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第1章 二次根式【单元测试培优卷】
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简的结果是（ ）
A．4 B．2 C．±2 D．2
2．要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝±3 C．＝0.2 D．＝﹣3
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）
A．﹣2b﹣a B．2b﹣a C．﹣b D．﹣a
6．若实数x，y满足，则x﹣y的值是（ ）
A．1 B．﹣6 C．4 D．6
7．若1≤x≤4，化简的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．×＝4 D．
9．设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如果f（x）=并且f（）表示当x=时的值，即f（）==，表示当x=时的值，即f（）==．
那么f（）+f（）+f（）+f（）+f（的值是（ ）
A．n- B．n- C．n- D．n+
二．填空题（共6小题）
11．当a=－1时，二次根式的值为________．
12．计算：=________．
13．式子＝4﹣x成立的x的取值范围是 ．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣＝ ．
15．若a＝1+，b＝1﹣，则代数式a2﹣ab+b2的值为 ．
15．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
+＝﹣，则x3+y3+z3﹣3xyz的值为 ．
16．化简题中，有四个同学的解法如下：
①
②
③
④
他们的解法，正确的是___________．(填序号)
三．解答题（共7小题）
17．计算
（1）2﹣+2；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
18．时，化简代数式．
19．已知x＝2，求代数式（7+4）x2+（2）x﹣1的值
20．（1）若m﹣2，求nm的值；
（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
①用“＜”或“＞”填空：a+c 0，b﹣c 0；
②化简：|a+c|．
21．阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知，求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴ ，∴，
∴．
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．
22．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
23．（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
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第1章 二次根式【单元测试培优卷】
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简的结果是（ ）
A．4 B．2 C．±2 D．2
【分析】直接根据算术平方根的概念计算即可．
【解答】解：＝2．
故选：D．
【点评】此题考查的是算术平方根，掌握其概念是解决此题的关键．
2．要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，a+2≥0，a≠0，
解得，a≥﹣2且 a≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．掌握二次根式被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝±3 C．＝0.2 D．＝﹣3
【分析】根据算术平方根，平方根的定义，二次根式的性质分别计算即可．
【解答】解：A选项，＝2，故该选项正确，符合题意；
B选项，＝3，故该选项错误，不符合题意；
C选项，≠0.2，故该选项错误，不符合题意；
D选项，＝3，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根的定义，二次根式的性质，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式可得答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式；
B、＝与不是同类二次根式；
C、＝与不是同类二次根式；
D、＝2与是同类二次根式；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．
5．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）
A．﹣2b﹣a B．2b﹣a C．﹣b D．﹣a
【分析】根据|a|和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵b＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝|b|﹣|a﹣b|
＝﹣b﹣a+b
＝﹣a．
故选：D．
6．若实数x，y满足，则x﹣y的值是（ ）
A．1 B．﹣6 C．4 D．6
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出x，代入关系式中求出y，从而得到x﹣y的值．
【解答】解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x≥5，x≤5，
∴x＝5，
∴y＝﹣1，
∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
7．若1≤x≤4，化简的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
【答案】B
【分析】由1≤x≤4，根据去绝对值符号法则及完全平方公式，即可解答．
【详解】解：，
，，
故选：B．
【点睛】本题考查了去绝对值符号法则及完全平方公式，熟练掌握和运用去绝对值符号法则是解决本题的关键．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．×＝4 D．
【答案】C
【分析】根据二次根式加减法、乘除法运算法则判断即可．
【详解】解：A、，故错误，此选项不符合题意；
B、，故错误，此选项不符合题意；
C、，故正确，此选项符合题意；
D、，故错误，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．
9．设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】估算无理数的大小，确定m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．
【详解】解：∵1＜＜2，
∴的整数部分为m=1，小数部分为n=-1，
∴（2m+n）（2m﹣n）
=
=
=
=，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
10．如果f（x）=并且f（）表示当x=时的值，即f（）==，表示当x=时的值，即f（）==．
那么f（）+f（）+f（）+f（）+f（的值是（ ）
A．n- B．n- C．n- D．n+
【答案】A
【详解】试题解析：
代入计算可得,
所以,原式
故选A.
点睛：认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
二．填空题（共6小题）
11．当a=－1时，二次根式的值为________．
【答案】4
【分析】将a=－1代入题干中的二次根式，再化为最简二次根式即可．
【详解】当a=－1时，
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的定义，正确化简二次根式是关键．
12．计算：=________．
【答案】##
【分析】将分母化为无根式形式，分子分母同时乘以即可得出答案．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的正确表达形式与根式的化简属于基础题．
13．式子＝4﹣x成立的x的取值范围是 x≤4 ．
【分析】根据二次根式的性质即可得到答案．
【解答】解：∵＝4﹣x，
∴x﹣4≤0，
∴x≤4．
故答案为：x≤4．
【点评】此题考查的是二次根式的性质，掌握其性质是解决此题关键．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣＝ a+b ．
【分析】依据数轴即可得到a+1＞0，b﹣1＜0，即可化简．
【解答】解：由题可得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，
∴|原式＝a+1﹣1+b＝a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
15．若a＝1+，b＝1﹣，则代数式a2﹣ab+b2的值为 1 ．
【分析】根据完全平方公式把所求的式子变形为（a+b）2﹣3ab，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝1+，b＝1﹣，
∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab
＝（1++1﹣）2﹣3×（1+）×（1﹣）
＝22﹣3×（﹣1）
＝4+3
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
+＝﹣，则x3+y3+z3﹣3xyz的值为 0 ．
【分析】先确定字母的范围，再求值．
【解答】解：由题意得：．
∵x、y、z是两两不等的实数，
∴x＝0．
∴﹣＝0．
∴﹣＝0．
∴y＝﹣z．
∴原式＝y3+z3＝0．
故答案为：0．
16．化简题中，有四个同学的解法如下：
①
②
③
④
他们的解法，正确的是___________．(填序号)
【答案】①②④
【分析】对于分子分母都乘以分母的有理化因式，计算约分后可判断①，对于，把分子化为，再分解因式，约分后可判断②，对于，当时，分子分母都乘以分母的有理化因式，计算约分后可判断③，对于，把分子化为，再分解因式，约分后可判断④，从而可得答案．
【详解】解：，
故①符合题意；
，
故②符合题意；
当时，
，
故③不符合题意；
，
故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是分母有理化，掌握平方差公式的应用，分母有理化的方法是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．计算
（1）2﹣+2；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+
＝；
（2）原式＝2+2+3﹣（2﹣3）
＝2+2+3+1
＝6+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．时，化简代数式．
【答案】1
【分析】根据二次根式的性质得出绝对值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后合并即可．
【详解】解：，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质解答．
19．已知x＝2，求代数式（7+4）x2+（2）x﹣1的值
【分析】先求出x2的值，代入后先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【详解】解：∵x＝2，
∴x2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4，
∴（7+4）x2+（2）x﹣1
＝（7+4）×（7﹣4）+（2）×（2）﹣1
＝49﹣48+42231
．
20．（1）若m﹣2，求nm的值；
（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
①用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0，b﹣c ＞ 0；
②化简：|a+c|．
【分析】（1）利用二次根式有意义的条件得到n﹣3≥0且3﹣n≥0，则n＝3，所以m﹣2＝0，则m＝2，然后利用乘方的意义计算nm；
（2）①利用数轴表示数的方法进行判断；
②根据二次根式的性质和立方根的定义得到原式|＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c，再利用①中的结论去绝对值，然后取括号合并即可．
【详解】解：（1）根据题意得n﹣3≥0且3﹣n≥0，
解得n＝3，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2，
∴nm＝32＝9；
（2）①a+c＜0，b﹣c＞0；
故答案为：＜，＞；
②|a+c||a+c|﹣|b﹣c|+b+c
＝﹣（a+c）﹣（b﹣c）+b+c
＝﹣a﹣c﹣b+c+b+c
＝﹣a+c．
21．阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知，求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴ ，∴，
∴．
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．
【答案】
【分析】先利用分母有理化化简a,再利用完全平方公式求出的值，最后整体代入．
【详解】解：
，
，
，
即，
，
，
，
即的值为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解题例并应用题例是解决本题的关键．
22．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）21，4，1，2；（3）
【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设a+b＝，则＝m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【详解】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
（3）
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝++﹣
＝
【点睛】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．
23．（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
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