2022-2023学年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·历城期末）下列说法正确的是（ ）
A．三条边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．连接矩形各边中点所得四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·陈仓期末）在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1），为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·西双版纳期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，要使四边形为平行四边形，则添加的条件可以是（ ）
A．AB//CD， B．
C． D．
6．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90 °，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形
D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
7．（2021八下·樊城期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
8．（2022八下·晋中期末）在复习平行四边形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①如图1，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O；②如图2，过点O作一条直线l（不过点A，C）再以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点B，D，连接AB，BC，CD，AD．根据以上作法，不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
10．（2022八下·洋县期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
12．（2022八下·太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ．
13．（2021八下·西宁期中）四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD= 时，四边形ABCD是平行四边形．
14．（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（2022八下·虎林期末）已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是 cm．
16．（2020八下·惠州期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 .
三、解答题
17．（2022·泸州）如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.
18．如图，E、F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
19．如图，已知∠A=∠D，AB=DE，AF=CD，BC=EF．求证：BC∥EF．
20．（2018·大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
21．（2021·黄梅模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
22．（2019八下·云梦期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
（1）已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证：∠A=∠B.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原命题不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题符合题意；
C、连接矩形各边中点所得四边形是菱形，故原命题不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形、矩形、正方形和平行四边形的判定逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△CBF，
∴不能得出四边形DEBF是平行四边形，故A符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE；
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝CF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DECF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以AC为对角线，可以画出平行四边形AFCB，这时第四个顶点的F的坐标为 (-3， 1) ；
②以AB为对角线，可以画出平行四边形ACBE，这时第四个顶点的E的坐标为 (1， -1)；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ACDB，这时第四个顶点的F的坐标为D的坐标为 (3， 1)；
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，分别以AC、BC和AB为对角线画出平行四边形，依此得出第四点的坐标即可.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定它是平行四边形，如等腰梯形；
B、由OA=OD，得∠OAD=∠ODA；由OB=OC，得∠OBC=∠OCB；因为∠AOD=∠BOC，所以∠OAD=∠OCB，从而得AD∥BC；由一组对边平行的四边形不能判定它是平行四边形；
C、OA=OC，OB=OD，表明四边形ABCD的对角线互相平分，则此四边形是平行四边形；
D、两组邻边相等的四边形不能判定它是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】先根据DE∥AC，DF∥AB可证得四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定方法依次分析即可作出判断.
由DE∥AC，DF∥AB可得四边形AEDF是平行四边形，故答案为：A正确；
如果∠BAC=90 °，那么四边形AEDF是矩形，故答案为：B 正确；
如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，故答案为：D正确；
但当AD⊥BC时，无法判定四边形AEDF是正方形，故答案为：C 错误；
故答案为：C.
【分析】根据两组对边分别平行是平行四边形对A作判断；根据一个角是直角的平行四边形是矩形对B作判断；根据正方形的判定定理对C作判断；根据菱形的判定定理对D作判断.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴ ，
A：根据∠B＝∠F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
B：∠B＝∠BCF，∴ ，∴四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意；
C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
故答案为B.
【分析】根据平行四边形的判定“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】由题意得AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：A．
【分析】由题意得AO=CO，BO=DO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵∠ACB=90°，F是AB的中点，
∴FA=FB=FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA=EC，
∴点E、点F都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，
即EF⊥AC，故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD=BD=AB=2AF，∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠ACE=60°，∠DFA=∠DFB=90°，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠EAF=90°，
∴∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴∠EFA=∠DAB=60°，四边形ADFE是平行四边形，故②正确；
∴AD=EF，AF=2AG，
∴BD=AD=EF，AD=AB=2AF=4AG，故③正确；
在△DBF和△EFA中，
BD=EF，∠DBF=∠EFA=60°，BF=FA，
∴△DBF≌△EFA，故④正确，
综上所述，①②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出FA=FC，根据等边三角形的性质得出EA=EC，从而得出EF垂直平分AC，即可判断①正确；证出DF∥AE，DA∥EF，得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断②正确；根据平行线的性质得出AF=2AG，从而得出AD=AB=2AF=4AG，即可判断③正确；再利用SAS证出△DBF≌△EFA，即可判断④正确.
11．【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
12．【答案】或45度
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，
∴∥，且．
∵EF＝DE，
∴，
∴，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴．
故答案为：
【分析】先证明四边形BCFD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：当AB∥CD，且AB＝CD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，AB＝4，
∴当CD＝4时，四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：4．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S BEDF=BE AB=BF DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴32+（7﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴BE= cm，
∴S菱形BEDF=BE AB= cm2．
故答案为： cm2．
【分析】根据两组对边平行可得四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的面积公式得平行四边形的一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形BEDF是菱形，根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求解.
15．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
∵△APC、△BPD都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，
∴四边形CPDH是平行四边形，
∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，
故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，
∴cm，
故答案为：3．
【分析】构造辅助线，根据等边三角形的性质求得CPDH是平行四边形，平行四边形对角线互相平分求得M是PH的中点，再根据中位线的定理即可求得.
16．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O
∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，根据全等三角形的性质即可得到答案。
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∵AE=CF.
∴BE=FD，BE∥FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE=BF.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，结合AE=CF以及线段的和差关系可得BE=FD，推出四边形EBFD是平行四边形，据此可得结论.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
同理可证：BE∥DF，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】可先证明四边形AFCE是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出四边形GFHE是平行四边形，即可得出结论．
19．【答案】证明：连接BF、CE，
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC，
∴BF=CE（全等三角形对应边相等），
∵BC=EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BC∥EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BF、CE，证明△ABF≌△DEC（SAS），然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF，从而求得BC平行于EF．
20．【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE∥BC．BC=2DE，
即DE∥CF，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形.
（2）解：∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴四边形DCFE的周长=2（DE+DC）=BC+AB=25cm，
则BC=25-AB、
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得AB=13cm．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】（1）由中位线定理易得DE∥BC∥CF，且CE∥DC，根据平行四边形的定义即可判定；（2）由平行四边形的周长及直角三角形的中线长是斜边的一边易得2（DE+DC）=BC+AB=25，又由勾股定理可得AB2=BC2+AC2，构造方程即可解出AC的值．
21．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）因为两组对边分别平行，所以，四边形AEBO是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以对角线AC⊥BD，即∠AOB=90°，所以四边形AEBO的为矩.
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以OA=AC=8，因为OE=10，∠OAE=90°，在△AOE中，由勾股定理可得，AE=6，所以OB=AE=6，所以BD=2OB=12，所以，菱形ABCD的面积＝对角线乘积的一半.
22．【答案】（1）解：如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E
∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵CE∥DA
∴∠A=∠CEB
又∵∠A=∠B
∴∠CEB=∠B
∴EC=BC
∴AD=BC
（2）解：∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵AD=BC
∴EC=BC
∴∠CEB=∠B
又∵CE∥DA
∴∠CEB=∠A
∴∠B=∠A
【知识点】等式的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过C作CE∥DA，可证明四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，根据DA∥CE，可得∠A=∠CEB，根据等量代换可得∠CEB=∠B，进而得到EC=BC，从而可得AD=BC；（2）根据CE∥DA，AB∥CD，可证明四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，再由条件AD=BC可得EC=BC，根据等边对等角可得∠B=∠CEB，再根据平行线的性质可得∠A=∠CEB，利用等量代换可得∠B=∠A.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·历城期末）下列说法正确的是（ ）
A．三条边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．连接矩形各边中点所得四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原命题不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题符合题意；
C、连接矩形各边中点所得四边形是菱形，故原命题不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形、矩形、正方形和平行四边形的判定逐项判断即可。
2．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
3．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△CBF，
∴不能得出四边形DEBF是平行四边形，故A符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE；
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝CF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DECF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
4．（2022八下·陈仓期末）在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1），为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以AC为对角线，可以画出平行四边形AFCB，这时第四个顶点的F的坐标为 (-3， 1) ；
②以AB为对角线，可以画出平行四边形ACBE，这时第四个顶点的E的坐标为 (1， -1)；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ACDB，这时第四个顶点的F的坐标为D的坐标为 (3， 1)；
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，分别以AC、BC和AB为对角线画出平行四边形，依此得出第四点的坐标即可.
5．（2022八下·西双版纳期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，要使四边形为平行四边形，则添加的条件可以是（ ）
A．AB//CD， B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定它是平行四边形，如等腰梯形；
B、由OA=OD，得∠OAD=∠ODA；由OB=OC，得∠OBC=∠OCB；因为∠AOD=∠BOC，所以∠OAD=∠OCB，从而得AD∥BC；由一组对边平行的四边形不能判定它是平行四边形；
C、OA=OC，OB=OD，表明四边形ABCD的对角线互相平分，则此四边形是平行四边形；
D、两组邻边相等的四边形不能判定它是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90 °，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形
D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】先根据DE∥AC，DF∥AB可证得四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定方法依次分析即可作出判断.
由DE∥AC，DF∥AB可得四边形AEDF是平行四边形，故答案为：A正确；
如果∠BAC=90 °，那么四边形AEDF是矩形，故答案为：B 正确；
如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，故答案为：D正确；
但当AD⊥BC时，无法判定四边形AEDF是正方形，故答案为：C 错误；
故答案为：C.
【分析】根据两组对边分别平行是平行四边形对A作判断；根据一个角是直角的平行四边形是矩形对B作判断；根据正方形的判定定理对C作判断；根据菱形的判定定理对D作判断.
7．（2021八下·樊城期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴ ，
A：根据∠B＝∠F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
B：∠B＝∠BCF，∴ ，∴四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意；
C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
故答案为B.
【分析】根据平行四边形的判定“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
8．（2022八下·晋中期末）在复习平行四边形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①如图1，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O；②如图2，过点O作一条直线l（不过点A，C）再以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点B，D，连接AB，BC，CD，AD．根据以上作法，不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】由题意得AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：A．
【分析】由题意得AO=CO，BO=DO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断.
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
10．（2022八下·洋县期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵∠ACB=90°，F是AB的中点，
∴FA=FB=FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA=EC，
∴点E、点F都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，
即EF⊥AC，故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD=BD=AB=2AF，∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠ACE=60°，∠DFA=∠DFB=90°，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠EAF=90°，
∴∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴∠EFA=∠DAB=60°，四边形ADFE是平行四边形，故②正确；
∴AD=EF，AF=2AG，
∴BD=AD=EF，AD=AB=2AF=4AG，故③正确；
在△DBF和△EFA中，
BD=EF，∠DBF=∠EFA=60°，BF=FA，
∴△DBF≌△EFA，故④正确，
综上所述，①②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出FA=FC，根据等边三角形的性质得出EA=EC，从而得出EF垂直平分AC，即可判断①正确；证出DF∥AE，DA∥EF，得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断②正确；根据平行线的性质得出AF=2AG，从而得出AD=AB=2AF=4AG，即可判断③正确；再利用SAS证出△DBF≌△EFA，即可判断④正确.
二、填空题
11．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
12．（2022八下·太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ．
【答案】或45度
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，
∴∥，且．
∵EF＝DE，
∴，
∴，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴．
故答案为：
【分析】先证明四边形BCFD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
13．（2021八下·西宁期中）四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD= 时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：当AB∥CD，且AB＝CD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，AB＝4，
∴当CD＝4时，四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：4．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解.
14．（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S BEDF=BE AB=BF DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴32+（7﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴BE= cm，
∴S菱形BEDF=BE AB= cm2．
故答案为： cm2．
【分析】根据两组对边平行可得四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的面积公式得平行四边形的一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形BEDF是菱形，根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求解.
15．（2022八下·虎林期末）已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是 cm．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
∵△APC、△BPD都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，
∴四边形CPDH是平行四边形，
∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，
故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，
∴cm，
故答案为：3．
【分析】构造辅助线，根据等边三角形的性质求得CPDH是平行四边形，平行四边形对角线互相平分求得M是PH的中点，再根据中位线的定理即可求得.
16．（2020八下·惠州期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O
∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，根据全等三角形的性质即可得到答案。
三、解答题
17．（2022·泸州）如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∵AE=CF.
∴BE=FD，BE∥FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE=BF.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，结合AE=CF以及线段的和差关系可得BE=FD，推出四边形EBFD是平行四边形，据此可得结论.
18．如图，E、F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
同理可证：BE∥DF，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】可先证明四边形AFCE是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出四边形GFHE是平行四边形，即可得出结论．
19．如图，已知∠A=∠D，AB=DE，AF=CD，BC=EF．求证：BC∥EF．
【答案】证明：连接BF、CE，
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC，
∴BF=CE（全等三角形对应边相等），
∵BC=EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BC∥EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BF、CE，证明△ABF≌△DEC（SAS），然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF，从而求得BC平行于EF．
20．（2018·大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE∥BC．BC=2DE，
即DE∥CF，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形.
（2）解：∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴四边形DCFE的周长=2（DE+DC）=BC+AB=25cm，
则BC=25-AB、
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得AB=13cm．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】（1）由中位线定理易得DE∥BC∥CF，且CE∥DC，根据平行四边形的定义即可判定；（2）由平行四边形的周长及直角三角形的中线长是斜边的一边易得2（DE+DC）=BC+AB=25，又由勾股定理可得AB2=BC2+AC2，构造方程即可解出AC的值．
21．（2021·黄梅模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）因为两组对边分别平行，所以，四边形AEBO是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以对角线AC⊥BD，即∠AOB=90°，所以四边形AEBO的为矩.
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以OA=AC=8，因为OE=10，∠OAE=90°，在△AOE中，由勾股定理可得，AE=6，所以OB=AE=6，所以BD=2OB=12，所以，菱形ABCD的面积＝对角线乘积的一半.
22．（2019八下·云梦期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
（1）已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证：∠A=∠B.
【答案】（1）解：如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E
∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵CE∥DA
∴∠A=∠CEB
又∵∠A=∠B
∴∠CEB=∠B
∴EC=BC
∴AD=BC
（2）解：∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵AD=BC
∴EC=BC
∴∠CEB=∠B
又∵CE∥DA
∴∠CEB=∠A
∴∠B=∠A
【知识点】等式的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过C作CE∥DA，可证明四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，根据DA∥CE，可得∠A=∠CEB，根据等量代换可得∠CEB=∠B，进而得到EC=BC，从而可得AD=BC；（2）根据CE∥DA，AB∥CD，可证明四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，再由条件AD=BC可得EC=BC，根据等边对等角可得∠B=∠CEB，再根据平行线的性质可得∠A=∠CEB，利用等量代换可得∠B=∠A.
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