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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第6章反比例函数
6.1反比例函数（1）
【知识重点】
1、反比例函数的概念：一般地，函数(k为常数，k≠0)叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数.
2、自变量x、函数值y取值范围：
(1)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
(2)反比例函数的函数值y的取值范围是不等于0的一切实数.
【经典例题】
【例1】有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中 是 的反比例函数的有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的值是（ ）
A．-1或1 B．小于 的任意实数
C．-1 D．不能确定
【例3】若是反比例函数，则m的值为 ；
【例4】已知反比例函数 中，当 时， ，则 .
【例5】请判断下列问题中，哪些是反比例函数，并说明你的依据．
（1）三角形的底边一定时，它的面积和这个底边上的高；
（2）梯形的面积一定时，它的中位线与高；
（3）当矩形的周长一定时，该矩形的长与宽．
【基础训练】
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝6x C．x+y＝6 D．y＝
2．下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
3．已知是反比例函数，则它的图象所在象限为（ ）
A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四
4．下列关系式中的两个量成反比例的是( )
A．圆的面积与它的半径；
B．正方形的周长与它的边长；
C．路程一定时，速度与时间；
D．长方形一条边确定时，周长与另一边．
5．把 化为 的形式为比例系数为 自变量 的取值范围是 .
6．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ .
7．若函数y=（m+1）xm +3m+1是反比例函数，求m的值．
8．当m取何值时，下列函数是反比例函数？
（1）y=；
（2）y=（3﹣m）；
（3）y=．
9．指出下列函数中那些y是x的反比例函数，并指出其k值：
（1）y=；
（2）y=﹣；
（3）y=x2；
（4）y=2x+1；
（5）y=x﹣1；
（6）xy=﹣3．
10．已知函数y=（m2+2m）
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
11．将x=代入反比例函数y=﹣中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入函数中，所得函数值记为y3…如此继续下去，求y2014的值．
12．写出下列函数关系式，并指出其中的反比例函数及正比例函数．
（1）当圆柱的体积是50cm3时，他的高h（cm）与底面圆的面积S（cm2）的关系；
（2）玲玲用200元钱全部用来买营养品送给她妈妈，那么她所能购买营养品的数量y（kg）与单价x（元/kg）的关系．
【培优训练】
13．给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ）
A． B． C． D．
15．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
16．已知反比例函数 ，当自变量 的值从3增加到6时，函数值减少了1，则函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
17．下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A．
1 2 3 4
7 8 9 10
B．
1 2 3 4
3 6 9 12
C．
1 2 3 4
1 0.5 0.25
D．
1 2 3 4
4 3 2 1
18．已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与 x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1 k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”）
19．已知函数 是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则 ．
20．已知直线y＝﹣x+1与双曲线y＝﹣ （x＞0）交于点M（m，n），则代数式 + 的值是 ．
21．给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假．
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成比例．
22．有600个零件需要在一天内加工完毕，设当工作效率为每人每天加工p个时，需工人q个.
（1）求q关于p的函数表达式.
（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人的人数可以减少几分之几
23．已知 ， 与 在正比例关系， 与x成反比例函数关系，且 时， ， 时，
（1）求y与x的关系式.
（2）求当 时，y的值.
24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E是BC上一点（不包括B，C两端点），连结AE和DE，作DF⊥AE于点F.
（1）若AE＝AD，求证：△ADF≌△EAB；
（2）在（1）条件下，求△DEF的面积；
（3）设AE＝x，DF＝y，请求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.
【直击中考】
25．下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
26．已知反比例函数的解析式为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知反比例函数y= ，则自变量x的取值范围是 ；若式子 的值为0，则x= ．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第6章反比例函数（解析版）
6.1反比例函数（1）
【知识重点】
1、反比例函数的概念：一般地，函数(k为常数，k≠0)叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数.
2、自变量x、函数值y取值范围：
(1)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
(2)反比例函数的函数值y的取值范围是不等于0的一切实数.
【经典例题】
【例1】有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中 是 的反比例函数的有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①y=，是反比例函数，符合题意；②y=-，不是反比例函数，不符合题意；
③y=-，是反比例函数，符合题意；④y=，不是反比例函数，不符合题意；
⑤y=，不是y关于x的反比例函数，不符合题意；⑥y=-3，不是y关于x的反比例函数，不符合题意，
∴是y关于x的反比例函数有：①③.
故答案为：B.
【例2】若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的值是（ ）
A．-1或1 B．小于 的任意实数
C．-1 D．不能确定
【答案】C
【解析】∵ 是反比例函数，
∴ ，
解之得m=±1.
又因为图象在第二，四象限，
所以2m-1＜0，
解得m＜ ，即m的值是-1.
故答案为：C.
【例3】若是反比例函数，则m的值为 ；
【答案】-1
【解析】根据题意得m 1≠0且|m|＝1，
解得m＝ 1.
故答案为：-1.
【例4】已知反比例函数 中，当 时， ，则 .
【答案】2或-3
【解析】∵反比例函数y=-，当x=a时，y=-a-1，
∴-a-1=-，
∴a2+a-6=0，即（a-2）（a+3）=0，
∴a=2或a=-3.故答案为：2或-3.
32．请判断下列问题中，哪些是反比例函数，并说明你的依据．
（1）三角形的底边一定时，它的面积和这个底边上的高；
（2）梯形的面积一定时，它的中位线与高；
（3）当矩形的周长一定时，该矩形的长与宽．
【答案】解：（1）设三角形的面积为S，底边为a，底边上的高为h，
则S=ah，当a一定，即a=一定，S是h的正比例函数；
（2）设梯形的面积为S，它的中位线与高分别为m，h，
S=mh符合y=，所以是反比例函数；
（3）设矩形的周长C，该矩形的长与宽分别为a，b，
则C=2（a+b），
当矩形的周长一定时，该矩形的长与宽不成任何比例．
【基础训练】
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝6x C．x+y＝6 D．y＝
【答案】D
【解析】A、 是正比例函数，故不符合题意；
B、是正比例函数，故不符合题意；
C、是一次函数，故不符合题意；
D、是反比例函数，故符合题意.
故答案为：D.
2．下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵中没有说明k≠0，不符合题意；
∵中，x的指数为2，不是1，不符合题意；
∵中，分母不是单项式x，是多项式2x+1，不符合题意；
∵即，符合题意；
故答案为：D．
3．已知是反比例函数，则它的图象所在象限为（ ）
A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四
【答案】B
【解析】是反比例函数，
，
，
故此函数图象位于二、四象限，
故答案为：B.
4．下列关系式中的两个量成反比例的是( )
A．圆的面积与它的半径；
B．正方形的周长与它的边长；
C．路程一定时，速度与时间；
D．长方形一条边确定时，周长与另一边．
【答案】C
【解析】A、设圆的半径为r，则圆的面积为，不是反比例关系，故本选项不符合题意；
B、正方形的周长边长，不是反比例关系，故本选项不符合题意；
C、路程s一定时，则，即速度v与时间t成反比例，故本选项符合题意；
D、设长方形的一条边为a，另一条边为b，周长为c，则，不是反比例关系，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
5．把 化为 的形式为比例系数为 自变量 的取值范围是 .
【答案】--1；x≠0
【解析】∵-xy=+1，
∴y=，
∴比例系数为--1，
∴自变的取值范围是x≠0.
故答案为：--1；x≠0.
6．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ .
【答案】2
【解析】∵函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，
∴且m+1≠0，
解得：；
故答案为：2.
7．若函数y=（m+1）xm +3m+1是反比例函数，求m的值．
【答案】解：由函数y=（m+3）xm +3m+1为反比例函数可知m2+3m+1=-1，且m+1≠0
解得m=-1（舍去），m=-2，
m的值是-2
8．当m取何值时，下列函数是反比例函数？
（1）y=；
（2）y=（3﹣m）；
（3）y=．
【答案】解：（1）y=，是反比例函数，则2m+1=1，
解得：m=0；
（2）y=（3﹣m），是反比例函数，则m2﹣10=﹣1，3﹣m≠0，
解得：m=﹣3；
（3）y=，是反比例函数，则|m|=1，m﹣1≠0，
故m=﹣1．
9．指出下列函数中那些y是x的反比例函数，并指出其k值：
（1）y=；
（2）y=﹣；
（3）y=x2；
（4）y=2x+1；
（5）y=x﹣1；
（6）xy=﹣3．
【答案】解：（1）y=，y是x的正比例函数，k=2；
（2）y=﹣，y是x的反比例函数，k=﹣；
（3）y=x2，y是x的二次函数；
（4）y=2x+1，y是x的一次函数，k=2；
（5）y=x﹣1，y是x的反比例函数，k=1；
（6）由xy=﹣3得到：y=﹣，y是x的反比例函数，k=﹣3．
10．已知函数y=（m2+2m）
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
【答案】解：（1）由y=（m2+2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1=1且m2+2m≠0，
解得m=2或m=﹣1；
（2）由y=（m2+2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1=﹣1且m2+2m≠0，
解得m=1．
故y与x的函数关系式y=3x﹣1．
11．将x=代入反比例函数y=﹣中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入函数中，所得函数值记为y3…如此继续下去，求y2014的值．
【答案】解：y1=﹣，y2=2，y3=﹣，y4=﹣…
每三个出现相同的一次，
2014÷3=671…1
．
12．写出下列函数关系式，并指出其中的反比例函数及正比例函数．
（1）当圆柱的体积是50cm3时，他的高h（cm）与底面圆的面积S（cm2）的关系；
（2）玲玲用200元钱全部用来买营养品送给她妈妈，那么她所能购买营养品的数量y（kg）与单价x（元/kg）的关系．
【答案】解：（1）依题意得 50=Sh．
S=，
该函数是S关于h的反比例函数；
（2）依题意得 y=．
该函数是y关于x的反比例函数．
【培优训练】
13．给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解∶ ①是正比例函数，故不符合题题意；
②，y是x的反比例函数，故符合题意；
③，y是x的反比例函数，故符合题意；
④，y不是x的反比例函数，故不符合题意；
⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意；
⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意；
其中②③⑤⑥为反比例函数，
故答案为：B．
14．反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A．由分析可知，-3=-，所以该点在函数的图象上，A符合题意；
B．由分析可知，-3≠-，所以该点不在函数的图象上，B不符合题意；
C．由分析可知，3≠-，所以该点不在函数的图象上，C不符合题意；
D．由分析可知，6≠-，所以该点不在函数的图象上，D不符合题意；
故答案为：A。
15．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
【答案】B
【解析】①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
16．已知反比例函数 ，当自变量 的值从3增加到6时，函数值减少了1，则函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵已知反比例函数，当自变量 的值从3增加到6时，函数值减少了1，
∴1=-，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=.
故答案为：A.
17．下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（ ）
A．
1 2 3 4
7 8 9 10
B．
1 2 3 4
3 6 9 12
C．
1 2 3 4
1 0.5 0.25
D．
1 2 3 4
4 3 2 1
【答案】C
【解析】C中， ，其余的都不具有这种关系
C是反比例函数关系，故C符合题意；
故答案为：C．
18．已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与 x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1 k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”）
【答案】反
【解析】y与2z成反比例，则
z与 x成正比例，则
将 代入 得
∵
∴
y关于x成反比例
故答案为：反
19．已知函数 是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则 ．
【答案】2
【解答】根据反比函数的解析式y= （k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1，且n2－5=-1，解得n=±2，然后根据函数的图象在第一、三象限，可知n＞0，所以可求得n=2.
故答案为2.
20．已知直线y＝﹣x+1与双曲线y＝﹣ （x＞0）交于点M（m，n），则代数式 + 的值是 ．
【答案】
【解析】∵直线y＝﹣x+1与双曲线y＝﹣ （x＞0）交于点M（m，n） ，
，
∴m+n=1,mn=-4,
∴,
故答案为：.
21．给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假．
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成比例．
【答案】（1）解：∵等腰三角形的面积一定，∴底边长和底边上的高的乘积为非零常数．∴命题（1）正确
（2）解：∵菱形的面积是它的对角线长的乘积的一半，∴当菱形的面积一定时，对角线长的乘积也一定．
∴它们成反比例．故正确
（3）解：∵矩形的面积一定时，它的对角线长的乘积并不一定，∴两对角线长不成反比例，
∴命题（3）为假命题
（4）解：∵直角三角形的面积为直角边乘积的一半，∴当它的面积一定时，其直角边长的乘积也一定．∴两直角边长成反比例，
∴命题（4）正确．
22．有600个零件需要在一天内加工完毕，设当工作效率为每人每天加工p个时，需工人q个.
（1）求q关于p的函数表达式.
（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人的人数可以减少几分之几
【答案】（1）解： .
（2）解：设提高效率后需工人的人数是 ，则有 ，
∴
∴
故工人的人数可以减少 .
23．已知 ， 与 在正比例关系， 与x成反比例函数关系，且 时， ， 时，
（1）求y与x的关系式.
（2）求当 时，y的值.
【答案】（1）解：∵ 与 在正比例关系， 与x成反比例函数关系，
∴
∵ 与 成反比例函数关系，
∴
∴
代入数据可得
解得
所以，y与x之间的函数关系式为
（2）解：当x= 2时，
24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E是BC上一点（不包括B，C两端点），连结AE和DE，作DF⊥AE于点F.
（1）若AE＝AD，求证：△ADF≌△EAB；
（2）在（1）条件下，求△DEF的面积；
（3）设AE＝x，DF＝y，请求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.
【答案】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
；
（3）解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
则 ，
即
，
是 上一点（不包括 ， 两端点），
，
，
自变量 的取值范围： .
【直击中考】
25．（2019·梧州）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【答案】A
【解析】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；
B、y＝ ，是反比例函数，不合题意；
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意。
故答案为：A。
26．（2018·柳州）已知反比例函数的解析式为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.
故答案为：C.
27．（2014·常州）已知反比例函数y= ，则自变量x的取值范围是 ；若式子 的值为0，则x= ．
【答案】x≠0；﹣3
【解析】解：反比例函数y= 的自变量x的取值范围是x≠0，
=0，
解得x=﹣3．
故答案为：x≠0，﹣3．
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