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专题4-6 反证法
模块一：知识清单
在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为反证法（假设法）.
反证法的步骤：1）提出的假设要能列出所有的反面，有些结论的反面不止一个，如的反面就有两个，；2）推导的矛盾结果有以下两类：①与已知条件相矛盾；②与已知的公理、定理相矛盾.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏扬州市·七年级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A． B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．
【详解】解：﹣2＜1，，∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题的关键．
2．（2022·江苏南通市·八年级期中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
【答案】B
【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
(4)因此假设不成立．∴∠B＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B．
【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.
3．（2022·江苏泰州市·八年级期中）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
【答案】C
【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，
所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.故选C.
4．（2022春·浙江·八年级阶段练习）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于
C．两锐角都大于 D．两锐角都小于
【答案】C
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设结论的反面成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两锐角都大于．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）用反证法证明“若，则，至少有一个不小于”时，第一步应假设( )
A．，都小于 B．，不都小于
C．，都不小于 D．，都大于
【答案】A
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解：“若，则，至少有一个不小于”第一步应假设：，都小于．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（2022·浙江宁波·八年级校考期中）下列说法：
①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；
②夹在两条平行线间的垂线段相等；
③成中心对称的两个图形不一定是全等图形；
④一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”；
其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】直接利用四边形的性质以及中心对称图形的性质和反证法分别分析得出答案．
【详解】①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；正确；
②夹在两条平行线间的垂线段相等；正确；
③成中心对称的两个图形不一定是全等图形；错误，一定全等；
④一组对角相等的四边形是平行四边形；错误；
⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”；错误．
故选：B
【点睛】本题考查四边形的性质以及中心对称图形的性质和反证法，解题的关键是掌握相关定义．
7．（2022·甘肃兰州·八年级校考期中）若、、均为正数，且，那么这三个正数中至少有一个大于或等于，用反证法证明时应先假设这三个正数（ ）．
A．不都小于 B．有两个小于 C．都小于 D．都大于
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【详解】解：根据题意得：用反证法证明时应先假设这三个正数都小于．
故选：C
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．
8．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示 D．可以用反证法证明它不是有理数
【答案】C
【分析】根据实数与数轴、勾股定理、算术平方根、无理数的概念、反证法判断即可．
【详解】解：A．利用勾股定理，可以在数轴上找到唯一点与之对应，本选项说法正确，不符合题意；
B．面积为2的正方形的边长为，本选项说法正确，不符合题意；
C．是无理数，不可以用两个整数的比表示，本选项说法错误，符合题意；
D．可以用反证法证明它不是有理数，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是无理数的概念、实数与数轴、反证法，掌握无理数的概念、反证法的一般步骤是解题的关键．
9．（2022·山西太原·八年级校考阶段练习）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是，所以，于是是偶数，进而q是偶数，从而可设，所以，，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
【答案】B
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
【详解】解：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（ ）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个 B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个 D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
【答案】A
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解：用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设多边形的内角中锐角的个数最少有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·七年级课时练习）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”
小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。
如图2，
假设，过点作直线，使，
依据基本事实（1）___________，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明的假设是不对的，于是有．
【答案】 同位角相等，两直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．
【详解】解：假设，过点作直线，使，
依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【点睛】本题考查的是反证法，熟记平行线的判定定理和平行公理是解题的关键．
12．（2022春·八年级课时练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．
已知：如图，直线，被直线所截；____________．
求证：直线与____________．
证明：假设____________，
则__________________________．
这与____________矛盾，故____________不成立．
所以________________________．
【答案】 不平行 （两直线平行，同旁内角互补） 假设 直线与不平行
【分析】先作出假设，根据平行线的性质得到这与矛盾，则假设不成立即可得到结论．
【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；．
求证：直线与不平行．
证明：假设，
则（两直线平行，同旁内角互补）．
这与矛盾，故假设不成立．
所以直线与不平行．
故答案为：；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行．
【点睛】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键．
13．（2022·北京门头沟·统考二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有________（填方块上的字母）．
【答案】B、D、F、G
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷；
②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷；
③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识．
14．（2022·全国·八年级专题练习）某中学教工家属院住着3户祖孙3代都是教师的教师之家，说来也巧，9个教师分别教数学、语文和英语，不但每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈分的3人所教学科也互不相同．现知爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，那么爷爷辈中英语老师的孙子教__
【答案】语文
【分析】此题可以根据所给条件假设第一户爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，可以推出第一户儿子教英语，孙子教数学，由此可推出爷爷辈中英语老师的孙子不能教数学，也不能教英语.由此得出结论．
【详解】解：由每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．爷爷辈中语文教师的儿子不教数学可以推出第一户儿子教英语，孙子教数学，再由问题中的爷爷教英语和第一户儿子教英语，孙子教数学，可以推出爷爷辈中英语老师的孙子不能教数学，故：爷爷辈中英语老师的孙子教语文，
故答案为：语文．
【点睛】此题考查学生的推理论证能力，关键是通过假设结合题目给出的条件推理论证得出结论．
15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都____60°（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【详解】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
16．（2023秋·河北承德·八年级统考期末）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序______．
【答案】（3）（4）（1）（2）
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
【点睛】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
17．（2022·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）“一个三角形中不可能有两个角是直角”用反证法证明时，首先应假设这形： _______．
【答案】一个三角形中有两个角是直角
【分析】根据反证法的定义，假设有两个角是直角即可.
【详解】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即应首先假设一个三角形中有两个角是直角，
故答案为：一个三角形中有两个角是直角.
【点睛】此题考查反证法，掌握反证法假设的特点是解题的关键.
18．（2022·南京八年级期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．
【答案】至少有两个内角是钝角
【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．
【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角，
故答案为：至少有两个内角是钝角．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
【答案】见解析
【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．
【详解】证明：连接，
假设和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵在中，点D、E分别在上，
∴不可能平行于，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即和不可能互相平分．
【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键．
20．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．
已知：直线a，b，c在同一平面内，，，
求证： ．
证明：
【答案】，证明见解析
【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可．
【详解】解：由命题的结论得：，
故答案为：，
证明：假设a，b相交于点A，
则过A点有两条直线a，b都平行于c，
这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设是错误的，
所以．
【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
【答案】见解析
【分析】根据反证法的一般步骤、三角形内角和定理解答．
【详解】证明：假设的三个外角中至少有两个直角，
则的三个内角中至少有两个直角，不妨设，
所以，
这与三角形内角和等于相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
22．（2022秋·八年级单元测试）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【答案】(1)；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
23．（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”
已知：，，是的内角．
求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
【答案】见解析
【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，
，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
假设不成立，
三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．
求证：．
证明：假设 ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，这与 矛盾，
∴假设 不成立，即；
【答案】见解析
【分析】假设结论不成立，利用平行线性质推出矛盾即可得到答案；
【详解】证明：假设，
∵，
∴，
∵，
∴，这与平角为矛盾，
∴假设不成立，即，
故答案为：；；；平角为；．
【点睛】本题考查反正法及平行线性质，解题的关键是掌握反正法：假设结论不成立，推出矛盾．
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专题4-6 反证法
模块一：知识清单
在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为反证法（假设法）.
反证法的步骤：1）提出的假设要能列出所有的反面，有些结论的反面不止一个，如的反面就有两个，；2）推导的矛盾结果有以下两类：①与已知条件相矛盾；②与已知的公理、定理相矛盾.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏扬州市·七年级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A． B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．（2022·江苏南通市·八年级期中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
3．（2022·江苏泰州市·八年级期中）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
4．（2022春·浙江·八年级阶段练习）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于 C．两锐角都大于 D．两锐角都小于
5．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）用反证法证明“若，则，至少有一个不小于”时，第一步应假设( )
A．，都小于 B．，不都小于 C．，都不小于 D．，都大于
6．（2022·浙江宁波·八年级校考期中）下列说法：
①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；②夹在两条平行线间的垂线段相等；
③成中心对称的两个图形不一定是全等图形；④一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”；其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·甘肃兰州·八年级校考期中）若、、均为正数，且，那么这三个正数中至少有一个大于或等于，用反证法证明时应先假设这三个正数（ ）．
A．不都小于 B．有两个小于 C．都小于 D．都大于
8．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示 D．可以用反证法证明它不是有理数
9．（2022·山西太原·八年级校考阶段练习）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是，所以，于是是偶数，进而q是偶数，从而可设，所以，，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（ ）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个 B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个 D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·七年级课时练习）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”
小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。
如图2，假设，过点作直线，使，
依据基本事实（1）___________，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明的假设是不对的，于是有．
12．（2022春·八年级课时练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．
已知：如图，直线，被直线所截；____________．
求证：直线与____________．
证明：假设____________，
则__________________________．
这与____________矛盾，故____________不成立．
所以________________________．
13．（2022·北京门头沟·统考二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有________（填方块上的字母）．
14．（2022·全国·八年级专题练习）某中学教工家属院住着3户祖孙3代都是教师的教师之家，说来也巧，9个教师分别教数学、语文和英语，不但每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈分的3人所教学科也互不相同．现知爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，那么爷爷辈中英语老师的孙子教__
15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都____60°（填“＞”“＜”或“＝”）．
16．（2023秋·河北承德·八年级统考期末）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以∠B＜90°．（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序______．
17．（2022·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）“一个三角形中不可能有两个角是直角”用反证法证明时，首先应假设这形： _______．
18．（2022·南京八年级期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
20．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．
已知：直线a，b，c在同一平面内，，，
求证： ．
证明：
21．（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
22．（2022秋·八年级单元测试）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使 ∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
23．（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”
已知：，，是的内角．
求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．
求证：．
证明：假设 ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，这与 矛盾，
∴假设 不成立，即；
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