浙教版八年级上册 1.3 证明（2）教学设计

1.3 证明 (2) 教学设计
教学主题
浙教版八年级上册 1.3 证明第二课时
教学内容及分析
本节课是一节概念深化课。这是继七年级学行线”几何内容之后正式提出“证明”的 概念，学习几何证明的方法和表述的一节课。本节课除了要学习综合法的证明方法和完整表 述，也要体验辅助线在证明中的作用，它是解决几何问题的常用操作之一。本节内容的编入 意味着初中几何已从实验阶段过渡到论证几何阶段。在解决问题时加强了对推理和推理表述 的要求，开始要求言必有据、因果分明，并条理清楚地按规定格式写出证明过程。本节课上 承七年级下册《平行线》、八年级上册《认识三角形》和《定义与命题》的内容，是几何内 容的规范表述，下接《三角形全等的判定与性质》、《特殊三角形》的内容学习，为进一步学 习四边形、圆、相似三角形等其他几何知识奠定基础。
教学对象及特点
本节课的教学对象为八年级学生。学生进入八年级，对于初中数学的学习方式已稍有知晓。 学生的思维方式也逐渐从形象思维发展到抽象思维，但理性思维的发展还比较有限。在几何 领域的学习上，一方面，学生上学期已学习了“平行线”的知识，对研究几何的学习内容和 方法稍有知晓，刚好用于“证明”的学习。另一方面，考虑到之后学习“三角形”、“特殊三 角形”的概念、性质以及判定等知识，本节课对三角形内角和等于 180° 、外角的概念和性 质，辅助线的添加和书写这三个内容可进行适当的拓展练习。
教学目标，
1 ．进一步体验证明的意义
2 ．进一步学习证明的思考方法
3 ．进一步学习综合法证明的方法和表述。体验辅助线在证明中的作用。
教学重点、难点
本节教学的重点是证明的含义和表述格式。
本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。
教学过程
一、复习证明的一般格式和表述，导入新课
通过一个简单的命题的求证过程，让学生自己回顾证明一个命题的一般格式，并用自己的语 言进行表述。
二、合作交流，探究新知
“三角形三个内角和等于 180° 。”在小学的学习中经常用到，你是怎么知道“三角形三
个内角和等于 180°”的？它是一个正确的结论，是一个真命题，但是判断一个真命题我们需 要进行“证明”。
出示命题：
证明命题“三角形三个内角的和等于 180°”是真命题。
分析：(1) 这个命题的条件和结论是什么？并根据条件和结论画出图形，写出已知，求 证。
(2) 请同学们回顾，在三角形部分，对这个命题是用哪种实验方法加以说明的。
在几何画板中将三角形的三个内角进行度量，并计算三个内角的和
(3) 请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容 易产生相等的角？ (同学之间相互合作，讨论学习，时间可稍长)
在几何画板中根据学生的回答添加相应的辅助线并引导学生梳理推理的过 程 (此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线)
(4) 师生共同完成推理过程
启发学生再思考，除了选三角形的顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角 形边上一点 (此处也可让学生相互讨论并尝试) ，师生共同探究出证明过程：
证明：过点A 作 DE∥BC，则
∠C＝∠CAE ， (两直线平行，内错角相等)
∠BAE +∠B= 180 ， (两直线平行，同旁内
角互补)
∴ ∠BAC+∠B+∠C＝ ∠BAE +∠B＝180 。
其它证明方法：
可在 BC 边上任意取一点 P ，作 PF∥AB ，交 AC 于点 F，
作 PE∥AC，交 AB 于点 E。
∵PF∥AB (已知)，
∴ ∠1=∠B
∠2=∠A 。 (两直线平行，同位角相等)
又 ∵ PE∥AC
∴ ∠4=∠C(两直线平行，同位角相等) ， ∠2=∠3 (两直线平行， 内错角相等) ∴ ∠4+∠3+∠1=∠C+∠A+∠B= 180° 。 (等量代换)
小结：1.证明一个命题的一般格式：
①按题意画出图形；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
③在“证明”中写出推理过程。
2. 此题需要通过添加辅助线才能完成证明过程。
(1) 所谓辅助线指的是为了证明需要在原图上添画的线 (通常画成虚线)，添辅助线的过程 要写入证明中。
(2) 它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用。
(3) 添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化， 要根据需要而定,平时做题时要注意总结。
三、三角形外角的性质
1.外角概念：如图，∠ACD 是△ABC 的一条边 BC 的延长线和另一条相邻的边 CA 组成的角，
这样的角叫做该三角形的外角。
2.外角的性质
师：三角形的外角和内角之间有什么关系？
先由学生自主讨论、猜测，再借助几何画板进行实验验证，后由学生试着给 出证明过程，老师师巡视点评
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图， ∠ACD 是△ABC 的一个外角。
求证： ∠ACD=∠A+∠B。
证明： ∵ ∠ACD+∠ACB= 180° ，(平角的意义)
∠ACD+∠A+∠B= 180° ，(三角形的内角和定理)
∴ ∠ACD=∠A+∠B。
师：这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论。推论也可以作为推理的依据。
3.练一练
(1) 在△ABC 中， 以 A 为顶点的一个外角为 120° ， ∠B=50° ，则∠C= °。
(2) 已知：如图，O 为△ABC 内任意一点。求证： ∠BOC=∠1+∠2+∠A。
四、拓展提高，综合运用
例 1. 已知：如图， ∠B+∠D=∠BCD 。求证：AB//DE。
分析： 延长 BC ，交 DE 与点 F 。根据平行线的判定定理， 只要证明∠B=∠CFD ，或者 ∠B+∠BFE= 180° ，就能证明 AB//DE.
证明：延长 BC，交 DE 于点 F。
∵ ∠B+∠D=∠BCD，
∠BCD=∠D+∠CFD ，(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴ ∠B+∠D=∠D+∠CFD，
∴ ∠B=∠CFD，
∴ AB//DE (内错角相等，两直线平行)。
几何画板演绎辅助线的不同添法， 口头表述不同添法下的解题过程
五、归纳小结
1.本节课你学习到了什么知识？
可根据学生的回答大概归纳为：
(1) 三角形内角和定理的证明方法――作平行线法；
(2) 三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
(3) 常用的几何证明方法： 由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路――分 析法。初步学会添加辅助线。
2.本节课主要的思想方法是什么？
转化思想
通过添加辅助线,把三角形的 3 个内角拼成 1 个平角;把三角形的 3 个内角拼成两平行线的同 旁内角,证明了三角形内角和定理及推论
所选技术
几何画板
技术使用的目的
在实验验证阶段， 由于所画三角形存在随机性，度量三个内角的大小时，若只使用量角器， 出现误差是不可避免的，但使用几何画板则可以完美避开这个问题。在学生的设想验证阶段， 利用几何画板直接将学生的设想绘制出来，反馈直观准确，动态展示了教学内容，把抽象的 数学教学变得形象、生动。同时，从心理学的角度来说，几何画板的使用更容易激发学生的 兴趣，充分调动学生的积极性。从学科能力培养的角度来看，几何画板参与几何教学，有助 于培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
总结反思
粉笔、尺子等传统的教具在教学的开展过程中具有一定的局限性，几何画板的出现弥补了它 们的不足，将抽象的知识形象化，将枯燥的定理生动化，为数学教学注入了无限活力。借助 几何画板进行实验验证，这节课的实验过程变得更具开放性，真正做到让学生自主探究，全 面锻炼学生的各种潜在水平，让课堂变得更加丰富、互动性更强。有了之前三角形内角和定 理验证的铺垫，学生探索、发现三角形外角定理，变得水到渠成，使新知探索更具方向性。 几何画板加入数学教学，将复杂抽象的数学概念变得生动形象，提高了学生学习数学的兴趣， 同时对于发展学生的综合素养，培养学生的创新精神和实践能力，有着十分重要的现实意义。