2022-2023学年浙教版数学八年级下册5.1矩形 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·顺平期末）在矩形中，，对角线交于点O，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
2．（2021·陵城期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2022八下·乐亭期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是菱形
4．（2021八下·伍家岗期末）如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG＋GC的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（2022八下·范县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等
6．（2021八下·集贤期中）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A．120° B．90 ° C．60° D．30°
7．（2020八下·柯桥期末）如图所示的 ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定 ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC
C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
8．（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2023八下·杭州月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，长方形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝（ ）秒时，S1＝2S2．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2021八下·灌南期末）如图，线段 的长为 ，点 在 上， 是边长为 的等边三角形，过点 作与 垂直的射线 ，过 上一动点 （不与 重合）作矩形 ，记矩形 的对角线交点为 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题
11．（2022八下·宁远期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是 ．
12．（2017八下·宁德期末）若矩形的面积为a2+ab，宽为a，则长为 ．
13．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
14．（2019八下·长春期末）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ．
15．如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,
CN,MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
16．（2020八下·吉林期末）如图1，矩形纸片ABCD， AB=5， BC=8．将此矩形纸片按下列顺序折叠， 则图4中MN的长为 ．
三、解答题
17．（2022八下·自贡期末）如图，四边形是矩形，点在上，交于点，且，，矩形的周长为16；求的长．
18．（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．
19．（2017八下·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
20．（2022八下·隆阳期中）如图所示，在矩形ABCD中，，，过点A，C的两条直线相交于点E．若，，求图中阴影部分的面积．
21．（2022八下·潮南期中）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形．
22．（2022八下·大同期中）阅读下列材料并完成相应的任务
等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
如图，矩形的边上有一动点E，以为边作，且边过矩形的顶点D，在点E从点A移动到点B的过程中，的面积如何变化？
小亮的观点：过点D作于点H，连接．与的乘积始终等于，所以的面积不变．
小明的观点：在点E的运动过程中，的长度在变化，而与两条平行线间的距离不变，所以的面积变化．
任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程．
23．（2022八下·吉林月考）【操作】如图①，在矩形中，E为对角线上的一点（不与点A重合）．将沿射线方向平移到的位置，点E的对应点为点F，易证：（不需要证明）；
【探究】过图①的点E作，交的延长线于点G，连接，其他条件不变，如图②．求证：；
【拓展】将图②中的沿翻折得到，连接，其他条件不变，如图③．当最短时，若，，直接写出四边形的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得，BD=AC=2OB，然后利用勾股定理求出BD=AC=10，从而求出OB的长.
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，BO=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
故答案为：A．
【分析】先利用矩形的性质和∠AOB=60°证明△AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AB=AO=4。
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A.∵四边形是平行四边形
当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B. ∵四边形是平行四边形
当时，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C. ∵四边形是平行四边形
当时，四边形ABCD是矩形，不符合题意；
D. ∵四边形是平行四边形
当时，四边形ABCD是菱形，符合题意．
故答案为：D
【分析】利用矩形、正方形和菱形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵E为正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠EDG=45°.
∵四边形EFCG为矩形，
∴∠EGD=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°.
∴EG=DG.
∴EG＋GC=DG+GC=CD=4.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的每条对角线平分一组对角得出∠EDG=45°，进而根据矩形的性质及三角形的内角和定理得出∠EDG=∠DEG=45°，再根据等角对等边得出EG=DG，从而即可算出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故答案为：D
【分析】根据矩形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠1+∠2=90°。
7．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定 ABCD是矩形.
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定 ABCD是矩形.
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定 ABCD是矩形.
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定 ABCD是矩形.
故答案为：C.
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.据此判断.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：解：，
，又，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】
两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm， AD为BC边上的高
∴，AD=BD=CD=，∠DAC=45°，
∴BD=AD=，
∵ 动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动 ，
∴t秒后AP=，
∴，，
易得△APE是等腰直角三角形，且，
∴，
∵ S1＝2S2 ，
∴，
解得t=6或t=0（舍去）.
故答案为：B.
【分析】首先用勾股定理算出BC的长，由等腰直角三角形的性质可得AD、BD的长及∠DAC=45°，易得，易得△APE是等腰直角三角形，且AP=PE，进而用三角形面积计算公式及矩形面积计算公式分别表示出S1与S2，最后根据S1＝2S2建立方程，求解即可.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC= CG，OD= DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB=∠CAO=30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB= AB= ×8=4，
即OB的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得： OC=OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB=30° ；点0 一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论.
11．【答案】3cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm
∴OA＝OC＝OB＝OD＝3cm，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3cm，
故答案为：3cm.
【分析】由矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝3cm，结合∠AOB＝60°，可得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解.
12．【答案】a+b
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：
故答案是：a+b.
13．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
14．【答案】5
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝5，AC⊥BD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，且AC⊥BD，
∴四边形ODEC是矩形，
∴OE＝CD＝5，
故答案为5.
【分析】由菱形的性质可得BC＝CD＝5，AC⊥BD，由题意可证四边形ODEC是矩形，可得OE＝CD＝5．
15．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E,F分别是AB,CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
16．【答案】6
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】 四边形ABCD是矩形，
如图3，
由折叠的性质得： ， ，
是等腰直角三角形，且点 是PQ的中点，
如图4，
由折叠的性质得： 是等腰直角三角形， ，且点O是MN的中点
故答案为：6．
【分析】如图3，先根据折叠的性质可得 ， ， ，从而可得 ，再根据折叠的性质可得 ，然后根据等腰直角三角形的性质即可得．
17．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠DEC+∠AEF＝90°
∴∠AEF＝∠DCE，
又∵EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE＝CD，
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD＝16，
∴CD+AD＝8，
∵CD＝AE＝AD－DE＝AD－2，
∴AD﹣2+AD＝8，
∴AD＝5，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠AEF＝∠DCE， 利用AAS证明△AEP≌△DCE，得出AE=CD，再利用矩形的周长为16，求出AD的长，然后根据线段的和差关系即可求出结果.
18．【答案】证明：，AD⊥BC，
，，
，
，
平分，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形ADBE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形ADBE是矩形。
19．【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
20．【答案】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴
．
∴图中阴影部分的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得CD=AB=3，∠D=90°，利用勾股定理求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理可求∠ACE=90°，根据，利用三角形的面积公式即可求解.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABF和△DAE中，
∴，
∴，
∴矩形ABCD是正方形．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由矩形的性质可得，再利用余角的性质可推出，根据AAS证明，可得，根据有一边相等的矩形是正方形即证.
22．【答案】解：小亮的观点正确．
如图：连接DE，过点E作EM⊥CD于M，则是矩形，
∴EM=AD，
∵，
∴EC·DH为定值，
又，
∴值不变，
故同意小亮的观点．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【分析】连接DE，过点E作EM⊥CD于M，则是矩形，结合，求出，即可得到值不变，从而得解。
23．【答案】解：探究：
证明：由平移，得，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，且，
∴，，
∴；
【拓展】四边形的周长=
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】拓展：解：如图，∵矩形 ，，连接 交于
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
由对折可得：
∴
∴
当的值最小，此时 点，点与重合，
此时
∴四边形的周长为．
【分析】【探究】先证明，再结合，，可得；
【拓展】当的值最小，此时 点，点与重合，此时 再求出四边形的周长即可。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册5.1矩形 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·顺平期末）在矩形中，，对角线交于点O，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得，BD=AC=2OB，然后利用勾股定理求出BD=AC=10，从而求出OB的长.
2．（2021·陵城期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，BO=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
故答案为：A．
【分析】先利用矩形的性质和∠AOB=60°证明△AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AB=AO=4。
3．（2022八下·乐亭期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A.∵四边形是平行四边形
当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B. ∵四边形是平行四边形
当时，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C. ∵四边形是平行四边形
当时，四边形ABCD是矩形，不符合题意；
D. ∵四边形是平行四边形
当时，四边形ABCD是菱形，符合题意．
故答案为：D
【分析】利用矩形、正方形和菱形的判定方法逐项判断即可。
4．（2021八下·伍家岗期末）如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG＋GC的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵E为正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠EDG=45°.
∵四边形EFCG为矩形，
∴∠EGD=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°.
∴EG=DG.
∴EG＋GC=DG+GC=CD=4.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的每条对角线平分一组对角得出∠EDG=45°，进而根据矩形的性质及三角形的内角和定理得出∠EDG=∠DEG=45°，再根据等角对等边得出EG=DG，从而即可算出答案.
5．（2022八下·范县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故答案为：D
【分析】根据矩形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
6．（2021八下·集贤期中）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A．120° B．90 ° C．60° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠1+∠2=90°。
7．（2020八下·柯桥期末）如图所示的 ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定 ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC
C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定 ABCD是矩形.
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定 ABCD是矩形.
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定 ABCD是矩形.
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定 ABCD是矩形.
故答案为：C.
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.据此判断.
8．（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：解：，
，又，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】
两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.
9．（2023八下·杭州月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，长方形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝（ ）秒时，S1＝2S2．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm， AD为BC边上的高
∴，AD=BD=CD=，∠DAC=45°，
∴BD=AD=，
∵ 动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动 ，
∴t秒后AP=，
∴，，
易得△APE是等腰直角三角形，且，
∴，
∵ S1＝2S2 ，
∴，
解得t=6或t=0（舍去）.
故答案为：B.
【分析】首先用勾股定理算出BC的长，由等腰直角三角形的性质可得AD、BD的长及∠DAC=45°，易得，易得△APE是等腰直角三角形，且AP=PE，进而用三角形面积计算公式及矩形面积计算公式分别表示出S1与S2，最后根据S1＝2S2建立方程，求解即可.
10．（2021八下·灌南期末）如图，线段 的长为 ，点 在 上， 是边长为 的等边三角形，过点 作与 垂直的射线 ，过 上一动点 （不与 重合）作矩形 ，记矩形 的对角线交点为 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC= CG，OD= DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB=∠CAO=30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB= AB= ×8=4，
即OB的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得： OC=OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB=30° ；点0 一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论.
二、填空题
11．（2022八下·宁远期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是 ．
【答案】3cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm
∴OA＝OC＝OB＝OD＝3cm，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3cm，
故答案为：3cm.
【分析】由矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝3cm，结合∠AOB＝60°，可得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解.
12．（2017八下·宁德期末）若矩形的面积为a2+ab，宽为a，则长为 ．
【答案】a+b
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：
故答案是：a+b.
13．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
14．（2019八下·长春期末）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ．
【答案】5
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝5，AC⊥BD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，且AC⊥BD，
∴四边形ODEC是矩形，
∴OE＝CD＝5，
故答案为5.
【分析】由菱形的性质可得BC＝CD＝5，AC⊥BD，由题意可证四边形ODEC是矩形，可得OE＝CD＝5．
15．如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,
CN,MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E,F分别是AB,CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
16．（2020八下·吉林期末）如图1，矩形纸片ABCD， AB=5， BC=8．将此矩形纸片按下列顺序折叠， 则图4中MN的长为 ．
【答案】6
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】 四边形ABCD是矩形，
如图3，
由折叠的性质得： ， ，
是等腰直角三角形，且点 是PQ的中点，
如图4，
由折叠的性质得： 是等腰直角三角形， ，且点O是MN的中点
故答案为：6．
【分析】如图3，先根据折叠的性质可得 ， ， ，从而可得 ，再根据折叠的性质可得 ，然后根据等腰直角三角形的性质即可得．
三、解答题
17．（2022八下·自贡期末）如图，四边形是矩形，点在上，交于点，且，，矩形的周长为16；求的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠DEC+∠AEF＝90°
∴∠AEF＝∠DCE，
又∵EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE＝CD，
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD＝16，
∴CD+AD＝8，
∵CD＝AE＝AD－DE＝AD－2，
∴AD﹣2+AD＝8，
∴AD＝5，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠AEF＝∠DCE， 利用AAS证明△AEP≌△DCE，得出AE=CD，再利用矩形的周长为16，求出AD的长，然后根据线段的和差关系即可求出结果.
18．（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．
【答案】证明：，AD⊥BC，
，，
，
，
平分，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形ADBE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形ADBE是矩形。
19．（2017八下·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
20．（2022八下·隆阳期中）如图所示，在矩形ABCD中，，，过点A，C的两条直线相交于点E．若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴
．
∴图中阴影部分的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得CD=AB=3，∠D=90°，利用勾股定理求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理可求∠ACE=90°，根据，利用三角形的面积公式即可求解.
21．（2022八下·潮南期中）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABF和△DAE中，
∴，
∴，
∴矩形ABCD是正方形．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由矩形的性质可得，再利用余角的性质可推出，根据AAS证明，可得，根据有一边相等的矩形是正方形即证.
22．（2022八下·大同期中）阅读下列材料并完成相应的任务
等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
如图，矩形的边上有一动点E，以为边作，且边过矩形的顶点D，在点E从点A移动到点B的过程中，的面积如何变化？
小亮的观点：过点D作于点H，连接．与的乘积始终等于，所以的面积不变．
小明的观点：在点E的运动过程中，的长度在变化，而与两条平行线间的距离不变，所以的面积变化．
任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程．
【答案】解：小亮的观点正确．
如图：连接DE，过点E作EM⊥CD于M，则是矩形，
∴EM=AD，
∵，
∴EC·DH为定值，
又，
∴值不变，
故同意小亮的观点．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【分析】连接DE，过点E作EM⊥CD于M，则是矩形，结合，求出，即可得到值不变，从而得解。
23．（2022八下·吉林月考）【操作】如图①，在矩形中，E为对角线上的一点（不与点A重合）．将沿射线方向平移到的位置，点E的对应点为点F，易证：（不需要证明）；
【探究】过图①的点E作，交的延长线于点G，连接，其他条件不变，如图②．求证：；
【拓展】将图②中的沿翻折得到，连接，其他条件不变，如图③．当最短时，若，，直接写出四边形的周长．
【答案】解：探究：
证明：由平移，得，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，且，
∴，，
∴；
【拓展】四边形的周长=
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】拓展：解：如图，∵矩形 ，，连接 交于
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
由对折可得：
∴
∴
当的值最小，此时 点，点与重合，
此时
∴四边形的周长为．
【分析】【探究】先证明，再结合，，可得；
【拓展】当的值最小，此时 点，点与重合，此时 再求出四边形的周长即可。
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