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专题5-4 特殊的平行四边形的最值、动态轨迹与图形变换
模块一：知识清单
1、以特殊平行四边形为背景的最值问题
以特殊的平行四边形为背景重点对最值模型（将军饮马模型、胡不归模型、瓜豆模型、费马点模型等）进行分析梳理，希望对大家以后处理最值问题有所帮助。
2、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题
1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形；
2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系；
3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。
3、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题
图形的折叠（翻折），意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。
4、以特殊四边形为背景的旋转问题
旋转是图形的一种重要变换，在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果。图形的旋转变换，既要借助推理，但更要借助直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更加敏锐。
模块二：考点精析
考点1：平行四边形中的最值模型
例1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．6
【答案】C
【分析】连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的长度，即可解决问题．
【详解】解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，∴DE＝AD＝BC＝3，AE＝A'E＝3，∴Rt△DEM中，EM＝，DM＝，
∵CD＝6∴CM＝，∴Rt△CEM中，CE＝，
∵A'E+A'C≥CE，∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3﹣3，故选：C．
【点拨】此题考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行四边形的性质．
变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可．
【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN，
∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，
∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：．
【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
例2．（2022·浙江八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，经过点，，，
，，，，
四边形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
例3．（2022·浙江·九年级专题练习）如图， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
考点2：矩形中的最值问题
例1．（2022 鄂州八年级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ．
【点睛】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB＝10、GG′＝AD＝5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．
【详解】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，
∴E′G=5，∴C四边形EFGH＝2E′G＝10．故答案为：10．
变式1．（2022 沙坪坝区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是 ．
【点睛】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E＝PE+PD的最小值，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，
则D′E＝PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝4，∠DAC＝30°，
∵DD′⊥AC，∴∠CDD′＝30°，∴∠ADD′＝60°，∴DD′＝4，∴D′E＝6，故答案为：6．
例2．（2022·江苏·仪征市第三中学八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
【答案】
【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，PB有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，∴AH//CE，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，∴PH//EC，∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝，
∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
例3．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．
【答案】12；10；.
【解析】解：①过点P作PE⊥AD于E，∴PE⊥AD
∵ABCD是长方形∴PE=AB=4 ∴△PAD面积为12
②作点D关于BC对称点D’，连接AD’交BC于P，此时PA+PD长度最小，最小值为AD’的长，
由勾股定理得：AD’=10 即PA+PD的最小值是10；
③过点C做直线CE，使CE与BC的夹角成30°，过点P作CE的垂线，垂足为E，则PE=PC
∴PA+PC的最小值为PA+PE的最小值，
当P、A、E共线时，PA+PE最小，由勾股定理得：BP=，AP=
∴PE=∴AE=AP+PE= 即PA+PC的最小值为.
例4．（2022山东·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF ∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
考点3：菱形中的最值问题
例1.（2022·江苏无锡期中）如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=
在Rt△BHC中，BH=CH=3 ，∴HG=HC-GC=3-2=1，∴Rt△BHG中，BG= ，
当点F与点B重合时，PE+PF最小，最小值=PG+PB=BG，∴PE+PF的最小值为．故答案为：D．
例2．（2022 武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
【点睛】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO＝5，
故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝5-5．故答案为：5-5．
变式1．（2022八下·苏州期末）如图，菱形ABCD的边长为 ，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O.点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 .
【答案】3
【分析】连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，证出△DCF≌△BCE，得出DF=BE，在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB= ，得出BH=3，从而得出当E与H重合时，BE最小值是3，即可求出DF的最小值.
【解析】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°.
∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF由旋转可得：EC=FC，
在△BEC和△DFC中， ，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值.∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB= ，
∴BH= =3，当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3.故答案为：3.
例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
【答案】
【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．
【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．
例4．（2022·河北·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
考点4：正方形中的最值问
例1．（2022 永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【点睛】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．故答案为：2．
变式1．（2022·无锡市南长实验中学初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.
【答案】
【分析】连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到CF+FG的最小值等于2，再根据EF=，即可得到△CEF周长的最小值．
【解析】解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，
则AE=FG，EF=AG=，∠GAD=∠ADF=45°=∠DAC，∴∠GAC=90°，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴CE=AE=GF，∴CE+CF=GF+CF，
∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长，
此时，Rt△ACG中，，∴CF+FG的最小值等于2，
又∵EF=，∴△CEF周长的最小值为+2，故答案为：+2．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例2．（2022 洛阳三模）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4-2 D．22
【点睛】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OPCB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．
【详解】解：在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，
∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°
如图，取BC的中点O，连接OP、OA，则OPBC＝2，在Rt△AOB中，OA=，根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，
AP的最小值＝OA﹣OP＝22．故选：D．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．
【答案】
【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值；作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC＝1故答案为．
例3．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【答案】5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
例4．（2022·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，∴y＝（4 x）2＋x2＝2x2 8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x 2）2＋8，
∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图 旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
考点5：以特殊四边形为背景的动态轨迹问题
例1．（2022·浙江义乌初三期末）如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.
【答案】
【分析】连接，根据题意先证出，然后得出，所以点运动的路径长度即为点从到的运动路径，继而得出结论
【解析】连接，∵，是等腰直角三角形，∴,∠ABC=90°
∵四边形是正方形∴BD=BF，∠DBF=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBF,
在△DAP与△BAP中∴， ∴，
点运动的路径长度即为点从到的运动路径,为.故答案为：
【点睛】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
变式1．（2022·浙江江北·八年级期末）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】已知EF⊥AE，当E点在线段BC上运动到两端时，正好是M点运动的两个端点，由此可以判断M点的运动轨迹是BC、CD中点的连线长.
【详解】解：取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BD ∴GH为△BCD的中位线，即
∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，∴EF⊥AE，
当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，
∴点M经过的路径长为GH的长，
∵正方形ABCD的边长为4，∴∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和中位线定理，解题的关键在于找到M点的运动轨迹.
例2．（2022·江苏海门·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】B
【分析】当E与A点重合时和E与C重合时，根据F的位置，可知F的运动路径是FF'的长；证明四边形FDAF'是平行四边形，即可求解．
【详解】解：当E与A点重合时，点F位于点F'处，当E与C点重合时，点F位于点F处，如图，
∴F的运动路径是线段FF'的长；∵AB=4，∠CAB=60°，∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB=8，AD=BC==4，
当E与A点重合时，在Rt△ADF'中，AD=4，∠DAF'=60°，∠ADF'=30°，AF'=AD=2，∠AF'D=90°，
当E与C重合时，∠DCF=60°，∠CDF=30°，CD=AB=4，∴∠FDF'=90°，∠DF'F=30°，CF=CD=2，
∴∠FDF'=∠AF'D=90°，DF=2，∴DF∥AF'，DF=AF'2，
∴四边形FDAF'是平行四边形，∴FF'= AD=4，故选：B．
【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据F点的运动情况，分析出F点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．
变式2．（2022·河南·郑州外国语中学三模）在矩形中，，，点在线段上，连接，过点作交线段于点．以和为邻边作平行四边形，当点从运动到时，点运动的路径长为______．
【答案】
【分析】确定点运动的路径为一条直线，当点在时，点与点重合，当点在时，求得点的位置，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可得点、的运动轨迹为线段，为定点
在平行四边形中，，可以得到运动的路径也为一条线段
由题意可得，当点在时，点与点重合
当点在时，与重合，如下图：
则线段就是点运动的路径，在平行四边形中，，，
在矩形中，，∴，即
又，，∴
∵∴∴
又∵∴∴
∴，∴故答案为
【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质确定点运动的轨迹．
例3．（2022·四川·乐山九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_____．
【答案】π
【分析】取BC的中点O，连接AC，BD交于点M，连接OM，由菱形的性质可证明，点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM，最后根据弧长公式解题．
【详解】解：如图，取BC的中点O，连接AC，BD交于点M，连接OM，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，AM＝CM，
当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，
∵∠CFB＝90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM，
∵点O是BC中点，AM＝CM，∴BO＝OM＝1，OM//AB，∴∠BOM＝120°，
∴，故答案为：π．
【点睛】本题考查菱形的性质，圆周角定理、弧长公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点6：平行四边形中的折叠（翻折）问题
例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AE B′≌Rt△CDE∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中， ∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1∴=故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴△GEF是等边三角形，∴EF＝FG＝GE＝6，
∴△GEF的周长为6×3＝18，故选：C．
【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．
变式2．（2022.广东八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．
【答案】
【分析】过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．
【详解】解：过E作EH⊥AD于H，∵AB＝4，E为AB的中点，∴AE＝EB＝2，
∵∠A＝45°，EH⊥AH，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，∴AH＝，
∵点A′在∠BAD外部，则由题意知△FQE为等腰三角形，∴∠FEB＝∠FQE，
设∠AFE＝a，∵△EFA'为△EFA根据EF对折，∴∠AFE＝∠A'FE＝a，∴∠BEF＝，
又∵∠BEF为△AEF的外角，∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，∴＝45°+a，∴a＝30°，
在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，∴EF＝，∴，
又∵BC＝AD＝2，∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
例2．（2022.重庆八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
由折叠的性质得：，，，
，
．故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
变式3．（2022.江苏八年级期中）如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________．
①；②；③；④
【答案】②④
【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解．
【详解】解：∵将平行四边形纸片折叠，使点与点重合
∴根据翻折的性质可知，
∴，，
∴在和中，
∴，∴∴（故②正确）
∴（故③错误）
∵四边形是平行四边形∴，∴
∵，∴
∴（故④正确）
∵折痕与对角线没有重合，∴对角线和不垂直
∴不是菱形∴∴∴（故①错误）．故答案是：②④
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
考点7：矩形中的折叠（翻折）问题
例1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；
（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可
【详解】（1）四边形是矩形
因为折叠，则是等腰三角形
（2）四边形是矩形,
设，则因为折叠，则，,
在中即解得：
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
变式1．（2022·江苏江阴初三期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．
【答案】
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，再根据勾股定理求出CF的长度，进而即可求出S△ECF．
【解析】如图，连接BF，
，
∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=，
由折叠可知：BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=，∴BF=，
∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：CF=，
S△ECF=S△BCF=×××=，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，掌握知识点是解题关键．
变式2．（2022·浙江八年级月考）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上.当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm.
【答案】；
【分析】利用矩形的性质可证得AB∥CD，利用平行线的性质可证得∠1=∠3，可推出∠2=∠3，利用等角对等边可得到MB′＝NB′=BM，利用勾股定理求出NB′的长，即可得到BM的长；当点M和点A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出DE的长；如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，可求出DE′的长，如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，可求出DB′（即DE″）的长，由此可得到点E的运动轨迹E→E′→E″，根据运动路径＝EE′+E′B′，代入计算可求出路径长.
【解析】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，
由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，
∵NB′＝ ＝ ＝ （cm），∴BM＝NB′＝ （cm）.
如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝ ，∴DE＝4﹣ ＝ （cm），
如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），
如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1﹣ ＝（4﹣ ）（cm），
∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣ +2﹣（4﹣ ）＝（ ）（cm）.
故答案为 ，（ ）.
例2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形纸片沿折叠，∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，
∵是△EFG的外角，∴=∠GEF+∠EFG=128 故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．
变式3．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当____时，是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到．
【详解】解：当时，设，则，
∵沿翻折得，∴，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，解得：；
当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H，
∵AH⊥，，∴，
∵，∴，
∵沿翻折得，∴，∴，
在△ABE和△AHE中，∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，∴，∴∵，∴，∴，
综上所述，，故答案为：
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
考点8：菱形中的折叠（翻折）问题
例1．（2022·浙江婺城初三期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝_____．
【答案】
【分析】过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．
【解析】解：过点E作EH⊥AD于H，
∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，
∵E是CD中点，∴DE＝2，
在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE＝，
∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，
在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
例1．（2022·广东·松岗九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A． B． C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，
设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，
解得，x＝，∴BE＝，故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
变式2．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．
【答案】
【分析】由题意易得，，则有，进而根据折叠的性质可得，，然后根据三角形内角和可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，∴，
∵，∴，是等边三角形，即，
∵，∴，由折叠的性质可得，，，
在中，由三角形内角和可得，∴，即，
∴是等腰直角三角形，∴；故答案为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
例2．（2022·广东宝安·一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．
【答案】15°
【分析】由菱形的性质可得，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得垂直平分，，由折叠的性质可得，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是菱形，，，是等边三角形，
，垂直平分，，，，
将沿着折叠得到，，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．
变式3．（2022·重庆市九年级阶段练习）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________．
【答案】75°
【分析】连接，先证明为等边三角形，然后根据三线合一定理得到即可得到，则，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，∵四边形为菱形，∴AD=AB，，AB∥CD，
∴，∴∵，∴为等边三角形，
∵为的中点，∴为的平分线，即，∴，
由折叠的性质得到，在中，．故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
考点9：正方形中的折叠（翻折）问题
例1．（2022·重庆涪陵初三期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝．
【解析】解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝×BE×CH＝×BC×CE，∴CH＝，∴EH=，
∵CE＝DE，FH＝CH，∴DF＝2EH＝，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
变式1．（2022·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
【答案】D
【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
例2．（2022·河南·郑州九年级期末）如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为_____________．
【答案】1或
【分析】分EF经过正方形ABCD另三边三种情况求解即可
【详解】解：①EF经过CD边中点O时，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，，
∵点O是CD边中点，点E是BC边中点，∴．
∵CE=CO=1，∴，由折叠得，
∴．∴，
作FG⊥AB于G，作EH⊥FG于H，如图，设FH=x，则BG=EH=FH=x，
∵，∴PG＝FG=x+1，∴BP=2x+1，由勾股定理得，
由折叠得PB=PF，∴，解得．∴，∴点P在AB外，不符合题意；
②EF经过AD边中点，如图，此时，，∴BP=BE=1；
③EF经过AB中点，如图，∵B=BE，∴．
由折叠得，设PF=x，则，∴，∴x=，即BP=，
综上，BP的长为1或，故答案为：1或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
变式2．（2022·河南罗山初三期末）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为________．
【答案】4或16
【分析】分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
【解析】解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，∴DF＝D′F＝CD CF＝10，∴CD′＝＝6，∴BD'＝BC CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18 x，在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋122，
∴182＋x2＝（18 x）2＋122，解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，∴DF＝D′F＝CD CF＝10，CD'＝＝6，∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18 x，在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋242，∴182＋x2＝（18 x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；综上所述，线段AE的长为4或16；故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
考点10：平行四边形中的旋转问题
例1．（2022·浙江·九年级期末）如图，在中，，，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用勾股定理求得，进而求得，通过角度的计算可得，从而可求得，根据即可求得
【详解】过点作于点，
四边形是平行四边形，,
故选C
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟悉几何图形的性质是解题的关键．
变式1．（2022·八年级课时练习）如图， ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（ ）
A．155° B．170° C．105° D．145°
【答案】C
【详解】试题分析:先根据旋转的性质得到AB=AB′，∠BAB′=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB′B=75°，然后根据平行四边形的性质得
AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．
解：∵ ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′′，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）=75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣75°=105°．故选C．
考点：旋转的性质；平行四边形的性质．
例2．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG－DG的最大值为________．
【答案】1
【分析】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN， 可证明△AEN是等边三角形，∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°，进而推出∠GNB=60°，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM．
【详解】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN，
由旋转的性质可知EF=EG，∠FEG=60°，∵AE=2DE，AD=3∴AE=2，DE=1，
∵AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，
过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，∴∠BKN=90°，
∵∠BNK=60°，∴∠NBK=30°，∵AB=5，AN=AE=2，∴BN=3，∴，
∵∠BNK=∠A=60°，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴四边形ANTD是平行四边形，∠M=∠KBN，∴NT=AD=3，DT=AN=2，
∴，∴NK=TK，又∵∠MKT=∠BKN，∴△MKT≌△BKN（AAS），
∴MK=BK，MT=BN=3，∴MD=1，NT垂直平分BM，∴BG=MG，∵MG-DG≤MD，∴BG-DG≤MD，
∴当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM，
∴MG-DG的最大值为1，故答案为1．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键．
变式2．（2022·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
【答案】①②③
【分析】利用平行四边形的判定方法可判断①；证明△AEC△BEC，得到AC= BC，利用垂直平分线的判定定理可判断②；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算可判断③；利用反证法可判断④．
【详解】解：由题意得：AB=CD，∠BAE=∠ABE=45°，∠DEC=60°，∠EDC=30°，
过E作EF∥AB交AD于F，则∠FEA=∠BAE=45°，
∴∠FED=75°-∠FEA=30°，∴∠FED=∠EDC=30°，∴EF∥CD，∴AB∥CD，
又AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选项①正确；
∵∠AEC=∠AED+∠DEC =135°，∠BEC=360°-∠AEB-∠AEC=135°，
△AEB是等腰直角三角形，则EB= AE，且EC= EC，∴△AEC△BEC，∴AC= BC，
又EB= AE，∴CE垂直平分AB；故选项②正确；
延长CE交AB于G，则AG=BG=AB，CG⊥AB，
∵AB2=6，∴AB=CD=，AG=BG=EG =AB=，
在Rt△ECD中，∠EDC=30°，CD=，则ED=2EC，
由勾股定理得,即，解得EC=，
在Rt△BCG中，,即，故选项③正确；
若DE⊥AC，则∠ECA=90°-∠DEC=30°，∵△AEC△BEC，∴∠ACB=2∠ECA=60°，AC= BC，
∴△ACB是等边三角形，而AB不一定与BC相等，所以DE⊥AC，不一定成立，故选项④不正确；
综上，正确的有①②③．故答案为：①②③．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考点11：菱形中的旋转问题
例1．（2022·山东宁津初三一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1+ B．2+ C．3 D．3–
【答案】D
【分析】根据菱形的性质可得AD'=AD=2，A，D'，C三点共线，S阴影部分=S△ABC-S△D'EC，可得S阴影部分．
【解析】解：如图，连接AC，BD相交于O，BC与C'D'于E点．
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60° ∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO=CO，B0=DO
∵AB=2 ∴DO=1，AO=DO=，∴AC=2，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′
∴∠D'AB=30°，AD=AD'=2 ∴A，D'，C三点共线 ∴CD'=CA-AD'=2-2
又∵∠ACB=30°∴D'E=-1，CE=D'E=3-，
∵S阴影部分=S△ABC-S△D'EC∴S阴影部分=×2×1-×（-1）×（3-）=3-.故选D.
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题.
变式1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是___________．
【答案】或##或
【分析】分当D落在x轴正半轴时和当D落在x轴负半轴时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D落在x轴正半轴时，
∵O是菱形ABCD对角线BD的中点，∴AO⊥DO，∴当D落在x轴正半轴时，A点在y轴正半轴，
∴同理可得A、B、C三点均在坐标轴上，且点C在y轴负半轴，∵∠BAD=60°，∴∠OAD=30°，
∴，∴，∴点C的坐标为（0，）；
如图2所示，当D落在x轴负半轴时，同理可得，
∴点C的坐标为（0，）；∴综上所述，点C的坐标为（0，）或（0，），
故答案为：（0，）或（0，）．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
例2．（2022·湖北江岸·八年级期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CF=，（1）中的结论不变．理由见解析．
【分析】（1）延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得
FN=NC=即CF=2FN=；（2）过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可．
【详解】（1）如图１，延长EF交CD于M点，
∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF
∴四边形GFMD是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，
过点M作MN⊥CF，垂足为N，∴MN=,根据勾股定理，得FN=，
∵MC=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=；
（2）如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，
∴△AGD≌△DNC(SAS）∴AG=NC ∠DNC=∠AGD∴△DGN为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG，
∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN
∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG ∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN-∠DNG,
∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF ，
∴四边形GFNC为平行四边形∴CF=GN，则GN=，∴CF=，结论（1）不变．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键．
变式2．（2022·广西·八年级专题练习）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是 ；（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）AE＝AF；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF；（2）由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，可证△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，可得AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△BAE≌△CAF，可得AE＝AF．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，故答案为：AE＝AF；
（2）仍然成立，理由如下：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，
∵∠MAN＝60°＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴AE＝AF．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定，掌握菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等判定方法是解题关键．
考点12：矩形中的旋转问题
例1．（2022·山西·九年级期末）如图，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90*得矩形AEFG，连接CF，交AD于点P，M是CF的中点，连接AM，交EF于点Q．则下列结论：
①AM⊥CF；②△CDP≌△AEQ ；③连接PQ，则PQ=MQ；④若AB=2，BC=6，则MQ=其中，正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】连接AF，AC，PQ，延长FE交BC于N，取FN中点H，连接MH，由旋转的性质可得AE=AB=CD=FG，AD=EF，AF=AC，∠FAC=90°，即可得到① 正确；证明△AQE≌△MQH可以判断② ；由全等三角形的性质可得到CP=AQ，由等腰直角三角形的性质可以得到PQ=MQ，即③正确；由三角形中位线定理可得MH=CN=2=AE，HN=FN=×（6+2）=4，MH∥BC，从而可证△AQE≌△MQH，再利用勾股定理即可判断④.
【详解】解：如图，连接AF，AC，PQ，延长FE交BC于N，取FN中点H，连接MH，
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AEFG，
∴AE=AB=CD=FG，AD=EF，AF=AC，∠FAC=90°，∠∠D=∠AEQ=90°，
∵M是CF的中点， ∴AM=MC=MF，AM⊥CF，即①正确；
②∵∠DPC=∠APM，∠DPC+∠DCP=90°，∠APM+∠MAP=90°， ∴∠DCP=∠MAP，
∵AE=CD，∠D=∠AEQ=90°，在△CDP和△AEQ中，，
∴△CDP≌△AEQ（ASA），即②正确； ∴CP=AQ， ∴MC-CP=AM-AQ，
∴MP=MQ，∴PQ=MQ，即③正确；
∵∠B=∠DAB=∠AEN=90°， ∴四边形ABNE是矩形， ∴AE=BN=2，EN=AB=2， ∴CN=4，
∵M为CF的中点，H为FN的中点， ∴MH=CN=2=AE，HN=FN=×（6+2）=4，MH∥BC，
∴HE=2，∠MHQ=90°，∴∠MHQ=∠AEQ=90°，
在△AQE和△MQH中，， ∴△AQE≌△MQH（AAS）， ∴HQ=QE=HE=1，
∴MQ=== ， 即④正确 .故选D.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针方向旋转后得到矩形，若边交线段于，且，则的值是______．
【答案】
【分析】设DH的值是x，那么CH=，BH=x，在Rt△BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程，解方程就可以求出DH．
【详解】解：设DH的值是x， ∵AB=8，AD=6，且BH=DH，
在Rt△BCH中，， ， 即．故答案为：
【点睛】此题主要考查矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是利用勾股定理列出关于所求线段的方程．
例2．（2022 浉河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣3，0），C（0，）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ．
【点睛】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证△AOB≌△HB1O，得到B1H＝OA＝3，OH＝AB=，得到答案．
【详解】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，如图所示：
由题意得，OA＝3，AB＝OC=，则tan∠BOA，∴∠BOA＝30°，∴∠OBA＝60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，∴∠B1OH＝60°，
在△AOB和△HB1O中，，∴△AOB≌△HB1O（AAS），
∴B1H＝OA＝3，OH＝AB=，∴点B1的坐标为（-，3），故答案为：（-，3）．
变式2．（2022·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图1，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此时边OA'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q．
(1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标．
(2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积．
(3)如图2，连接AQ，以AQ为斜边向上作等腰直角△AQM，请直接写出在旋转过程中CM的最小值．
【答案】(1)P（﹣4，6） (2)S△POQ＝(3)4
【分析】（1）如图1中，过点P作PH⊥OA于H．证明PA=PO，利用等腰三角形的性质以及矩形的性质，求出OH，PH即可．（2）如图-1中，延长交x轴于J．设PB=PQ=x．想办法证明OP=PQ，在Rt△POC中，利用勾股定理构建方程求解即可．（3）如图2中，过点M作MF⊥BC于F，ME⊥AB交AB的延长线于E．想办法证明∠MBC=45°，推出点M的运动轨迹是直线BM，根据垂线段最短解决问题即可．
（1）如图1中，过点P作PH⊥OA于H．
∵A（﹣8，0），C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵∠PAO＝∠POA，∴PA＝PO，
∵PH⊥OA，∴AH＝OH＝4，∵PH＝OC＝6，∴P（﹣4，6）．
（2）如图1﹣1中，延长交x轴于J．设PB＝PQ＝x．
∵PQOJ，QJOP，∴四边形OPQJ是平行四边形，∴PQ＝OJ，
∵∠CPO＝∠AOP＝∠OJQ，∠PCO＝∠OJ＝90°，OC＝O，
∴△OCP≌△OJ（AAS），∴OP＝OJ＝PQ＝x，
在Rt△POC中，∵，∴，∴x＝，
∴S△POQ＝ PQ OC＝××6＝．
（3）如图2中，过点M作MF⊥BC于F，ME⊥AB交AB的延长线于E．
∵∠MFB＝∠MEB＝∠EBF＝90°，∴四边形MEBF是矩形，∴∠EMF＝∠AMQ＝90°，∴∠EMA＝∠QMF，
∵∠E＝∠MFQ＝90°，MA＝MQ，∴△AEM≌△QFM（AAS），
∴ME＝MF，∴四边形BEMF是正方形，∴∠MBF＝45°，∴点M的运动轨迹是直线BM，
∴当CM⊥BM时，CM的值最小，此时是等腰直角三角形，＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
考点13：正方形中的旋转问题
例1．（2022 渠县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE＝1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．6
【点睛】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，根据旋转的性质得到AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．求得∠GAB＝∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG＝BE，根据正方形的性质得到BC＝CD＝AB＝4．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接BE，
∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，∴AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．∴∠GAB＝∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF＝∠BAF+∠EAF．∴∠GAF＝∠EAB．∴△GAF≌△EAB（SAS）．∴FG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．
∵DE＝1，∴CE＝3．∴在Rt△BCE中，BE==5，∴FG＝5，故选：C．
变式1．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，正方形的边长为2cm，正方形的边长为1cm，若正方形绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为 _____．
【答案】##厘米
【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．
【详解】解：当点F在正方形的对角线上时，可知，
当点F不在正方形的对角线上时，由三角形三边关系可知，
∴当点F在正方形的对角线上时，点F到点A距离最小值，
∵正方形的边长为2cm，正方形的边长为1cm，
∴cm，cm，∴cm；故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及三角形的三边关系．熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．
例2．（2022·安徽芜湖·九年级期末）如图1，点为正方形内一点，，现将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点．
（1）如图1，求证：四边形是正方形；（2）连接．①如图2，若，求证：为的中点；②如图3，若，，试求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）由旋转性质知，，由，可证四边形是矩形．由，可证四边形是正方形；（2）如图，过点作，垂足为．由，得．可证．可得，由旋转性质知，即可；
（3）设正方形的边长为．在中，，，，由勾股定理可求，由，可求，．在中，得．
【详解】（1）证明：由旋转性质知，，
又延长与于点，．
∵绕点按顺时针方向旋转，，四边形是矩形．
又∵，四边形是正方形．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．由，得．
，．
又，，．，
由旋转性质知，，故，即．
（3）解：设正方形的边长为．
在中，，，，
，解得（舍去）．
如图，过点作，垂足为，同（2）知，，．
，．
在中，得．
【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．
变式2．（2022·广东·深圳市八年级期末）边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；
（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．
【答案】（1）见解析；（2）48；（3）
【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接，设交于点，交于点，先证明，由勾股定理可得；（3）作于点，则，且，由含30度角的直角三角形的性质求解．
【详解】（1）四边形与为正方形，，，
，，，
在和中， (SAS)，
（2）连接，设交于点，交于点，
，，，
在△和中，，，，
，
由勾股定理得，，，
，，，，
(3)作于点，如图，△为等腰直角三角形，，且，
在中，，，，
．．
【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．
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专题5-4 特殊的平行四边形的最值、动态轨迹与图形变换
模块一：知识清单
1、以特殊平行四边形为背景的最值问题
以特殊的平行四边形为背景重点对最值模型（将军饮马模型、胡不归模型、瓜豆模型、费马点模型等）进行分析梳理，希望对大家以后处理最值问题有所帮助。
2、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题
1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形；
2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系；
3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。
3、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题
图形的折叠（翻折），意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。
4、以特殊四边形为背景的旋转问题
旋转是图形的一种重要变换，在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果。图形的旋转变换，既要借助推理，但更要借助直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更加敏锐。
模块二：考点精析
考点1：平行四边形中的最值模型
例1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．6
变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例2．（2022·浙江八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
例3．（2022·浙江·九年级专题练习）如图， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
考点2：矩形中的最值问题
例1．（2022 鄂州八年级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ．
变式1．（2022 沙坪坝区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是 ．
例2．（2022·江苏·仪征市第三中学八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
例3．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．
例4．（2022山东·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
考点3：菱形中的最值问题
例1.（2022·江苏无锡期中）如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022 武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
变式1．（2022八下·苏州期末）如图，菱形ABCD的边长为 ，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O.点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 .
例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
例4．（2022·河北·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
考点4：正方形中的最值问
例1．（2022 永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
变式1．（2022·无锡市南长实验中学初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.
例2．（2022 洛阳三模）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4-2 D．22
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．
例3．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
例4．（2022·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
考点5：以特殊四边形为背景的动态轨迹问题
例1．（2022·浙江义乌初三期末）如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.
变式1．（2022·浙江江北·八年级期末）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（ ）
A．2 B． C． D．4
例2．（2022·江苏海门·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
变式2．（2022·河南·郑州外国语中学三模）在矩形中，，，点在线段上，连接，过点作交线段于点．以和为邻边作平行四边形，当点从运动到时，点运动的路径长为______．
例3．（2022·四川·乐山九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_____．
考点6：平行四边形中的折叠（翻折）问题
例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
变式2．（2022.广东八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．
例2．（2022.重庆八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
变式3．（2022.江苏八年级期中）如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________．
①；②；③；④
考点7：矩形中的折叠（翻折）问题
例1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．
变式1．（2022·江苏江阴初三期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．
变式2．（2022·浙江八年级月考）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上.当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm.
例2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当____时，是以为腰的等腰三角形．
考点8：菱形中的折叠（翻折）问题
例1．（2022·浙江婺城初三期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝_____．
例1．（2022·广东·松岗九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A． B． C．3 D．3.5
变式2．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．
例2．（2022·广东宝安·一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．
变式3．（2022·重庆市九年级阶段练习）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________．
考点9：正方形中的折叠（翻折）问题
例1．（2022·重庆涪陵初三期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
例2．（2022·河南·郑州九年级期末）如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为_____________．
变式2．（2022·河南罗山初三期末）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为________．
考点10：平行四边形中的旋转问题
例1．（2022·浙江·九年级期末）如图，在中，，，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
变式1．（2022·八年级课时练习）如图， ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（ ）
A．155° B．170° C．105° D．145°
例2．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG－DG的最大值为________．
变式2．（2022·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
考点11：菱形中的旋转问题
例1．（2022·山东宁津初三一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1+ B．2+ C．3 D．3–
变式1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是___________．
例2．（2022·湖北江岸·八年级期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．
变式2．（2022·广西·八年级专题练习）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是 ；（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
考点12：矩形中的旋转问题
例1．（2022·山西·九年级期末）如图，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90*得矩形AEFG，连接CF，交AD于点P，M是CF的中点，连接AM，交EF于点Q．则下列结论：
①AM⊥CF；②△CDP≌△AEQ ；③连接PQ，则PQ=MQ；④若AB=2，BC=6，则MQ=其中，正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针方向旋转后得到矩形，若边交线段于，且，则的值是______．
例2．（2022 浉河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣3，0），C（0，）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ．
变式2．（2022·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图1，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此时边OA'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q．
(1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标．
(2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积．
(3)如图2，连接AQ，以AQ为斜边向上作等腰直角△AQM，请直接写出在旋转过程中CM的最小值．
考点13：正方形中的旋转问题
例1．（2022 渠县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE＝1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．6
变式1．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，正方形的边长为2cm，正方形的边长为1cm，若正方形绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为 _____．
例2．（2022·安徽芜湖·九年级期末）如图1，点为正方形内一点，，现将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点．
（1）如图1，求证：四边形是正方形；（2）连接．①如图2，若，求证：为的中点；②如图3，若，，试求的长．
变式2．（2022·广东·深圳市八年级期末）边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；
（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．
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