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专题5-2 菱形
模块一：知识清单
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形：
1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD
2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分，
即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形
5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD，
菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等
2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分
4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·山东济南·九年级统考开学考试）关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等
【答案】D
【分析】根据菱形性质进行判断即可．
【详解】解：A．菱形对角线互相平分，故选项正确，不符合题意；
B．菱形对角线互相垂直，故选项正确，不符合题意；
C．菱形邻边相等，故选项正确，不符合题意；
D．菱形的对角线不一定相等，故选项错误，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
2．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，
∴是菱形，故选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，故选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，故选项不符合题意，
D、∵四边形是平行四边形，，
∴是矩形，故选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西北大学附中校考三模）如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理即可求出边长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算边长是解题的关键．
4．（2023·天津河西·统考模拟预测）如图，菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，勾股定理求得，点C在x轴的正半轴上，得轴可求解．
【详解】解：菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，
，点C在x轴的正半轴上，轴，，故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理及坐标与图形；解题的关键是求出菱形的边长．
5．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值．
【详解】解：∵点D、E是边的中点，
∴，且，，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
同理求得 ，
……
，
∴，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理并能进行推理计算是解题关键．
6．（2023·广东·一模）在菱形中，M是边的中点，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据菱形的性质，得到，，根据勾股定理计算即可．
【详解】∵菱形中，M是边的中点，，，
∴，，∴，故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）观察下面的尺规作图痕迹，在平行四边形基础上能成功作出菱形的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可．
【详解】如图，
如图①，根据尺规作图可知：，
∵在平行四边形中，有，∴四边形是菱形，故①符合要求；
如图①，根据尺规作图可知：垂直平分线段，
∴，，∴，
∵在平行四边形中，有，∴，
∴，即平分，
∵，∴是等腰三角形，∴，
同理可得，∴，∴四边形是菱形，故②符合要求；
如图③，根据尺规作图可知：，利用现有条件无法证明，
即无法证明出四边形是菱形，故③不符合要求；故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及垂直平分线的尺规作图等知识，掌握菱形的判定方法是解答本题的关键．
8．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在菱形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质可得出，由可得出，由，，可得四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，
∵，，∴是等边三角形，
∴，∴，
∵，，∴，，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∴，，，，∴阴影部分的周长为：
．故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，运用了转化的思想．合理应用相关性质进行计算是解题的关键．
9．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，菱形的边长为，，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，由图象可知当为两平行线和间的垂线段时，即菱形的边上的高时，为最小值，再求出菱形的边上的高，即为的最小值．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，
∴，∵点为边上的动点，即点也为边上的动点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，∵点、、均为动点，
∴由图象可知当为两平行线和间的垂线段时，即菱形的边上的高时，为最小值，如图，过点作，垂足为，
∵在菱形中，∴，∴，又∵，∴，
∵在中，，，∴，
∴，∴的最小值是，故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，学会利用轴对称解决最短距离问题是解答本题的关键．
10．（2023春·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，是菱形的对角线的交点，分别是的中点．给出下列结论：①四边形的面积大小等于；②四边形也是菱形；③；④；⑤其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据菱形的面积公式即可求证；②根据菱形的定义判断即可得出答案；③根据菱形的性质即可判断；④根据等腰三角形的性质即可判断正误；⑤根据三角形的面积公式计算即可
【详解】①∵四边形是菱形，∴四边形的面积为．
∵分别是的中点，∴，∴四边形的面积大小等于，故①正确；
②∵四边形是菱形，∴．
∵分别是的中点，∴，
∴．∴四边形是平行四边形，
∵，∴平行四边形是菱形，故②正确；
③∵四边形是菱形，四边形也是菱形，
∴，∴，故③正确；
④∵为中点，而与不一定相等，∴无法证明，故④错误；
⑤∵四边形是菱形，四边形也是菱形，∴
∵为中点，∴，∴．
∵，∴，故⑤正确；
综上，正确的有①②③⑤，共4个，故选C．
【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，三角形的性质以及菱形的面积公式，掌握这些性质和判定是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）点E、F、G、H分别是平行四边形的边、、、的中点．若要使四边形是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①，②，③，④．（请填写正确的序号）
【答案】①②③
【分析】先根据三角形中位线定理得到，即可证明四边形是平行四边形；添加条件①②可证明四边形是矩形，得到，则，从而证明四边形是菱形；条件条件③直接可得到，从而证明四边形是菱形；添加条件④无法证明，无法证明四边形是菱形．
【详解】解：如图所示，连接，
∵E、F分别是、的中点，∴是的中位线，∴，
同理，∴，∴四边形是平行四边形；
当添加条件①时，∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，∴，∴，
∴四边形是菱形，故①符合题意；
添加条件②，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，
∴四边形是菱形，故②符合题意；
添加条件③，∴，∴四边形是菱形，故③符合题意；
添加条件④，无法证明，即无法证明四边形是菱形，故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，菱形的判定，熟知特殊四边形的性质与判定定理是解题的关键．
12．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为 ___________．
【答案】12
【分析】由菱形的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的性质即可得解．
【详解】解：四边形为菱形，，，，
是的中点，，．故答案为：12．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD＝60°，AD＝2，则OH＝_______．
【答案】1
【分析】由菱形的性质得，，由，可得是等边三角形，再由，得到，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，
∵，∴是等边三角形，
∵，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2023·山西晋中·统考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为_____．
【答案】42
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
【详解】解：在菱形中，对角线，交于点，，，
，，
菱形的面积为．故答案为：42．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积的求法．
15．（2023·山东泰安·统考一模）如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点D的坐标是_____．
【答案】
【分析】首先据菱形的性质求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，进而得到点D的坐标．
【详解】解：菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，
，，
，点，故答案为：
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出的长度．
16．（2023春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形．若，，则四边形的面积是_________．
【答案】
【分析】由、可知四边形为平行四边形，过点作于点，于点，连接、交于点；由平行四边形的对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形，结合两纸条的宽度相等可以得到；接下来判断出四边形的形状，然后求出对角线的长度，问题便不难解答．
【详解】解：过点作，，垂足分别为，，连接、交于点．
纸条的对边平行，即、，
四边形是平行四边形，与的面积相等．
纸条的宽度相等，即，，四边形是菱形．
，，，，
，，，
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质和判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解答的关键．
17．（2023春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，已知点P是菱形的对角线延长线上一点，过点P分别作延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若，则的值为 _____．
【答案】
【分析】连接交于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可得到答案．
【详解】解：连接交于O，如图：
∵四边形是菱形，，
∴，，，
，
在中，，，
，在中，，，
在中，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质的知识，求出，将转换为是关键．
18．（2023·江西·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E为的中点，F为线段上一动点，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或3
【分析】先利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质分别求出，，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∴
∵E为的中点，∴，，∴，
当时，，∴，
当时，如图，过E点作于G，
∵，∴，∵E为的中点，，
∴，由勾股定理得，在中，，
∴，
当点F与点O重合时，此时，则；
综上，的长为或或3；故答案为：或或3．
【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，解题关键是正确分类讨论和计算．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E．
(1)求证：；(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见详解(2)24
【分析】（1）只要证明是的中位线即可．
（2）在中求出，再求出、即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
∵，∴四边形是平行四边形，
∴，，．
（2）解：在菱形中，，
在中，，，
，，
，周长．
【点睛】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理、三角形周长等知识，解题的关键是证明点是中点，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．
20．（2023春·北京东城·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．
(1)求证；(2)连接，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，结合体已知条件得出，进而根据三线合一即可得证；
（2）根据（1）的结论得出，根据中位线的性质得出，根据菱形的判定定理即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
又∵，∴，∵是的中点，∴；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，是的中点，∴，
∵分别是的中点∴
又∵四边形是平行四边形∴，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
21．（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的垂线交的延长线于以E．
(1)证明：．(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先根据菱形的性质得出，，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可证明；
（2）先根据（1）中四边形是平行四边形得到，，结合菱形的性质以及勾股定理得出值，即可求出菱形的面积．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形∴，
∵∴∴四边形是平行四边形
∴
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形∴，
∵四边形是菱形∴，，
那么在中，设，
∵∴，则∴
所以菱形的面积
【点睛】此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形中，平分．
(1)求证：四边形是菱形．(2)过点作，交的延长线于点，若
①求菱形的面积．②求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)①，②
【分析】(1)根据平行线的性质可知角相等，再根据角相等即可求得边平行且相等，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求得结论；
(2) ①根据余角的性质可知角相等，再根据勾股定理求出，最后根据面积关系求出四边形的面积；②根据①的结果直角求出四边形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴平行四边形 是菱形．
（2）解：①∵菱形中，，∴，
∵，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴
② ∵，，，
∴四边形的周长：，
【点睛】本题考查菱形的判定性质，余角的性质，勾股定理，正确运用菱形判定和性质是解题的关键．
23．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．(1)当点M与点B重合时，求t的值．(2)当t为何值时，与全等？(3)请参照下面两幅图求出S与t的函数关系式；
【答案】(1)2(2)或4(3)
【分析】（1）根据直角三角形的性质求解即可；（2）分两种情况：①当时，②当时，由全等三角形的性质得出关于t的方程，解方程可得出答案；（3）分两种情况：①当时，②当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：如图1：当M与B重合时，
∵，∴，∵∴∴∴．
（2）解：①当时，∵,∴
∵，∴，∴,∴；
②当时，∵∴
∵，∴，∴，∴；
综上所述，t的值为或4．
（3）解：①时，如图2，
在中， ∴
∴；
②当时，如图3，
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，正确进行分类讨论是解题的关键．
24．（2023春·八年级课时练习）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）连接，延长交于H，证明，得到
，再证明，即可得到：，再由，
即可证明；
（2）连接，与交于点，证明，得到
，再证明，即可得到：，再由即
可证明；
（3）分两种情形：当点P在的延长线上时或点P在线段的延长线上时，连接交于点
O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及
等边三角形 的边长可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，
∵四边形是菱形，，
∴，都是等边三角形，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证是等边三角形，
∴，
∴，即
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，
∴，为等边三角形，
在和中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点H，
同理可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：如图3中，当点P在的延长线上时，连接交于点O，连接，作于F，
∵四边形是菱形，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴；
如图4中，当点P在的延长线上时，同法可得，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
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专题5-2 菱形
模块一：知识清单
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形：
1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD
2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分，
即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形
5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD，
菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等
2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分
4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·山东济南·九年级统考开学考试）关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等
2．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西西安·西北大学附中校考三模）如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C．8 D．10
4．（2023·天津河西·统考模拟预测）如图，菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东·一模）在菱形中，M是边的中点，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）观察下面的尺规作图痕迹，在平行四边形基础上能成功作出菱形的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
8．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在菱形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，菱形的边长为，，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，是菱形的对角线的交点，分别是的中点．给出下列结论：①四边形的面积大小等于；②四边形也是菱形；③；④；⑤其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）点E、F、G、H分别是平行四边形的边、、、的中点．若要使四边形是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①，②，③，④．（请填写正确的序号）
12．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为 ___________．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD＝60°，AD＝2，则OH＝_______．
14．（2023·山西晋中·统考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为_____．
15．（2023·山东泰安·统考一模）如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点D的坐标是_____．
16．（2023春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形．若，，则四边形的面积是_________．
17．（2023春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，已知点P是菱形的对角线延长线上一点，过点P分别作延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若，则的值为 _____．
18．（2023·江西·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E为的中点，F为线段上一动点，当为等腰三角形时，的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E．(1)求证：；(2)若，，求的周长．
20．（2023春·北京东城·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．
(1)求证；(2)连接，求证：四边形是菱形．
21．（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的垂线交的延长线于以E．
(1)证明：．(2)若，，求菱形的面积．
22．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形中，平分．
(1)求证：四边形是菱形．(2)过点作，交的延长线于点，若
①求菱形的面积．②求四边形的周长．
23．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．(1)当点M与点B重合时，求t的值．(2)当t为何值时，与全等？(3)请参照下面两幅图求出S与t的函数关系式；
24．（2023春·八年级课时练习）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
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