5.3 正方形 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
5.3 正方形（2）
浙教版八年级下册
齐声朗读
矩形和菱形都是特殊的平行四边形：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
矩形是中心对称图形,又是轴对称图形
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形
齐声朗读
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和特殊的菱形．
正方形具有矩形和菱形的所有性质！
正方形的性质：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形（有4条对称轴）
新知导入
A
B
C
D
正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形（有4条对称轴）
新知导入
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 四边形 ABCD 是矩形 ( 正方形也是矩形 ).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90° .
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形 ( 正方形也是菱形 ).
∴ AB = BC = CD = AD .
新知导入
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴AO = BO = CO = DO ( 矩形对角线相等且平分 ).
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD ( 菱形对角线互相垂直 ).
新知导入
如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰直角三角形？
解：共有 8 个等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
450
450
450
450
450
450
450
450
900
900
900
900
新知讲解
已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF. 求证：AG=EF.
证明：连结CG.
在△AGD和△CGD中，
∠ADG=∠CDG，AD=CD，DG=DG，
∴△AGD≌△CGD，
∴AG=CG.
又∵ GE⊥CD，GF⊥BC,
∴∠GFC=∠GEC=90°=∠BCD,
∴四边形FCEG是矩形,
∴EF=GC,
∴ AG=EF.
方法二：
在正方形ABCD中，
由正方形的轴对称性
可得AG=CG,
……
方法三：
延长FG交AD于点H，
然后DE=GE=GH=DH=FC,
再由AD－DH=DC－DE，得到AH=CE，
接着证明△AGH≌△EFC即可.
课堂练习
夯实基础，稳扎稳打
1：正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
D
2：正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
B
A.四个角相等 B.对角线互相垂直
C.对角互补 D.对角线相等
课堂练习
3.如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点，若BE=10，求CE的长.
解：在正方形ABCD中，
∠A=∠D=90°
AB=AD=CD=8
∴AE= =6
∴DE=8-6=2
∴CE= =2
课堂练习
4.如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA.求∠CAE的度数.
解：在正方形ABCD中，
∠ACB= ∠BCD=45°
∵AC=CE
∴∠CAE=∠E= ∠ACB=22.5°
课堂练习
5.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF,连结DE,DF.求证:DE=DF.
证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠C=90°,
∴∠DAF=90°=∠C.
∴△DCE≌△DAF,∴DE=DF.
∵CE=AF
课堂练习
6.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE＝BF．
求证：(1)EA＝AF； (2)EA⊥AF．
C
A
D
B
E
F

(2)∵△ABF≌△ADE，∴∠FAB＝∠EAD，
∵∠BAD＝90°，∴∠FAE＝90°，∴EA⊥AF．
证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠ABF＝∠D＝∠BAD＝90°，
在△ABF和△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴AE＝AF；
.
课堂练习
7.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，
且DE=DF ,BM⊥EF于点M.求证：ME=MF
A
B
C
D
E
F
M
证明：
连接BE、BF
在正方形ABCD中
AD=CD
∵DE=DF
∴AE=CF
在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴BE＝BF；
∵BM⊥EF
∴ME＝MF
课堂练习
8. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
(1) ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC = DC，∠BCE = 90° .
( 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 )
∴∠DCF = 180° - ∠BCE = 180° - 90° = 90°.
∴∠BCE =∠DCF.又∵CE = CF∴△BCE ≌ △DCF. ∴BE=DF.
A
B
D
F
E
C
课堂练习
8. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
(2) 延长 BE 交 DE 于点 M，
∵△BCE ≌ △DCF，
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
课堂练习
9.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF.
求证：AE=BF
A
B
C
D
E
F
证明：
在正方形ABCD中
AB=BC,∠ABC=∠C=900
∵AE⊥BF
∴∠1+∠2=900
1
2
3
∵∠2+∠3=900
∴∠1=∠3
在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；
.
课堂练习
10.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、DA上的点，GE⊥BF.
求证：GE=BF
证明：
易知GH=AB=BC,∠GHC=∠C=900
∵AE⊥BF
∴∠1+∠2=900
1
2
3
∵∠2+∠3=900
∴∠1=∠3
A
B
C
D
H
过点G作GH⊥BC,垂足为H
在△GHE和△BCF中，∴△GHE≌△BCF(ASA)，∴GE＝BF；
.
E
F
G
课堂练习
11.已知：如图，在正方形ABCD中，
E、F、G、H分别是BC、CD、DA、AB上的点， GE⊥HF
求证：GE=BF
A
B
C
D
1
2
3
M
E
F
G
H
N
正方形中的“十字架”模型
位置关系：垂直
数量关系：相等
归纳总结
正方形中的“十字架”模型
位置关系：垂直
数量关系：相等
课堂练习
12.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF
求证：AE⊥BF.
A
B
C
D
E
F
证明：
在正方形ABCD中
AB=BC,∠ABC=∠C=900
∵AE⊥BF
∴∠1+∠2=900
∵∠2+∠3=900
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴∠1=∠3
1
2
3
谢谢
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