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专题5-1 矩形
模块一：知识清单
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形
矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形：
1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC
2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形
5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD）
矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°；
2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·湖南株洲·统考一模）下列关于矩形的说法正确的是（ ）
A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．有四条对称轴 D．四条边相等
【答案】B
【分析】根据矩形的性质依次进行判断即可．
【详解】解：矩形的性质有：对边平行且相等，对角相等且互相平分，四个角都是直角，
既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴，故选：B
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
2．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）以下条件中能判定平行四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可．
【详解】当时，平行四边形为菱形，故A选项不符合题意；
为平行四边形的性质，故B选项不符合题意；
当时，平行四边形为菱形，故C选项不符合题意；
当时，平行四边形为矩形，故D选项不符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质先求出，再求出，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，
．故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
4．（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，矩形的，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】B
【分析】先利用邻补角的性质求出的度数，再利用矩形的性质得到是等边三角形，，进而可求出的长．
【详解】∵，∴．∵四边形是矩形，
∴，，∴是等边三角形，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解答此题的关键是熟知矩形的对角线相等且平分．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据矩形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：如图：连接，
∵点B的坐标是，，
∵四边形是矩形，，，故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键．
6．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质、勾股定理，可以得到的长，再根据全等三角形的判定与性质可以得到，从而可以求得的长．
【详解】解：连接，∵，∴，
∵四边形是矩形，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，在和中，，
∴，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求得，利用数形结合的思想解答．
7．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）在矩形中，对角线、交于点，，垂足为，，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用矩形的性质以及，结合勾股定理列方程求出长，再利用矩形对角线的性质求出面积．
【详解】解：设∵∴∴
在矩形中，∴∵∴
∵∴解得：∴
∵∴故选B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质以及勾股定理，利用矩形的性质以及勾股定理列方程是解决本题的关键．
8．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点，过点作于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据矩形的性质即可得到的面积为3，再根据，即可得到的值．
【详解】∵四边形是矩形，，∴矩形的面积为12，，
∴，∴，
∵对角线交于点O，∴的面积为3，∵，
∴，
即∴，故选；C．
【点睛】本题考查矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
在矩形中，，
∵，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，则，
∵，∴是的垂直平分线，∴，
∴，连接，则，
∴，∴的最小值为26，
即的最小值为26，故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
10．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，在矩形中，，，点是上一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点恰好落在的平分线上时， 的长为（ ）
A．或 B．4或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】过点作于点M．由题意易证为等腰直角三角形，即得出，．设，则．在中，由勾股定理可得出关于x的等式，解出x的值，即为的长，进而即得出的长．
【详解】如图，过点作于点M．
∵点A的对应点恰落在的平分线上，且，
∴为等腰直角三角形，∴可设，则．
又由折叠的性质知．∵在中，，
∴，解得：，∴或．
∵为等腰直角三角形，∴，∴或．故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山西晋城·统考一模）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是__________．（填写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先证明四边形是平行四边形，再添加对角线相等即可求解．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线与相交于点，∴，
又∵，∴即∴四边形是平行四边形，
添加条件：，可得四边形是矩形，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知点是矩形的对称中心，分别是边上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 ____．
【答案】
【分析】根据矩形性质得到，由三角形全等的判定定理得到，从而根据三角形全等的性质得到，再由矩形对角线性质即可得到．
【详解】解：在矩形中，，∴，
在与中，，∴，
，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形性质及全等三角形的判定与性质求图形面积，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
13．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点О，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则___________．
【答案】3
【分析】根据矩形的对角线相等且平分，结合，易得，进而得到是的中位线，即可得解．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，，∴为的中点，
∵点是边的中点，∴；故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理．掌握矩形的对角线相等且平分是解题的关键．
14．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，以的边为对角线构造矩形，连接分别交、于点、点，若为中点，，则__．
【答案】##0.5
【分析】根据矩形性质和勾股定理可得：，，再由三角形中位线定理可得，由即可求得答案．
【详解】解：矩形中，，，，，，
在中， ，，，
点、分别是、的中点，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识点，综合运用以上知识是解题的关键．
15．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，E为上一点，平分，，则的长为___________．
【答案】5
【分析】根据勾股定理求出，再证明，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵矩形纸片，∴，，，
∵，∴，∵平分， ∴，
∵，∴，∴，
∴∴∴，故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题关键是根据题意得出，利用勾股定理列出方程．
16．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，与y轴交于点E，若，则点E的坐标为______________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置，
,,，
∵点B的坐标为， ，，
设，则，在中，，
解得，∴点E的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和平行线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．
17．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）在矩形中，点在边上，是等腰三角形，若，，则线段的长为__．
【答案】或或
【分析】分两种情况：①，此时点是的中垂线与的交点；②，在直角中，利用勾股定理求得的长度，然后求得的长度即可．③,在直角中，利用勾股定理求得的长度即可
【详解】解：四边形是矩形，，，
①当时，点是的中垂线与的交点，；
②当时，在中，，则，
．
③时，在中，由勾股定理得
综上所述，线段的长为或或，故答案是：或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
18．（2023春·江苏徐州·八年级徐州三十五中校考阶段练习）如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有___________（填序号）．
【答案】①②④
【分析】先求出，再利用矩形的性质得到，即可判定①，利用角平分线的定义与平行线的性质进行角之间的转化即可判断②，利用等边三角形的三条边相等和矩形对角线互相平分以及直角三角形中斜边比直角边长即可判断③，利用中线平分三角形面积即可判断④．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴是等边三角形，故①正确；
∵矩形中，与平行，且，
∴，∴，∴，∴，故②正确；
∵是等边三角形，∴，∴，∴，故③错误；
∵，∴，故④正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，解题关键是掌握矩形的性质并能灵活应用．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·八年级课时练习）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，，∴，∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，∴．∵矩形中，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且满足．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：四边形是矩形，
__________，，．
，．
，
__________．
．
在和中：
，
__________．
．
即．
【答案】(1)作图见详解
(2)；；；
【分析】（1）利用尺规按照要求作图即可；
（2）证明，可得结论．
【详解】（1）
如图所示，即为所求．
（2）证明：四边形是矩形，
，，．
，．
，
．
．
在和中：
，
．
．
即．
【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，寻找全等三角形是解题的关键．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．
(1)与相等吗？证明你的结论．
(2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)在的中点上时，四边形是矩形，见解析
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出，，根据等腰三角形的判定推出，即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
【详解】（1）解：；
理由是：直线，
，
平分，
，
，
，
同理，
．
（2）解：在的中点上时，四边形是矩形，
理由是：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在长方形中，，P为边上一点，将沿折叠，点C落在点E处，，分别交于点F，G，已知．
(1)试说明：；(2)求的长；(3)求的面积．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，设，利用勾股定理求根据方程求出x即可解决问题；
（3）先求出，，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）在和中，
，∴；
（2）由（1）得， ∴，
∴，设，
则，
在中，，
∴，解得，∴；
（3）∵，∴，∴，
∴，
在中，，
即，解得，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
23．（2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，．
(1)求的长；(2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，．①求点A到的距离；②求的值．
【答案】(1)(2)①点A到的距离为5；②
【分析】（1）根据折叠得出，，设，则，在中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（2）①过点A作于点G，过点F作于点H，根据求出即可；
②过点M作于点K，先根据勾股定理求出，证明，得出，，证明，得出，设，则，根据勾股定理列出求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，
根据折叠可知，，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，解得：，∴．
（2）解：①过点A作于点G，过点F作于点H，如图所示：
则，∵四边形为矩形，∴，
∴，∴四边形为矩形，∴，
根据折叠可知，，∵，
∴，∴点A到的距离为5；
②过点M作于点K，如图所示：
∵四边形为矩形，∴，，，
设，则，∵在中，根据勾股定理得：，
即，解得：，∴，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，又∵，
∴，∴平分，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
设，则，
∵在中，根据勾股定理可得：，
∴，解得：，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质，根据勾股定理列出方程，利用方程思想解决问题．
24．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；
(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图，连接，，若，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）利用矩形的性质，得到，进而得到，根据折叠的性质，得到，从而得到，即可得证；
（2）利用矩形的性质，折叠的性质，易证，是直角三角形，在中利用勾股定理进行求解即可；
（3）作于，交于，易得四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，由折叠得：，
，；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
由折叠知：，，，
，，
，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
，，；
（3）如图，作于，交于，
，，，
四边形是矩形，，四边形是矩形，
，，，在中，，，
，，
．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，同时考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键．
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专题5-1 矩形
模块一：知识清单
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形
矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形：
1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC
2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形
5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD）
矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°；
2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·湖南株洲·统考一模）下列关于矩形的说法正确的是（ ）
A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．有四条对称轴 D．四条边相等
2．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）以下条件中能判定平行四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，矩形的，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）在矩形中，对角线、交于点，，垂足为，，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点，过点作于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
10．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，在矩形中，，，点是上一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点恰好落在的平分线上时， 的长为（ ）
A．或 B．4或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山西晋城·统考一模）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是__________．（填写一个即可）
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知点是矩形的对称中心，分别是边上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 ____．
13．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点О，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则___________．
14．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，以的边为对角线构造矩形，连接分别交、于点、点，若为中点，，则__．
15．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，E为上一点，平分，，则的长为___________．
16．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，与y轴交于点E，若，则点E的坐标为______________．
17．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）在矩形中，点在边上，是等腰三角形，若，，则线段的长为__．
18．（2023春·江苏徐州·八年级徐州三十五中校考阶段练习）如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有___________（填序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·八年级课时练习）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．
20．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且满足．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：四边形是矩形，__________，，．
，．
，__________．
．
在和中：
，__________．
．即．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．
(1)与相等吗？证明你的结论．(2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在长方形中，，P为边上一点，将沿折叠，点C落在点E处，，分别交于点F，G，已知．
(1)试说明：；(2)求的长；(3)求的面积．
23．（2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，．
(1)求的长；(2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，．①求点A到的距离；②求的值．
24．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；
(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图，连接，，若，求的面积．
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