的中点，
又∵点M是的中点，
∴由（1）的结论可知，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2023春·江苏·八年级校考周测）在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件可证明，从而可得；
（2）由（1）可知：，然后根据中位线即可求出．
【详解】（1）证明：平分，
．
，
．
在与中，
，
．
（2），
，
．
是的中点，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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专题4-5 中位线
模块一：知识清单
三角形的中位线定理：
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
知识点1.5 三角形的中位线定理
1．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．4
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知是的一条高线，点是的中点，点是的中点，连接、、，如果，，的周长为，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7.5 D．7
3．（2023春·天津东丽·八年级校考阶段练习）如图，已知平行四边形中，M，N分别是上的点，E，F分别是的中点，当M在上从A向D移动而N不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
4．（2022秋·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，，点，分别是，中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江温州·统考一模）如图，在中，点D，E分别是的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2022·全国·八年级课时练习）中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2022·福建安溪·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
10．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为，则的周长为________．
12．（2023·广东茂名·统考一模）如图，为等腰三角形，，是的平分线，点D是的中点，连接，若，则的长为______．
13．（2022春·浙江·八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，E，F，M分别为边，和对角线的中点．连接，，则____________．
14．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
15．（2022·江西抚州市·九年级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
16．（2023·浙江温州·校考一模）如图，在中，，，点为边上一点，绕点顺时针旋转90°至，交于点．已知，，点是的中点，连接，求线段的长______．
17．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，为等边三角形，，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，与交于点，连接，为的中点．连接，则线段的长为______．
18．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在中，，将平移个单位长度得到，点、分别是、的中点，的取值范围__．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
20．（2022·浙江八年级期末）已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．
21．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
22．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，在中，平分，于点，点是的中点．(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系： ．
23．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点，分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，点是边的中点，点是边的中点，若，，，直接写出的长＝______．
24．（2023春·江苏·八年级校考周测）在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
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