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专题5-3 正方形
模块一：知识清单
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形：
1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC
2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO
4）对称性：轴对称图形；中线对称图形
正方形是特殊的平行四边形、矩形、正方形，常见的判定思路为 ：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等，
2）判定方法2（从正方形出发）：正方形+1个90°角，或正方形+对角线相等，
3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直，
4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等，
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
B、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；
C、正确．∵四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴矩形为正方形，故不符合题意；
D、正确，∵，，∴，∴，
∴，∴矩形是正方形，故不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
2．（2023·河南周口·校联考一模）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角为直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【分析】根据正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故本选项说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说法正确，不符合题意；
C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说法正确，不符合题意；
D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误，符合题意；故选：D
【点睛】本题考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．
3．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）四边形 是正方形，E为上一点，连接，过B作于E，且，则正方形的周长为（ ）
A． B． C．24 D．6
【答案】C
【分析】先由30度角的性质得出和的关系，再由勾股定理求出的长，进而可求出．
【详解】∵∴．∵，∴．
∵，∴，∴（负值舍去），
∴正方形的周长为．故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
4．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，在正方形中，P为对角线上一动点，，，若要知道阴影部分的面积，则只需要知道下列哪个条件（ ）
A．PB的长 B．PD的长 C．矩形的面积 D．矩形对角线的长
【答案】D
【分析】连接，，推出和都是等腰直角三角形，得到，，阴影部分的面积，据此即可判断．
【详解】解：连接，，
∵四边形是正方形，P为对角线上一动点，∴，
∴和都是等腰直角三角形，∴，，
∴阴影部分的面积，
∴要知道阴影部分的面积，则只需要知道矩形对角线的长，故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．（2022·广东珠海·校考三模）如图，E是正方形内一点，于E，，则的面积是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】过点B作于G，证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】解：如图，过点B作于G，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
6．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边和上，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，得，在上取一点G，使，设，用x表示，再由正方形的边长列出x的方程求得x，便可求得结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在上取一点G，使，如图所示，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，在正方形中，点P在边上，于点E，于点F，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由正方形的性质易证明，可得，，然后根据线段关系EF．
【详解】解：∵为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质找到全等条件是解决本题的关键．
8．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是1，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】通过证明，把四边形的面积转化成的面积，利用是等腰直角三角形求出的长，即的长．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在与中，
．
．
．
．
．
．
在中，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，通过三角形全等把四边形的面积转化成的面积是解题的关键．
10．（2023·黑龙江绥化·校考一模）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接，的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，可知当、、在同一条直线上时，有最小值，即为，证明，继而证明，再证明，即可得到，再利用勾股定理解出，即可得到的最小值．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵平分，，∴，，∴，
∴当、、在同一条直线上时，有最小值，即为，
∵在正方形中，∴，，
∵在和中，，∴，∴，
又∵，∴，
∴，即，
又∵在和中，，∴，∴，
∵在正方形中，∴，∴为等腰直角三角形，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，解得，∴的最小值为，故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质及勾股定理，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．
10．（2023春·浙江八年级期中）如图，已知正方形的边长为6，点E是边的中点，将沿折叠得到，点F落在边上，连接，则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据证明两三角形即可判断①；根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，得，所以，即可判断②；根据折叠的性质和线段中点的定义可得，设，表示出、，根据点E是的中点求出，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可判断④；先求的面积，根据和等高，可知 ,，即可判断③．
【详解】解：由折叠得：，，，
四边形是正方形，，
，，
，，，故①正确；
点是边的中点，，，
，，
，
，，，故②正确；
设，则，点是边上的中点，，
在中，根据勾股定理得：，，
解得：，，，，故④正确，
，和等高，，
，故③错误．故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，在正方形中，P，Q分别为的中点，若，则大小为___________．
【答案】##70度
【分析】根据正方形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵P，Q分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
，
是正方形，为正方形的中心，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案是：4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键．
13．（2023春·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点、、、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是_________．
【答案】5
【分析】过作，交于点，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据正方形的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的面积公式，结合二次根式的性质计算即可．
【详解】解：过作，交于点，交于点，
，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
在中，
，
．
【点睛】本题考查了平行线之间距离、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
14．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，正方形中，点E是的中点，将正方形沿翻折，点B落在点F处，延长交于点P，若，则的长为_____．
【答案】2
【分析】连接，由正方形的性质和翻折性质可证明，可得，设，则，，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，
∴，，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的证明，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）如图，正方形的边长是4，点在上，点在上，，若．则的长为___________．
【答案】##
【分析】过点F作于H，由正方形的性质得到，，，推出四边形是矩形，得到，，设，则，求出，证明，得到，由此得到，求出，即可得到．
【详解】解：过点F作于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确理解正方形的性质作出辅助线是解题的关键．
16．（2023·甘肃白银·统考模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则正方形的边长为______．
【答案】
【分析】过点M作于点F，根据角平分线的性质可知，再由四边形为正方形，可得出，在直角三角形中用的正弦值即可求出的长度，结合边的关系即可得出结论．
【详解】解∶过点作于点，如图所示．
平分，四边形为正方形，
．
在中，，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是在直角三角形中求出FM的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．
17．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接DE，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接．若，则的值为____________．
【答案】
【分析】过点E作于点M，作于N，利用正方形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定可证得出，再证明，得出，则可证，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点E作于点M，作于N，
∵四边形为正方形，，
∴，平分，，，
∴，四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
又四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线，证明矩形是正方形是解题的关键．
18．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
【答案】 2 或
【分析】（1）由折叠得，根据平行线的性质得到，利用三角形内角和得到，进而推出，即可得到答案；
（2）若，则，根据勾股定理求出，设，直角中，根据勾股定理得，求出；若，根据勾股定理求出，设，在直角中，根据勾股定理得，求出．
【详解】（1）由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）如图1，若，则．
由折叠知．在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为﹔
如图2，若，则．
由折叠知．
在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟记正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·吉林长春·校考一模）【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度．
【答案】问题情境：，理由见解析；问题探究：45
【分析】问题情境：过点B作分别交于点G、F，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论；
问题探究：连接，过点Q作，分别交于点H、I，证出是等腰直角三角形，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
【详解】问题情境：
线段之间的数量关系为．
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，AB∥CD，
过点B作分别交于点G、F．
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
问题探究：
解：连接，过点Q作，分别交于点H、I，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即．
故答案为：45．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
20．（2022秋·广东惠州·九年级统考期中）如图，在正方形中，Р是对角线上的一个动点（不与点A．C重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接交于点E，延长线与边交于点F．
(1)连接，求证：；
(2)若正方形的边长为4，且，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形是正方形可得，，，由图形旋转可得，，，从而可证，故；
（2）如图所示，由四边形ABCD是正方形可得，，故是等腰直角三角形且，由勾股定理可得，，故．
【详解】（1）由题意得：，，
四边形是正方形，
，，
，
在与中，
，
，
；
（2）由（1）知：，，
在中，，
，
，
.
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质是解题的关键．
21．（2023·广东梅州·校考模拟预测）如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论；
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求得，从而求得 ，根据菱形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
∵
∴，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形，
，
，
，
∴，
菱形的面积．
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理，菱形的面积公式是解题的关键．
22．（2022·广东珠海·校考三模）如图，E是正方形的边上一点（E不与B、C重合），于G，F在的延长线上，且，连接、和．
(1)若连接，求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质证明和，可得结论；
（2）如图2，过点G作于N，交于M，证明是等腰直角三角形，得，根据证明，可得，可得是等腰直角三角形，再证明，则，最后由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）（1）证明：如图1，连接，
四边形是正方形，是对角线，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）（2）如图2，过点G作于N，交于M，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质和判定三角形全等，三角形内角和等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
23．（2023·河南郑州·统考一模）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是______；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是_________
(2)点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立 请说明理由．
②如图3，连接，若正方形的边长为1，直接写出的周长c的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①成立，理由见解析；②
【分析】（1）根据提示，利用正方形的性质和“”证明两个三角形全等；
（2）①仿照（1）中方法，在上取点P，使得，连接，证明即可得出结论；
②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，，根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质证得，则，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为，在中利用勾股定理求得得到的周长的最小值为；再讨论当点E于C重合时和当点E与点B重合时情况，即可得出的周长c的取值范围．
【详解】（1）解：猜想，理由：
如图1，取的中点P，连接．则
∵四边形是正方形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∵平分，
∴，
∴，即，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
故答案为：，；
（2）解：①猜想仍然成立．理由为：
如图2，在上取点P，使得，连接，
由（1）得，，，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，，
∵四边形是正方形，边长为1，
∴，，，，
∴，，
又∵，
∴，则垂直平分，
∴，
∴，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴的周长的最小值为；
当点E于C重合时，如图4，，
∴，
又，，
∴，则A、D、F共线，且，
∴，此时不存在，
当点E与点B重合时，点F与点C重合，的周长即为的周长，
综上，的周长c的取值范围为．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）问题情境：
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到 （点的对应点为点）．延长交于点，连接，
猜想证明：
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，若、请猜想线段与的数最关系并加以证明，解决问题；
(3)如图1，若的面积为72，，请直接写出的长．
【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）根据旋转性质得到，再由题意可得，即可得四边形是正方形；
（2）过点作于点， 可证明，则有，根据正方形的性质即可解决；
（3）作于，设，由求得AE，在中，由勾股定理得，由即可求出 ．
【详解】（1）解：四边形是正方形．
理由如下：
∵将绕点按顺时针方向旋转，
．
，
∴四边形是矩形．
，
∴四边形是正方形．
（2）解：；理由如下：
如图2，过点作于点，
，
．
∵四边形是正方形，
．
．
．
，
．
．
∵将绕点按顺时针方向旋转，
．
∵四边形是正方形，
．
．
（3）解：，理由如下：
作于，如图．
由（2）可知，，
由将绕点按顺时针方向旋转得可知，
,设，则
由得，解得，即
∵四边形是正方形，
在中，
∵四边形是正方形，
∴ ，
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明是关键．
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专题5-3 正方形
模块一：知识清单
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形：
1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC
2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO
4）对称性：轴对称图形；中线对称图形
正方形是特殊的平行四边形、矩形、正方形，常见的判定思路为 ：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等，
2）判定方法2（从正方形出发）：正方形+1个90°角，或正方形+对角线相等，
3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直，
4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等，
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南周口·校联考一模）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角为直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）四边形 是正方形，E为上一点，连接，过B作于E，且，则正方形的周长为（ ）
A． B． C．24 D．6
4．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，在正方形中，P为对角线上一动点，，，若要知道阴影部分的面积，则只需要知道下列哪个条件（ ）
A．PB的长 B．PD的长 C．矩形的面积 D．矩形对角线的长
5．（2022·广东珠海·校考三模）如图，E是正方形内一点，于E，，则的面积是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边和上，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）如图，在正方形中，点P在边上，于点E，于点F，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是1，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2023·黑龙江绥化·校考一模）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接，的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2023春·浙江八年级期中）如图，已知正方形的边长为6，点E是边的中点，将沿折叠得到，点F落在边上，连接，则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，在正方形中，P，Q分别为的中点，若，则大小为___________．
12．（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．
13．（2023春·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点、、、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是_________．
14．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，正方形中，点E是的中点，将正方形沿翻折，点B落在点F处，延长交于点P，若，则的长为_____．
15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）如图，正方形的边长是4，点在上，点在上，，若．则的长为___________．
16．（2023·甘肃白银·统考模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则正方形的边长为______．
17．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接DE，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接．若，则的值为____________．
18．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为___﹔（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·吉林长春·校考一模）【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度．
20．（2022秋·广东惠州·九年级统考期中）如图，在正方形中，Р是对角线上的一个动点（不与点A．C重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接交于点E，延长线与边交于点F．(1)连接，求证：；
(2)若正方形的边长为4，且，求线段的长．
21．（2023·广东梅州·校考模拟预测）如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．(1)求证：四边形为菱形．(2)若，，求四边形的面积．
22．（2022·广东珠海·校考三模）如图，E是正方形的边上一点（E不与B、C重合），于G，F在的延长线上，且，连接、和．
(1)若连接，求证：；(2)若，求的度数．
23．（2023·河南郑州·统考一模）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是______；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是_________
(2)点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立 请说明理由．
②如图3，连接，若正方形的边长为1，直接写出的周长c的取值范围．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）问题情境：
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到 （点的对应点为点）．延长交于点，连接，
猜想证明：
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，若、请猜想线段与的数最关系并加以证明，解决问题；
(3)如图1，若的面积为72，，请直接写出的长．
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