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专题4-7 平行四边形 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ）
A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键．
3．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，
∵，∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
4．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
【答案】D
【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；
B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；D. 条件不足无法判断；
【详解】∠DAC=∠BCA，四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意；
∠ABO=∠CDO又 AB=CD，四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（2022·江苏南通市·八年级期中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
【答案】B
【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
(4)因此假设不成立．∴∠B＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B．
【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.
6．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（ ）
A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)
【答案】C
【分析】作，求得、的长度，即可求解．
【详解】解：作，如下图：
则 在平行四边形中，，
∴∴为等腰直角三角形
则，解得∴ 故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
7．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ）
A．150° B．40° C．80° D．90°
【答案】C
【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．
【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
8．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC， ∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴， ∴，故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
9．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，，
于点，于点，
，；
平行四边形的面积，，，
，；若，则，
，，，
，，平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证 AEF DHF，再证 ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．
【详解】∵点F是AD的中点，∴2FD=AD，
∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正确；
∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴ AEF DHF（AAS），∴EF=HF，
∵，∴CE⊥CD，即： ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正确；
∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在线段上，
∴,∴,∴，∴③错误；
设∠AEF=x，则∠H=x，∵在Rt ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，
∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵点F，G分别是EH，EC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，
∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．
∴④正确．故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
【答案】2
【分析】根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，
∵∠D＝90°，∴AE＝，故答案为．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．
12．（2022·长春市九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
【答案】12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵∴
∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，
又∵，即有，∴，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
13．（2022·黑龙江九年级期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是____________．
【答案】
【分析】首先根据直线AB求出点A和点B的坐标，结合旋转的性质可知点的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长，进而得出的坐标．
【详解】解：中，令x=0得，y=4；令y=0得，，解得x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4）．由旋转可得△AOB≌△AO′B′，∠=90°，
∴∠=90°，，∴∥x轴，
∴点的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长
故点的坐标是（-7，3），故答案为：（-7，3）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
14．（2022·云南昆明市·九年级月考）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于 度
【答案】30
【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．
【详解】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的， ∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD==120°，而∠CBD=∠BAC=90°，∴∠ABC=120°-90°=30°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n-2） 180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．
15．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【答案】48
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，
得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
16．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
【答案】10或14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，，，，
，，BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，，，
，， 由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：
， ，，
情况2：当与不相交时，如下图所示：
，，故答案为：10或14．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
17．（2022·山东八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．
【答案】8
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝，， 过点E作EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB=CD，
∵，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE=CD＝，，
过点E作EH⊥BF于H，∵，∴∠ECH=，∴CH=EH，
∵，， ∴CH=EH=4，
∵∠EHF=90°，，∴EF=2EH=8，故答案为：8．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
18．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
【答案】
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD 性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵∴ 过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵∴ ∴，即
∵，且∴
∴∴ ∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∴∴
∴ ∴
∵，∴DG是中位线∴
∴故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2022·镇江市八年级月考）如图，已知的三个顶点坐标为．
（1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标_______；
（2）将绕坐标原点O逆时针旋转，直接写出点A的对应点的坐标________．
（3）请直接写出：以A、B、C为点的平行四边形的第四个项点D的所有可能的坐标________．
【答案】（1）画图见解析，A′（2，-3）；（2）A″（-3，-2）；（3）（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）
【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可；
（3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可．
【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，-3）；故答案为：（2，-3）；
（2）如图，A″（-3，-2）；
（3）如图，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为：（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．
【点睛】此题主要考查了旋转变换，平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，得出对应点位置是解题关键．
20．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形，共有______条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有______对角线．
【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
【详解】解：（1）经过点可以做 1条对角线；同样，经过点可以做 1条；经过点可以做 1条；经过点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为：1、1、1、2；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线，
故答案为：5、9；
（3）探索归纳：
对于边形，共有条对角线．
故答案为：；
（4）特例验证：
十边形有对角线．
故答案为：35.
【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键．
21．（2022·浙江八年级单元测试）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【答案】(1)；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
22．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
23．（2022·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB AG）＝（AB AC）；
(3) 根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．
【详解】（1）延长交于点，
，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE
在和中，，，，
∵点是边的中点，∴为的中位线，，
，四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，，
，分别是，的中点，，
，，．
（3）如图：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，
∴ ∵BF∥DE设BDEF中BF边上的高为h，
则 =（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
24．（2022·河南卫辉·九年级期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．
（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）长的最大值为，最小值为．
【分析】（1）延长至，使，连接，根据题意证明，然后证明四边形为平行四边形，即可得出，；（2）首先根据三角形外角的性质得到，然后由三角形中位线的性质得到，，可得到，由即可求出的度数．（3）延长至，使，连接，，可得，可得当FH最小或最大时，MB最小或最大，由题意可得当点在线段上时，最小，当点在线段的延长线上时，最大，根据勾股定理求出AH的长度，然后即可求出线段长的最大值和最小值．
【详解】（1）证明：延长至，使，连接，
在和中，，，
，，，
，，四边形为平行四边形，
，，，；
（2）∵、、分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，∴，，
∴，，
又∵，∴，
∴；
（3）解：延长至，使，连接，，
，，，由勾股定理得，，
当点在线段上时，最小，最小值为，
当点在线段的延长线上时，最大，最大值为，
长的最大值为，最小值为．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．
25．（2022·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
【答案】）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．∴．
∵．∴．∵．∴．
∴．∴．∴．
（2）．
理由：∵，，∴四边形是平行四边形．∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴．∴．
∴．
（3）
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，．
，，，，
四边形为平行四边形．
（2），，，，四边形为平行四边形．
上述结论成立，由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，．
平分，，，．
，，是的垂直平分线，．
，是等边三角形，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
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专题4-7 平行四边形 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ）
A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直
3．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
5．（2022·江苏南通市·八年级期中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
6．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（ ）
A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)
7．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ）
A．150° B．40° C．80° D．90°
8．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．3
9．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
10．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
12．（2022·长春市九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
13．（2022·黑龙江九年级期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是____________．
14．（2022·云南昆明市·九年级月考）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于 度
15．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
16．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
17．（2022·山东八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．
18．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2022·镇江市八年级月考）如图，已知的三个顶点坐标为．
（1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标_______；
（2）将绕坐标原点O逆时针旋转，直接写出点A的对应点的坐标________．
（3）请直接写出：以A、B、C为点的平行四边形的第四个项点D的所有可能的坐标________．
20．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形，共有______条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有______对角线．
21．（2022·浙江八年级单元测试）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
22．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
23．（2022·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
24．（2022·河南卫辉·九年级期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．
（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
25．（2022·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
26．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
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