5.1 矩形（2） 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
浙教版八年级下册
5.1 矩形 （2）
新知导入
温故知新
四边形
边特殊化
角特殊化
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形
矩形
温故知新
A
B
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
有一个角是直角
有二个角是直角
有三个角是直角
大胆猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形
证明：有三个角是直角的四边形是矩形
D
C
B
A
已知：在四边形ABCD中，
∠A= ∠B= ∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 180°
∠B + ∠C = 180°
∴AD∥BC， AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
温故知新
回到定义去：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
大胆猜想：
聚焦对角线的变化：
温故知新
对角线相等的平行四边形是矩形
温故知新
对角线相等的平行四边形是矩形.
B
C
D
A
O
证明：
AB=CD，
又∵AC=DB，BC=CB
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠1=∠2,
∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
已知：如图，在 ABCD中，AC=BD，
求证：四边形ABCD是矩形.
在 ABCD中，
1
2
∴∠1=90°，
回到定义去：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
B
C
D
A
在 ABCD中，
∵AC=BD，
∴ ABCD是矩形.
几何语言：
对角线相等
温故知新
新知讲解
例1：一张四边形纸板ABCD两条对角线互相垂直，若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？
A
B
C
D
O
解：分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，
依次连结EF，FG，GH，HE，
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,
∵AC⊥BD,
∴EF⊥BD,
∵EH是△ABD的中位线,
∴EH∥BD,
∴ EF⊥EH,
即∠HEF＝90°,
同理∠EHG＝90°,
∠HGF＝90°,
∴四边形EFGH是矩形．
.
.
.
.
E
G
H
F
（一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么必然垂直于另一条）
（一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么必然垂直于另一条）
四边形
平行四边形
矩形
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等
归纳总结
1.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
C
夯实基础，稳扎稳打
A
B
C
D
E
F
G
H
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=CD
课堂练习
1.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
C
夯实基础，稳扎稳打
A
B
C
D
E
F
G
H
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=CD
课堂练习
2.想一想：判断下列命题是否正确，并说明理由.
1.对角互补的平行四边形是矩形
2.一组邻角相等的平行四边形是矩形
3.对角线相等的四边形是矩形
4.内角都相等的四边形是矩形
√
√
×
√
课堂练习
3、已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是CB，∠B=∠D=Rt∠； 求证：四边形ABCD是矩形。
A
D
C
B
证明：∵Rt△ABC≌Rt△CDA(已知)
∴ ∠DCA=∠CAB
(全等三角形的对应角相等)
∵ ∠B=∠D=Rt∠(已知)；
∴∠DAC+∠DCA =900
∴ ∠DAC+∠CAB =900
∴四边形ABCD是矩形
(有三个角是直角的四边形是矩形)
∴ ∠DAB =900
课堂练习
4.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
在矩形ABCD中，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分且相等），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH（等量减等量，其差相等）
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
∴四边形EFGH是矩形.
(对角线相等的平行四边形是矩形).
∴EG,FH互相平分，
即EG=FH，
课堂练习
5：如图，BC是等腰三角形BED的底边ED上的高线，四边形ABEC是平行四边形.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABEC是平行四边形,
∴AB CE,
∵BC是等腰三角形BED底边ED上的高，
∴EC=CD，
∠BCD=90°,
∴AB CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠BCD=90°,
∴ 平行四边形ABCD是矩形.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
连续递推，豁然开朗
课堂练习
5：如图，BC是等腰三角形BED的底边ED上的高线，四边形ABEC是平行四边形.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABEC是平行四边形,
∴AB CE,
∵BC是等腰三角形BED底边ED上的高,
∴EC=CD,
∴AB CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BE，BE=BD,
∴BD=AC,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(对角线相等的平行四边形是矩形)
课堂练习
A
C
B
D
6.证明：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，CD是边AB上的中线，且CD= AB
求证：△ABC是直角三角形
证明：延长CD到E，使DE=CD，连结AE、BE
∴CD= CE
∵CD是斜边AB上的中线
∴AD=DB
∴四边形AEBC是平行四边形
∵CD= AB
∴CE=AB
∴四边形AEBC是矩形
∴∠ACB=90°
即△ABC是直角三角形
E
(对角线相等的平行四边形是矩形)
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(对角线互相平分且相等的四边形是矩形)
课堂练习
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD= AB
1
2
几何语言：
几何语言：
推论：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
C
B
A
D
∴ΔABC是直角三角形
在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且
∴CD= AB
知识小结
新知导入
温故知新
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
B
A
C
O
几何语言：
∵ 点C在线段AB的垂直平分线上 ,
∴ CA=CB.
新知导入
温故知新
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A
P
B
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
新知导入
温故知新
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ1Ａ＝Ｐ1Ｂ，Ｐ2Ａ＝Ｐ2Ｂ
求证：Ｐ1P2是线段ＡＢ的垂直平分线
A
B
P1
P2
证明:
∵Ｐ1Ａ＝Ｐ1Ｂ，
∴点P1在线段AB的垂直平分线上
∵Ｐ2Ａ＝Ｐ2Ｂ
∴点P2在线段AB的垂直平分线上
∴P1P2是AB的垂直平分线。
（两点确定一条直线）
7.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
点M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点；
求证：四边形MNPQ是矩形。
A
Q
P
N
M
D
C
B
证明：∵ AB=AD，CB=CD，
∴AC⊥BD.
又∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点；
(三角形的中位线平行且等于第三边的一半)
∴四边形MNPQ是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )
∴PQ∥AC
∴∠DQP=∠DAC,
∴QM∥BD
∴∠AQM=DAB,
而AC⊥BD
∴∠DAC+∠ADB=900 ∠AQM+∠DQP=900
∴∠MQP=900,
∴四边形MNPQ是矩形(矩形定义)
连续递推，豁然开朗
新知导入
温故知新
O
A
B
C
⌒
1
⌒
2
两个角有一条公共边，它们的另一条边，互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，叫做邻补角。
邻补角特征识别：
1.具有一个公共的顶点O
2.有一条公共边OA
3.两个角的另一边互为反向延长线
4.邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角
5.互为邻补角的两角互补，即 1800
∠1 + ∠2 =
温故知新
证明：如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。
已知：点O是直线BC上的一点，作射线OA，其中OD是
∴
(角平分线的意义）
∵OE是
.
∴
(角平分线的意义）
∵∠AOB + ∠AO =1800
.
∴
.
.
∴
.
一分钟背诵
O
A
B
C
D
D
E
E
⌒
2
⌒
1
证明∵OD是
.
8.已知:如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的
四边形EFGH. (1)求证:四边形EFGH是矩形. (2)若EH＝3 cm,EF＝4 cm,求边AD的长
(1)提示:由题意可得EH 平分∠AHF,GH 平分∠DHF,由此可
得∠EHG＝Rt∠,同理可得∠HEF＝∠HGF＝Rt∠,
∴ 四边形EFGH 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
邻补角的平分线互相垂直
(2)由题意可得HF＝ =5.
EH=GF, EJ＝GK,
HJ＝FK, HK＝FJ,
∴ AD＝AH+HD＝HJ+FJ＝HF＝5(cm).
.
9. 如图,□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
A
B
D
C
H
E
F
G
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形．
谢谢
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