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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章平行四边形
三角形中位线专题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，中，AB=10，AC=7，BC=9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．13 B． C．17 D．19
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在中，，D，E分别是，的中点，F是上一点，，连接，，若，则的长度为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．30
4．如图，在 ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．2
5．如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直径l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
8．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
9．如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
10．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知中，，平分，点是的中点，若，则的长为 .
12．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为 ．
13．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在中，，，以为斜边作.使，，、分别是、的中点，连接、、，则的长为 .
15．如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，则的长为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
18．（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．
19．阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC． 分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD． 连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝AC．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则 ．
20．阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6
∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
21．【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容.
如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
【定理证明】
（1）请根据材料内容，结合图①，写出证明过程.
（2）【定理应用】
如图②，四边形中，M、N、P分别为、、的中点，边、延长线交于点E，，则的度数是 .
（3）如图③，矩形中，，，点E在边上，且.将线段绕点A旋转一周，得到线段，M是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值.
22．
（1）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
（2）【结论应用】
如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段的延长线交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）若（1）中的，则的大小为 ．
23．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）请你连接，并求线段的长.
24．在中，，为的中点，为线段上的一点．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）如图2，若且为中点，求证：；
（3）若，试探究、、的数量关系，并证明．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章平行四边形
三角形中位线专题（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，中，AB=10，AC=7，BC=9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．13 B． C．17 D．19
【答案】D
【解析】点、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形的周长为，
故答案为：D．
2．如图，在中，，D，E分别是，的中点，F是上一点，，连接，，若，则的长度为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【解析】，E分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，E是的中点，
，
故答案为：A.
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．30
【答案】B
【解析】延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM=EM，AE=AD=12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴MN是△CDE的中位线，
∵MN=2，
∴CE=2MN=4，
∴AC=AE+CE=12+4=16，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
．
故答案为：B．
4．如图，在 ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】过点M作MG∥AB交AD于点G，
∵AD∥BC，AB∥MG，
∴四边形ABMG是平行四边形，
∴∠AGM=∠ABM．
∵AM平分∠BAD，
∴∠GAM=∠MAB，
∴∠AMB=∠AMG．
在△AGM与△ABM中，
，
∴△AGM≌△ABM，
∴AB=AG=3，
∴四边形ABMG是菱形，
∴MC=5﹣3=2．
∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，
∴NF是△DCM的中位线，
∴NF=MC=1．
故选B．
5．如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴.
故答案为：A.
6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2
【答案】B
【解析】连接MN，作AF垂直BC于F
∵AB=AC
∴BF=CF= BC= ×8=4
在Rt△ABF中，AF=
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4
∴MN=DE
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND中点，∴阴影三角形的高是1.5÷2=0.75
∴S阴影=4×0.75÷2=1.5
答案为：B
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直径l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】如图1，点E、F在AC的同侧，取AC的中点G、EF的中点H，连接并延长EG交FC的延长线于点M，连接GH，
∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，
∴.AE//CF，
∴∠GAE =∠GCM，
在ΔGAE和ΔGCM中，
∴△GAE≌△GCM（ASA），
∴AE = CM，GE = GM，
∴GH∥FM，，
∴AE∥HG，
∴GH⊥l，
，
∵∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，
，
，
，
，
此时，AE+ CF的最大值为；
如图2，点E、F不在AC的同侧，作CN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠N =∠NEF =∠EFC = 90°，
∴四边形NEFC是矩形，
∴NE= CF，
∴AE + CF = AE + NE = AN，
∵AN ≤AC，
∴AE + CF≤3，
此时，AE+CF的最大值为3，
∵，
∴AE+ CF的最大值为，
故答案为：D.
8．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【解析】如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．
∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．
由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正确．
∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，
∴∠DBQ=∠CAQ，
∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，
∵∠BQD=∠AQC=90°，
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正确．
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）=45°
∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；
无法证明AD=CD，故④错误．
故选B．
9．如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【解析】连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG=S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE=S△EBC=×20=10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG=S△BDE=×10=5.
故答案为：B.
10．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
延长交于点F，延长、交于点G，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点E是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知中，，平分，点是的中点，若，则的长为 .
【答案】3
【解析】，平分，
是的中点，
是的中点，
是三角形中位线，
，
.
故答案为：3.
12．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为 ．
【答案】3
【解析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵M为DE的中点，
∴，
在中，
∴，
∴，，
∴，
∵点N为AF的中点，
∴，
∵F为BC的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
13．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= .
【答案】2
【解析】取BE的中点M，连接FM和CM，
∵F是AE的中点，M为BE的中点，
∴FM是△ABE的中位线，
∴FM∥AB，FM=AB，
∵E为CD的中点，即EC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB，
∴FM∥EC，EC=FM，
∴四边形EFMC是平行四边形，
∴EG=EM=EM=BE=2.
故答案为：2.
14．如图，在中，，，以为斜边作.使，，、分别是、的中点，连接、、，则的长为 .
【答案】
【解析】∵，F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
15．如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，则的长为 ．
【答案】2.5
【解析】如图，延长交于点G，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2.5．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .
【答案】6.5
【解析】如图，过点D作，交AE于点M；过点D作，交BC于点N
∵∠EDF＝90°，
∴
∴最小时，EF取最小值
∵，
∴当点和点M重合，点和点N重合时，、DF分别取最小值，即最小值，最小值，
最小值为
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵D是AB的中点
∴、为Rt△ABC中位线
∵AC＝5，BC＝12
∴，
∴最小值
故答案为：6.5.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
【答案】证明：
连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，
∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG．
18．（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．
【答案】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．
19．阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC． 分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD． 连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝AC．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则 ．
【答案】（1）证明：如图2，延长到E，使得．连接，
则，
是斜边上的中线，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，
．
（2）
【解析】（2）如图3，连接，延长到点M，使得，连接，再连接，延长到点N，使得，连接，延长，交于点，
由（1）可知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
又，即点分别是的中点，
，
故答案为：．
20．阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6
∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
【答案】（1）解：取BD的中点P，连接PE、PF，
∵E、F、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PE AB，PE =AB，PF CD，PF =CD，
∵AB=6，CD=8，
∴PE=3，PF =4，
∵PEAB，PFCD，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠BPF=∠BDC=120°，
∴∠DPF=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°，
∴△EPF是直角三角形，
∴EF=；
（2）证明：∵PEAB，
∴∠ABD+∠BPE=180°，
∵∠BDC﹣∠ABD=90°，
∴∠BDC﹣（180°-∠BPE）=90°，
∴∠BDC+∠BPE=270°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2．
∵PE =AB，PF =CD，
∴(AB)2+(CD)2=EF2．
∴AB2+CD2=4EF2．
21．【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容.
如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
【定理证明】
（1）请根据材料内容，结合图①，写出证明过程.
（2）【定理应用】
如图②，四边形中，M、N、P分别为、、的中点，边、延长线交于点E，，则的度数是 .
（3）如图③，矩形中，，，点E在边上，且.将线段绕点A旋转一周，得到线段，M是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值.
【答案】（1）证明：延长至F，使，连接，
∴，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
又∵，
四边形为平行四边形，
，，
，
∵，
∴；
（2）135°
（3）BM长的最大值为4，最小值为1
【解析】(2)∵M、N、P分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）延长至H，使，连接，，
∴B是线段的中点
∵M是线段的中点，
，
在中，，
当点F在线段的延长线上时，最大，此时最大值为，
当点F在线段上时，最小，此时最小值为，
长的最大值为，最小值为.
22．
（1）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
（2）【结论应用】
如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段的延长线交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）若（1）中的，则的大小为 ．
【答案】（1）证明：∵P是的中点，M是 的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理， ，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵P是的中点，M是 的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴；
（3）29°
【解析】结论应用（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：29°．
23．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）请你连接，并求线段的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ，
由（1）可知 是等腰三角形，
∵N为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵M是 的中点，
∴ .
∵
∴ ，
∴ .
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 交 于点G，连接 ，
∵ ，M是 的中点，
∴N是 的中点，
∴ ，
在 中， ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
即： ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴ .
24．在中，，为的中点，为线段上的一点．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）如图2，若且为中点，求证：；
（3）若，试探究、、的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：过点作交于，（如图1）
为的中点，
∴G为的中点，
为的中位线，
，
，，
，
在中，；
（2）证明：连接，取中点，再连接、．（如图2）
为中点，为中点，
且，且，
，
，
又，
，
，
，
，
，
即：；
（3）答：，（如图3）
证明：在上截取，连接，作，
，，
，
，
，
，
，易证，
，
．
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