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第4章 平行四边形单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°
3．下面性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．邻边相等
C．对边平行 D．对角线互相平分
4．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2022秋 庐江县月考）如图， ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
6．在四边形ABCD中，AB∥CD，要判定四边形ABCD为平行四边形，可添加条件（ ）
A．AD＝BC B．∠CDB＝∠ABD C．AC平分∠DAB D．AO＝CO
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
8．如图，在 ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，则AB的长是（ ）
A． B．1 C． D．
9．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．在①平行四边形；②等边三角形；③等腰梯形；④圆这四个图形中，一定是中心对称图形的有
（填序号）．
12．每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成 个三角形．
13． ABCD中，∠A＝45°，BC＝，则AB与CD之间的距离是 ；若AB＝3，四边形ABCD的面积是 ，△ABD的面积是 ．
14．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
16．（2021秋 任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．
18．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的对角线条数．
19．已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．
20．已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（2）已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 ．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．
22．已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
(1)求证：O是BD的中点，
(2)若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
23．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
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第4章 平行四边形单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：用反证法证明“∠1＞90°”应先假设∠1≤90°，
故选：D．
3．下面性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．邻边相等
C．对边平行 D．对角线互相平分
【分析】根据平行四边形的性质进行分析．
【解答】解：平行四边形的邻角互补，对边平行，对角线互相平分，但是邻边不一定相等．
故选：B．
4．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据n边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°＝540°，
解得n＝5，
故选：B．
5．（2022秋 庐江县月考）如图， ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
【分析】根据平行四边形的对边相等及周长的值，可得出AB+BC的值，根据三角形ABC的周长值，进而得出AC的值．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∴AB+BC+CD+AD＝2（AB+BC），
∵ ABCD的周长是28cm，
∴2（AB+CD）＝28，
∴AB+BC＝14，
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+BC+AC＝22cm，
∴14+AC＝22，
∴AC＝8，
故选：C．
6．在四边形ABCD中，AB∥CD，要判定四边形ABCD为平行四边形，可添加条件（ ）
A．AD＝BC B．∠CDB＝∠ABD C．AC平分∠DAB D．AO＝CO
【分析】根据平行四边形的判定方法即可得出答案．
【解析】判定四边形ABCD是平行四边形添加的条件是OA＝OC，
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠BAO＝∠OCD，
∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线，从而求得结论．
【解答】解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵F是CB的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∵BD＝16，
∴EF＝8，
故选：C．
8．如图，在 ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，则AB的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】证四边形ABDE是平行四边形，得AB＝DE＝CD，再由勾股定理求出CE的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD．
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB＝DE＝CD，
∴AB＝CE
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°．
∴CE＝＝＝2，
∴AB＝CE＝，
故选：D．
9．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB AC；可得OE是三角形的中位线，证得④．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD＝AB AC，故②错误；
∵，，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴，故④正确；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．在①平行四边形；②等边三角形；③等腰梯形；④圆这四个图形中，一定是中心对称图形的有 ①，④ （填序号）．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：等边三角形、等腰梯形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
平行四边形、圆均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
所以一定是中心对称图形的有①，④．
故答案为：①，④．
12．每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成 （n﹣2） 个三角形．
【分析】过n边形的同一个顶点作对角线，可以把n边形分成（n﹣2）个三角形．
【解答】解：按如图所示的方法，n边形能分割成（n﹣2）个三角形．
故答案为：（n﹣2）．
13． ABCD中，∠A＝45°，BC＝，则AB与CD之间的距离是 1 ；若AB＝3，四边形ABCD的面积是 3 ，△ABD的面积是 1.5 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由平行四边形的性质可得AD＝，由直角三角形的性质可得DE＝AE，由勾股定理可求DE的长；然后利用平行四边形的面积即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝，
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE．
∵DE2+AE2＝AD2＝2，
∴DE＝1；
若AB＝3，四边形ABCD的面积＝AB DE＝3，
∴△ABD的面积＝3＝1.5．
故答案为：1；3，1.5．
14．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ 12 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【分析】由OA＝12cm求出OC，得出OA＝OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：当OA＝12cm时，OC＝24﹣12＝12（cm），
∴OC＝OA，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：12．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
16．（2021秋 任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 4s或s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解析】①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．
【分析】假设∠DAB是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可．
【解答】解：假设∠DAB是钝角或直角，
∵AB＝AC，AD是底边BC上的高，
∴∠BAC＝2∠DAB，
∴∠DAB是钝角或直角，
∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理，
∴假设不成立，
∴∠DAB是一个锐角．
18．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的对角线条数．
【分析】（1）设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和是（n﹣2） 180°，外角和是360°，列出方程，求出n的值即可；
（2）根据对角线的计算公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，根据题意，得：
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得 n＝6，
答：这个多边形的边数是6；
（2）六边形的对角线条数为：×6×（6﹣3）＝9（条），
答：这个多边形对角线为9条．
19．已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
20．已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
（1）点B的坐标是 （﹣3，﹣2） ，点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数即可解答本题；
（2）根据题意作出点E，再根据全等三角形的判定顶点解答即可．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，交x轴于点D．
∴点B的坐标是（﹣3，﹣2）；点C的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）；（3，﹣2）．
（2）如图所示：
∵若△ABE≌△ECD，
∴AB＝CE，BE＝CD，
∵AB＝4，CD＝2，
∴BE＝2，CE＝4，
∴点E坐标为（﹣1，﹣2）．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．
【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AEF＝∠CFE＝90°，利用内错角相等两直线平行可得AE∥CF，再根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）在Rt△BCF中，由勾股定理求得CF的长度；继而在Rt△CEF中，由勾股定理CE的长度即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）解：∵DF＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝6﹣2＝4．
在Rt△BCF中，由勾股定理得．
由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝2．
∴EF＝BF﹣BE＝2．
在Rt△CEF中，由勾股定理得．
22．已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
(1)求证：O是BD的中点，
(2)若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
【答案】(1)证明见详解；
(2)12．
【分析】（1）由已知条件容易证得四边形FBED是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，EF与BD互相平分，所以O是BD的中点．
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
（1）
证明：连接FB、DE，
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=DC，AD=BC，AD//BC，
∴FD∥BE．
又∵AD=BC，AF=CE，
∴FD=BE．
∴四边形FBED是平行四边形．
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）
∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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