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标记符号，厘清关系专项训练 (1)
夯实基础，稳扎稳打
1．已知一菱形周长为，它的两对角线长之比为，求该菱形面积
2．如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴、 轴上， 是菱形 的对角线，若 ，，求点 的坐标．
3．如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,求四边形EFGH的面积．
4.如图，在长方形中，点在边上，把长方形沿直线折叠，点落在边上的点处．若，．求的长；求的面积．
连续递推，豁然开朗
5.如图，在 中，对角线，相交于点，，延长至点，使，连结．求证：四边形是矩形．若，，求的长．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
8．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．
思维拓展，更上一层
9．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
10.如图,正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，AE的长为 ，
11.如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，求的长
，
12．如图，正方形和正方形的边长分别为3和2，点E、G分别为边上的点，H为的中点，连接，求的长．
参考答案
1.解：由于它的两对角线长之比为，则设两条对角线长分别为，
根据勾股定理可得，解得，则两条对角线长分别为，
故菱形的面积．
3．解：点、分别为四边形的边、的中点，
，且．同理求得，且，
又，，且．四边形是矩形．
四边形的面积，即四边形的面积是12．
4.解：由折叠的性质得，，，在长方形中，，
在中，由勾股定理得，，；
由折叠的性质得，，
在长方形中，，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
．
5.证明：四边形是平行四边形，
，，，，
四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形；
解：，，，
四边形是矩形，，，，，
在中，由勾股定理得：．
6．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BD∥AE，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，∴由勾股定理可得，
即矩形ADCE对角线的长为．、
7．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE＝AC＝．
8.解（1）证明：由题意可得，，，，
，，，
，，四边形是平行四边形，
又，四边形是菱形；
（2）解：矩形中，，，，
，，，，设，则，
，，解得，，
．
9．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；
（2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
10.
1.1【详解】取中点，连接，取中点，连接，作交于点，如图所示，
正方形的边长为12，∴， ∵，
∴四边形是矩形，∴，
∵中点，点为的中点，∴， ，，
∴，∵中点，点为的中点，
，，， ∵，∵，
∴四边形是矩形，∴，，
∴，，
，
12．解：延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，
∵正方形和正方形，∴GM⊥AB，FM=3-2=1，BM=3-2=1,
∴FM=BM，，∵H为的中点， ∴，
∴，∴，
求AF的长度.
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标记符号，厘清关系专项训练（2）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在矩形中，，，点M在边上，若平分，求的长
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．求CE的长．
3如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，求阴影部分面积
4．已知，如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．
（1）当四边形ABCD是矩形时，证明四边形CODP是菱形；
（2）当四边形ABCD是菱形时，且AC＝12，BD＝16．求点O到点P的距离．
连续递推，豁然开朗
5.如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
求证：四边形为菱形；如果，，，求菱形的面积．
6.如图，在菱形中，对角线、相交于点．若，求菱形的周长．若，求证：四边形是矩形．
7．如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB和BC的中点，于点P，求∠FPC的度数．．
如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，， ．把该纸片沿折叠，若点，的对应点分别为，，的延长线过点，求的值
思维拓展，更上一层
9．如图，在△CDE中，CD=1，∠CDE=45°，分别以CD，CE为边向外作正方形ABCD， CEFG。若AE=BD，求EF2的值。
10．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，求的最小值．
11．如图，在四边形纸片中，，，，．将纸片先沿对折，再将对折后的纸片沿过顶点A的直线裁剪，剪开后的纸片打开铺平，其中有一个图形是周长为的平行四边形，求CD的长度．
12.如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，求点M经过的路径的长
参考答案
1.CM=
2．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，∴在Rt△CEO中，由勾股定理可知：，
3．解：∵□ABCD，∴OB=OD，ABCD，∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴S△BOE=S△DOF，∴S阴影=2S△BOE，
∵，∴S△BOE=S△AOB，∵□ABCD，
∴S△AOB=，∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
4．（1）证明：∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∴四边形CODP是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DOC＝90°,∴平行四边形OCPD是矩形，如图：
连接OP,则OP＝CD,∵AC＝12,BD＝16,∴OC＝6,OD＝8,∴CD＝＝＝10,∴OP＝10．
解：，四边形是平行四边形
平分
且四边形为平行四边形四边形为菱形；
如图：过点作于点
，，
，
，，且，
四边形为菱形
6．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，∴，∵的平分线交于点E，
∴，∴，∴，
同理可得，∴，∴四边形是平行四边形，
∵．∴四边形是菱形；
（2）解：作于G，
∵四边形是菱形，，∴，，，
∴，∵，
∴即，解得 ，
∴
7.解：延长EF交DC的延长线于H点．
∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，
∴∠B=80°，BE=BF．∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°．∵AB∥DC，∴∠FHC=∠BEF=50°．
又∵BF=FC，∠BFE=∠CFH，∠B=∠FCH，∴△BEF≌△CHF(AAS)．∴EF=FH．
∵EP⊥DC，∴∠EPH=90°．∴EF=FP=FH，则∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．故答案为：50°．
8.【解析】 过E作EN⊥AD，EM⊥CD，
∵∠CDN=45°，∴四边形DMEN为正方形，
设DN=x，∴EN=DM=EM=x，∵AE=BD=CD=，
在Rt△AEN中，∵AN2+EN2=AE2，即（1+x）2+x2=2，
解得x=或（舍），
∵在Rt△CME中，∵CM2+EM2=CE2，即CE2=（+1）2+（）2=4-2，
∵四边形CEFG为正方形，∴EF2=4-2，
故答案为： .
9.解：如图，连接、，
由题意知，的延长线过点，四边形是矩形，则四个角都是直角，
设，，，，，，，，
该矩形纸片沿折叠，，，，，
，在中有，， ，解得，
在中有，，在中有，
， ，又，
，解之得，．
10解：过点作于点，连接，
四边形是正方形，，，
，，
四边形是矩形，，，
，，
设则
，当时，有最小值为．故选：D．
11．【详解】如图，当沿从A出发的直线裁剪，四边形是平行四边形，
根据裁剪可知：，∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，∵四边形周长为，
∴，∵，，∴，
∵在平行四边形中，，∴，
∴在中，，∴，
∵，
∴，∴，
12【详解】解：如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
∵△APC、△BPD都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，∴四边形CPDH是平行四边形，∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，∴cm，
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标记符号，厘清关系专项训练(3)
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，求AD的长．
2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．
3.如图，在中，，点是中点，，．
求证：四边形是菱形；
过点作于点，，，求的长．
4．如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
连续递推，豁然开朗
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，求CE的长度
6．如图，矩形ABCD中，，，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
8．如图，在矩形 中，点 在 边上， 于 ，若 ， ，求线段 的长
思维拓展，更上一层
9. 如图，在矩形中，，，是上一动点，于，于，的值
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝10，CN＝16，求线段AN的长．
如图，在正方形所在平面内求一点，使点与正方形的任意两个顶点构成，，，均是等腰三角形，画出满足上述条件的所有点．
12．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，求线段长度的最小值．
参考答案
1．【详解】∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°，∴,
∵∠B=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴BE=AE=3,
∴BC=BE+CE=7，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=7，
2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，
∴BC＝＝5cm，∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，∴BC×AE＝24，∴AE＝cm．
3.证明：，，四边形是平行四边形，
，点是的中点，，平行四边形是菱形；
解：，，是等边三角形，，，
，，，，
四边形是菱形，，．
4．【详解】（1）证明：在中，D是的中点，
∴，∵，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形，
又，点D是的中点，即垂直平分，∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图，过点A作于点G，
由（1）知四边形是菱形，又，，
∴，，，
∴，∵，∴，∴，
∴，，∵，∴，
∴，∴．
5．【解析】作EH⊥BD于H，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝5，∵BE平分∠CBD，∴∠EBC＝∠EBH，
在△EBH和△EBC中，，∴△EBH≌△EBC，
∴BC＝BH＝4，EC＝EH，设EC＝EH＝x，在Rt△DEH中，
∵DE2＝DH2+EH2，∴（3﹣x）2＝12+x2，∴x＝，∴CE＝，
6解（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点
∴，
在和中∴（ASA）
∴∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，∴，
又∵，∴，
设，则在中，∴
在中，∴．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°，∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，∴CD2+CF2＝DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，∴CE＝＝＝，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝，
∴BC＝＝＝，∴EF＝．
8【解析】连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BCD=90°，∴∠ADE=∠DEC，
∵DF⊥AE，∴∠DFE=90°，∵FE=CE，∵DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴∠FED=∠DEC，∴∠FED=∠ADE，
∴AE=AD，∴BE=BC-EC=AE-EC，
在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2=AE2，
即32+（x-1）2=x2，解得：x=5，所以AE=5，∴AF=AE-EF=5-1=4，
9.解：如图，过点作于，连结，，，
，，
即，解得．
在矩形中，，，
．
10．．解：如图，连接AE，AF，EN，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，∴△EAF为等腰直角三角形，∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，设DN＝x，∵BE＝DF＝10，CN＝16，∴CD＝CN+DN＝x+16，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+10，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+16﹣10＝x+6，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2，
即162+（x+6）2＝（x+10）2，解得：x＝24，
∴DN＝24，AD＝BC＝BE+CE＝10+x+6＝40，
∴AN＝＝＝8，
11解：如图，作的中垂线，
①分别以为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，
根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足，，，均是等腰三角形；
②两条中垂线的交点，也满足，，，均是等腰三角形；
∴满足条件的所有点的个数为：；
12.解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，∵， ∴，又，
∴，在和中，，∴，
∴，，∴，
∵C，M位置固定，∴，即，
∴，即的最小值为，故答案为：．
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标记符号，厘清关系 专项训练（4）
夯实基础，稳扎稳打
1、如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，求BC的长度．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，
若∠BAD＝60°，AD＝2，求OH．
3、如图，在矩形中，的角平分线交于点，连接，恰好平分，若，求的长．
4.如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分．
求证：四边形是菱形；
过点作，交的延长线于点，连接，若，，求菱形的边长．
连续递推，豁然开朗
5.如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形；若，，求的值．
6.如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求长
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．
8.如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，与交于点．求证：；求线段的长．
思维拓展，更上一层
9．如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，求菱形的面积
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，求EF的最小值
11.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，，，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，求线段PE的长
12．如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，求a与b关系式
参考答案
1.BC=8
2.解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∵，∴．
3、解：∵四边形ABCD为矩形，∴，，，
∵，BE是的角平分线，∴，∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，∴，∵EC平分，∴，
∴，∴，∴，∴，
4.证明：，，平分，，
，，，，又，
四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，，
，，，．
在中，由勾股定理得：，菱形的边长为．
5.证明：四边形是菱形，，，，
，四边形是平行四边形；
解：由得：四边形是平行四边形，，四边形为菱形，
，，，，
在中，由勾股定理得：．
6.解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=10-8=2，设CE=x，则DE=EF=6-x，
在Rt△ECF中，，∴，解得x=，∴DE=6-x=，
7．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，∴CE＝
8.证明：四边形是矩形，
，，，根据题意得：≌，
，，，
在和中，，≌，
，，，；
解：如图所示，四边形是矩形，
，，，
根据题意得：≌，
，，，
由知，又，，
设，则，，
，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，．
9【解析】∵四边形是菱形，
∴，AC平分∠DAB，∵，
∴，∵，，∴，，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∴在Rt△DEF中，，
∵的周长为，即，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴；
10．．解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，
AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，
11、解：如图，取OD的中点H，连接HP
∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点
∴OH=3，OE=3，，∴EH＝6，
在中，由勾股定理可得：
∴
12．解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，，
是等腰三角形，且，，
，，
与的面积之差为
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，，
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