2022-2023学年浙教版数学八年级下册5.2菱形 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·平谷期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
2．（2022八下·环翠期末）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
3．（2022八下·偃师期末）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直、平分且相等
4．（2022八下·官渡期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八下·石家庄期末）如图，下列条件中能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八下·西山期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若菱形的周长为16，OE的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
7．（2022八下·东港期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
8．（2022八下·威县期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
9．（2022八下·潜山期末）如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八下·沭阳期末）如图，将矩形纸片 分别沿 、 折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：①四边形 为菱形，② ，③若 ，则四边形 的面积为 ，④ ，其中正确的说法有（ ）个.
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．（2017八下·桂林期末）如图，四边形ABCD是菱形，如果AB=5，那么菱形ABCD的周长是 ．
12．（2020八下·长沙期中）如图，在菱形 中， ， ，则菱形 的面积为 ．
13．（2020八下·东台期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于点H，则DH的长为 .
14．（2022八下·巴彦期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
15．（2022八下·德阳期末）如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝ 度．
16．（2022八下·临海期末）小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
三、作图题
17．（2022八下·香坊期末）如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，．
⑴在图中画出以为边的，使为钝角，平行四边形周长为；
⑵在图中画出以为边的菱形，使其面积为20；
⑶连接，请直接写出线段的长．
四、解答题
18．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
19．（2021八下·武昌期末）如图，在 中， ， 为 边上的中线，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 .求证：四边形 为菱形.
20．（2021八下·岱岳期末）如图，在四边形 中， 是 的垂直平分线， 是 上一点， 交 于 ，连接 ． ，试证明四边形 是菱形．
21．（2022八下·盘龙期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22．（2023八下·盐城月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长.
23．（2022八下·越城期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】因为平行四边形的对角线互相平分，菱形具有平行四边形的性质且对角线互相垂直，
所以选项A不符合题意，选项C符合题意；
因为对角线相等、四个角都相等的是矩形或正方形，
所以选项B、D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据菱形和平行四边形的性质求解即可。
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定相互垂直，不符合题意；
B、矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线都互相平分，符合题意；
D、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定相互垂直，矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等；菱形的性质：对边平行，四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分且每条对角线平分每一组对角，据此即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、图形四条边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
B、，
对边平行，
这组对边相等，且四边形邻边相等，
故为菱形，本选项不符合题意；
C、图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项符合题意；
D、图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、AB=CD不能判定 ABCD是菱形，故不符合题意；
B、AC=BD只能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、∠BAD=90°只能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB=BC能判定 ABCD是菱形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法求解即可。
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝BC＝2，
故答案为：A．
【分析】先证明OE是△BCD的中位线，再利用中位线的性质可得OE＝BC＝2。
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH=2×4=8，
∴菱形ABCD的面积=
故答案为：B．
【分析】先求出AC和BD的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∵BM=DN，
∴OM=ON，
∵OA=OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC=∠NAC，
∵∠AOM=∠AON=90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM=ON，
∵OA=OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合图形求解即可。
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，过，垂足为，交于点，
当点与点重合，过作的垂线并延长交于点，有最小值，最小值．
菱形的周长为24，
，，
是等边三角形，
，
，垂足为，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：A．
【分析】连接AC，交BD于点O，过，垂足为，交BD于点P，先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出AE'的长即可。
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD分别沿AE 、 CF折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，
∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，
∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，
∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，
∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，
∴AE∥CF，AE=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
∵∠BAE=30°，∠B=90°，
∴∠AEB=60°，
∴∠AEC=120°，故②正确；
设BE=x，
∵∠BAE=30°
，∴AE=2x，
∴x2+22=（2x）2，解得 ，
∴OE+BE= ，
∴S菱形AECF= ，故③正确；
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴BC= ，
∴AB：BC=1： ，故④错误；
综上，正确的结论为①②③.
故答案为：B.
【分析】易得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，由平行线的性质及含30°角直角三角形的性质可得∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，易得AE∥CF，AE=CE，则四边形AECF是平行四边形，然后根据AE=CE以及菱形的判定定理可判断①；根据余角的性质可得∠AEB=60°，结合邻补角的性质可判断②；设BE=x，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=2x，根据勾股定理求出x的值，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可判断③；易得AC=2AB，根据勾股定理可得BC=AB，据此判断④.
11．【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴菱形的周长为20，
故答案为20
【分析】依据菱形的四条边相等可得到BC=AB=CD=AD=5，然后再求得菱形的周长即可.
12．【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴菱形的面积= AC BD= ×4×10=20．
故答案为：20．
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，得出菱形的面积= AC BD，即可得出结果．
13．【答案】4.8cm
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，
∴AB＝5cm，
∴S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DH，
∴DH＝ ＝4.8cm.
【分析】根据菱形的性质可得AB＝5cm，根据菱形的面积公式可得S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DH，即DH＝ ＝4.8cm.
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，
设AE＝x，则AB＝CE＝5x，
∴CO＝AC＝3x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，
∴OE＝2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，
DE＝＝，
故答案为：2．
【分析】根据题意先求出OD＝4，AE＝1，CE＝5，再利用勾股定理计算求解即可。
15．【答案】30
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，AC=AB，
∴AD=CD=AB=AC，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠CED=60°，
∴AD=AC=CE=DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴∠DEA= ∠CED=30°.
故答案为：30.
【分析】连接AC，根据菱形的性质结合已知条件AC=AB可得AD=CD=AB=AC，根据等边三角形的性质可得DE=CD=CE，∠CED=60°，则AD=AC=CE=DE，推出四边形ACED是菱形，根据菱形的性质可得∠DEA=∠CED，据此计算.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点A作于M，过点G作于N，连接GM，
四边形EFGH是矩形，
，
，
，，
四边形ABCD是菱形，，
，，，
，，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
同理：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，根据矩形的四个角都是直角可得∠AFB=∠AED=∠BGC=∠CHD=90°，结合FA=FB，利用勾股定理可得AB，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，则∠CBG=15°，∠DAF=75°，易得∠ADE=∠CBG，∠DAE=∠BCG，证明△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，根据三角函数的概念可得AM，然后求出BM、GN，根据S矩形EFGH=S菱形ABCD-2S△ABF-2S△BCG进行计算.
17．【答案】解：( 1 )由图可知：
∵平行四边形的周长为
∴AD=3
如图所示：
( 2 )由图可知：
∵菱形面积为20
∴菱形的高=
菱形EFGH如图所示：
( 3 )
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值，再求出AD=3即可；
（2）利用勾股定理求出EF=5，再根据菱形的面积公式计算求解即可；
（3）求出即可作答。
18．【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
19．【答案】证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形.
又∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD= AB.
又∵CD为AB边上的中线
∴BD= AB，
∴BD=CD，
∴平行四边形BECD是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB=BD，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BECD是菱形.
20．【答案】证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴AB∥CD，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明△ABF≌ADF，再求出AB//CD，最后证明求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BO的长，再利用，将数据代入求出即可。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝OB＝1，
∴OC＝=，
∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AE==，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分得 AC⊥BD，AO＝OC＝AC， 结合已知推出DE＝OC，DE∥OC， 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形OCED是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC， 结合已知推出△BCD是等边三角形， 得BD＝BC＝2， 用勾股定理算出OC的长，从而可得AC的长，由矩形的性质得 CE＝OD＝1，∠OCE＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理算出AE即可.
23．【答案】（1）①证明：∵菱形ABCD，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵矩形EFGH，
∴FG∥EH，
∴∠EGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠EGA，即∠FAG=∠EGA，
∴FA=FG；
②解：如图1，连接BG，
∵FG∥BC，G为AC中点，
∴FG为△ABC中位线，
∴F为AB的中点，
∵G为AC中点，BA=BC，
∴BG⊥AC，即∠BGA=90°，
∴FG=BF.
（2）解：如图2，点E在BC上运动，过点E作边BC的垂线EF交AD于点F，交AC于点O，在EF的右侧作矩形EFGH，再过点A作AM⊥BC于点M，
∵S菱形ABCD＝60，AB=10
∴S△ABC=30，BC＝10，
∴AM=6，
∴BM==8，
∴MC=2，
∵矩形EFGH，
∵AF∥EC，AM⊥ME，
∴四边形AMEF为矩形，
∴AF=ME，AF∥ME，
又∵∠AOF=∠COE，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=EC，
∴ME=EC=1，
∴AF=1，
又∵EF=FG，EF=AM=6，
∴AG=AF+FG=1+6=7.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①由菱形性质推出∠BAC=∠BCA，由矩形性质推出∠EGA=∠BCA，即得∠BAC=∠EGA，从而得∠FAG=∠EGA，进而推出FA=FG；②如图1，连接BG，易得FG为△ABC中位线，即得F为AB的中点，再由等腰三角形三线合一可得BG⊥AC，即∠BGA=90°，再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可推出FG=BF；
（2）如图2，点E在BC上运动，过点E作边BC的垂线EF交AD于点F，交AC于点O，在EF的右侧作矩形EFGH，再过点A作AM⊥BC于点M，由菱形性质推出S△ABC=30，BC＝10，由三角形面积公式可计算出AM=6，由勾股定理求得BM=8，从而得MC=2，由矩形AMEF性质，易推出四边形AMEF为矩形，则AF=ME，AF∥ME，又∠AOF=∠COE，OA=OC，可推出△AOF≌△COE，即得AF=EC，求得AF=1，再根据EF=FG，EF=AM=6，代入AG=AF+FG中，即可求出AG的长.
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册5.2菱形 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·平谷期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】因为平行四边形的对角线互相平分，菱形具有平行四边形的性质且对角线互相垂直，
所以选项A不符合题意，选项C符合题意；
因为对角线相等、四个角都相等的是矩形或正方形，
所以选项B、D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据菱形和平行四边形的性质求解即可。
2．（2022八下·环翠期末）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
3．（2022八下·偃师期末）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直、平分且相等
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定相互垂直，不符合题意；
B、矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线都互相平分，符合题意；
D、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定相互垂直，矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等；菱形的性质：对边平行，四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分且每条对角线平分每一组对角，据此即可判断得出答案.
4．（2022八下·官渡期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、图形四条边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
B、，
对边平行，
这组对边相等，且四边形邻边相等，
故为菱形，本选项不符合题意；
C、图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项符合题意；
D、图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可。
5．（2022八下·石家庄期末）如图，下列条件中能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、AB=CD不能判定 ABCD是菱形，故不符合题意；
B、AC=BD只能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、∠BAD=90°只能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB=BC能判定 ABCD是菱形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法求解即可。
6．（2022八下·西山期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若菱形的周长为16，OE的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝BC＝2，
故答案为：A．
【分析】先证明OE是△BCD的中位线，再利用中位线的性质可得OE＝BC＝2。
7．（2022八下·东港期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH=2×4=8，
∴菱形ABCD的面积=
故答案为：B．
【分析】先求出AC和BD的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
8．（2022八下·威县期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∵BM=DN，
∴OM=ON，
∵OA=OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC=∠NAC，
∵∠AOM=∠AON=90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM=ON，
∵OA=OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合图形求解即可。
9．（2022八下·潜山期末）如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，过，垂足为，交于点，
当点与点重合，过作的垂线并延长交于点，有最小值，最小值．
菱形的周长为24，
，，
是等边三角形，
，
，垂足为，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：A．
【分析】连接AC，交BD于点O，过，垂足为，交BD于点P，先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出AE'的长即可。
10．（2022八下·沭阳期末）如图，将矩形纸片 分别沿 、 折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：①四边形 为菱形，② ，③若 ，则四边形 的面积为 ，④ ，其中正确的说法有（ ）个.
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD分别沿AE 、 CF折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，
∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，
∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，
∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，
∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，
∴AE∥CF，AE=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
∵∠BAE=30°，∠B=90°，
∴∠AEB=60°，
∴∠AEC=120°，故②正确；
设BE=x，
∵∠BAE=30°
，∴AE=2x，
∴x2+22=（2x）2，解得 ，
∴OE+BE= ，
∴S菱形AECF= ，故③正确；
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴BC= ，
∴AB：BC=1： ，故④错误；
综上，正确的结论为①②③.
故答案为：B.
【分析】易得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，由平行线的性质及含30°角直角三角形的性质可得∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，易得AE∥CF，AE=CE，则四边形AECF是平行四边形，然后根据AE=CE以及菱形的判定定理可判断①；根据余角的性质可得∠AEB=60°，结合邻补角的性质可判断②；设BE=x，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=2x，根据勾股定理求出x的值，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可判断③；易得AC=2AB，根据勾股定理可得BC=AB，据此判断④.
二、填空题
11．（2017八下·桂林期末）如图，四边形ABCD是菱形，如果AB=5，那么菱形ABCD的周长是 ．
【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴菱形的周长为20，
故答案为20
【分析】依据菱形的四条边相等可得到BC=AB=CD=AD=5，然后再求得菱形的周长即可.
12．（2020八下·长沙期中）如图，在菱形 中， ， ，则菱形 的面积为 ．
【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴菱形的面积= AC BD= ×4×10=20．
故答案为：20．
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，得出菱形的面积= AC BD，即可得出结果．
13．（2020八下·东台期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于点H，则DH的长为 .
【答案】4.8cm
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，
∴AB＝5cm，
∴S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DH，
∴DH＝ ＝4.8cm.
【分析】根据菱形的性质可得AB＝5cm，根据菱形的面积公式可得S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DH，即DH＝ ＝4.8cm.
14．（2022八下·巴彦期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，
设AE＝x，则AB＝CE＝5x，
∴CO＝AC＝3x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，
∴OE＝2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，
DE＝＝，
故答案为：2．
【分析】根据题意先求出OD＝4，AE＝1，CE＝5，再利用勾股定理计算求解即可。
15．（2022八下·德阳期末）如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝ 度．
【答案】30
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，AC=AB，
∴AD=CD=AB=AC，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠CED=60°，
∴AD=AC=CE=DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴∠DEA= ∠CED=30°.
故答案为：30.
【分析】连接AC，根据菱形的性质结合已知条件AC=AB可得AD=CD=AB=AC，根据等边三角形的性质可得DE=CD=CE，∠CED=60°，则AD=AC=CE=DE，推出四边形ACED是菱形，根据菱形的性质可得∠DEA=∠CED，据此计算.
16．（2022八下·临海期末）小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点A作于M，过点G作于N，连接GM，
四边形EFGH是矩形，
，
，
，，
四边形ABCD是菱形，，
，，，
，，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
同理：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，根据矩形的四个角都是直角可得∠AFB=∠AED=∠BGC=∠CHD=90°，结合FA=FB，利用勾股定理可得AB，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，则∠CBG=15°，∠DAF=75°，易得∠ADE=∠CBG，∠DAE=∠BCG，证明△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，根据三角函数的概念可得AM，然后求出BM、GN，根据S矩形EFGH=S菱形ABCD-2S△ABF-2S△BCG进行计算.
三、作图题
17．（2022八下·香坊期末）如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，．
⑴在图中画出以为边的，使为钝角，平行四边形周长为；
⑵在图中画出以为边的菱形，使其面积为20；
⑶连接，请直接写出线段的长．
【答案】解：( 1 )由图可知：
∵平行四边形的周长为
∴AD=3
如图所示：
( 2 )由图可知：
∵菱形面积为20
∴菱形的高=
菱形EFGH如图所示：
( 3 )
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值，再求出AD=3即可；
（2）利用勾股定理求出EF=5，再根据菱形的面积公式计算求解即可；
（3）求出即可作答。
四、解答题
18．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
19．（2021八下·武昌期末）如图，在 中， ， 为 边上的中线，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 .求证：四边形 为菱形.
【答案】证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形.
又∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD= AB.
又∵CD为AB边上的中线
∴BD= AB，
∴BD=CD，
∴平行四边形BECD是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB=BD，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BECD是菱形.
20．（2021八下·岱岳期末）如图，在四边形 中， 是 的垂直平分线， 是 上一点， 交 于 ，连接 ． ，试证明四边形 是菱形．
【答案】证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴AB∥CD，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明△ABF≌ADF，再求出AB//CD，最后证明求解即可。
21．（2022八下·盘龙期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BO的长，再利用，将数据代入求出即可。
22．（2023八下·盐城月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝OB＝1，
∴OC＝=，
∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AE==，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分得 AC⊥BD，AO＝OC＝AC， 结合已知推出DE＝OC，DE∥OC， 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形OCED是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC， 结合已知推出△BCD是等边三角形， 得BD＝BC＝2， 用勾股定理算出OC的长，从而可得AC的长，由矩形的性质得 CE＝OD＝1，∠OCE＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理算出AE即可.
23．（2022八下·越城期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，S菱形ABCD＝60，点E从点B出发在边BC上向终点C运动．过点E作边BC的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．
①求证：FA＝FG；
②若点G是AC的中点，求证：BF＝FG；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
【答案】（1）①证明：∵菱形ABCD，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵矩形EFGH，
∴FG∥EH，
∴∠EGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠EGA，即∠FAG=∠EGA，
∴FA=FG；
②解：如图1，连接BG，
∵FG∥BC，G为AC中点，
∴FG为△ABC中位线，
∴F为AB的中点，
∵G为AC中点，BA=BC，
∴BG⊥AC，即∠BGA=90°，
∴FG=BF.
（2）解：如图2，点E在BC上运动，过点E作边BC的垂线EF交AD于点F，交AC于点O，在EF的右侧作矩形EFGH，再过点A作AM⊥BC于点M，
∵S菱形ABCD＝60，AB=10
∴S△ABC=30，BC＝10，
∴AM=6，
∴BM==8，
∴MC=2，
∵矩形EFGH，
∵AF∥EC，AM⊥ME，
∴四边形AMEF为矩形，
∴AF=ME，AF∥ME，
又∵∠AOF=∠COE，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=EC，
∴ME=EC=1，
∴AF=1，
又∵EF=FG，EF=AM=6，
∴AG=AF+FG=1+6=7.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①由菱形性质推出∠BAC=∠BCA，由矩形性质推出∠EGA=∠BCA，即得∠BAC=∠EGA，从而得∠FAG=∠EGA，进而推出FA=FG；②如图1，连接BG，易得FG为△ABC中位线，即得F为AB的中点，再由等腰三角形三线合一可得BG⊥AC，即∠BGA=90°，再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可推出FG=BF；
（2）如图2，点E在BC上运动，过点E作边BC的垂线EF交AD于点F，交AC于点O，在EF的右侧作矩形EFGH，再过点A作AM⊥BC于点M，由菱形性质推出S△ABC=30，BC＝10，由三角形面积公式可计算出AM=6，由勾股定理求得BM=8，从而得MC=2，由矩形AMEF性质，易推出四边形AMEF为矩形，则AF=ME，AF∥ME，又∠AOF=∠COE，OA=OC，可推出△AOF≌△COE，即得AF=EC，求得AF=1，再根据EF=FG，EF=AM=6，代入AG=AF+FG中，即可求出AG的长.
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