浙教数学九年级上第三章 圆的基本性质 综合素质评价(含答案）

九上·第3章 圆的基本性质 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知⊙O的半径为5 cm，点A是线段OP的中点，当OP＝8 cm时，点A与⊙O的位置关系是(　　)
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．不能确定
2．[2023·宁波余姚市期中]下列事件中，属于必然事件的是(　　)
A. 三个点确定一个圆
B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．平分弦的直径垂直于弦
D．直径所对的圆周角是直角
3．[2023·杭州临平区期中]如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为(　　)
A．18° B．25° C．30° D．45°
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为(　　)
A．π B. C．7π D．6π
5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
6．[2023·温州瑞安市期中]如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连结BE，DE.若∠A＋∠ABC＋∠ADC＝240°，则∠E＝(　　)
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转α得到菱形AB′C′D′，∠B＝β.若AC平分∠B′AC′，则α与β满足的数量关系是(　　)
A．α＝2β B．2α＝3β C．4α＋β＝180° D．3α＋2β＝180°
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为(　　)
A．16° B．21° C．32° D．37°
9．如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为(　　)
A．2 B. C．4 D．3
10．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(　　)
A. B．1 C．2 D．2
二、填空题(每题4分，共24分)
11．[2023·宁波余姚市月考]直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆的半径是________．
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，将AD绕点A顺时针旋转，点D落在BC上的点D′处，则∠DAD′＝________°.
13．如图，A，B，C为⊙O上的点，若∠ACB＝20°，则∠BAO的度数为________°.
14．如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过格点A，C，B的圆弧与BD交于点E，则阴影部分的面积为__________．(结果保留π)
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是________．
16．[2023·温州龙港市期中]如图，半圆O的直径为AB，AB＝2，点C是半圆O上的任意一点，点F是的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝________°；当DB＝DF时，BC的长为________．
三、解答题(17～19题每题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共66分)
17．[2023·台州期中]如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB，求证：CD＝AB.
18．如图，在⊙O中，已知AB＝AC，∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形．
(2)求∠APB的度数．
19．[2023·宁波余姚市月考]如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连结AO并延长交⊙O于点E，连结DE，AB＝4.
(1)求⊙O的半径．
(2)求DE的长．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．
(1)求证：点D是的中点．
(2)若AC＝OD＝6，求阴影部分的面积．
21．如图，在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E，连结BE，BC，CD.求证：
(1)AD∥BC.
(2)四边形BCDE为菱形．
22．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC边上取一点O，以点O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过点A.
(1)若⊙O的半径为5，求线段OC的长．
(2)过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连结BD，求的值．
23．如图是一拱形桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.
(1)求桥拱所在圆的半径．
(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．
24．【问题提出】
如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD.
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC.
∵M是的中点，∴＝，
∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程)
【推广运用】
如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________．
【拓展研究】
如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由．
INCLUDEPICTURE "../../七八九/4章上.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../4章上.EPS" \* MERGEFORMAT \d 答案
一、1.C　2.C　3.A
4.C　【点拨】连结OA，
∵半径OC⊥AB，
∴2AE＝AB.
∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3.
在Rt△AOE中，OA＝5，
∴AE＝＝4，
∴AB＝2AE＝8.
5.D　6.B
7．C　【点拨】∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B′AC＝∠C′AC.
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB′＝∠DAC′.
由旋转的性质，得∠BAB′＝∠C′AC＝α.
∴∠BAB′＝∠B′AC ＝∠C′AC＝∠DAC′＝α.
∴∠BAD＝4α.∵AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B ＝180°，即4α＋β＝180°.
8.B
9.B　 【点拨】过点O作OD⊥BC.
∵BC是⊙O的一条弦，BC＝6，
∴点O在BC的垂直平分线上，BD＝BC＝×6＝3.
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴A，O，D三点共线．
易得∠BAD＝∠ABC＝45°，
∴AD＝BD＝3.
又∵OA＝1，∴OD＝AD－OA＝3－1＝2.连结OB，
在Rt△OBD中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径为.
10．A　 【点拨】如图，作点B关于MN的对称点B′，连结OA，OB，OB′，AB′，易知点B′在⊙O上，当点P为AB′与MN的交点时，PA＋PB的值最小，此时PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′，
∵∠AMN＝30°，
∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°.
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°.
由轴对称的性质可得∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°.
又∵OA＝OB′＝1，
∴AB′＝＝，
即PA＋PB的最小值为.
二、11.或6
12．30　 【点拨】由旋转的性质得AD′＝AD＝2.
取AD′的中点E，连结BE，
∵AB＝1，∠ABD′＝ 90°，
∴BE＝AE＝AD′＝1＝AB，
∴∠BAE＝60°，
∴∠DAD′＝30°.
13．70
14. －　 【点拨】如图，连结AD，AE，取AB的中点F，连结EF.
∵AD＝＝，AB＝＝，
BD＝＝，
∴AD＝AB，AD2＋AB2＝BD2.
∴∠BAD＝90°，∴∠ABE＝45°.
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆弧所在圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝45°.
∵点F为AB的中点，
∴EF＝BF＝AB＝，点F为圆弧所在圆的圆心．
∴∠EFB＝2∠BAE＝90°，S阴影＝S扇形EFB－S△EFB.
∴S阴影＝－××＝－.
15．30°
16．135； 　【点拨】∵AB是半圆O的直径，AB＝2 ，∴∠ACB＝90°，OA＝AB＝.
∴∠ABC＋∠CAB＝90°.
∵点F是的中点，∴＝.
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB，
∴∠ABF＋∠BAD ＝(∠ABC＋∠CAB)＝45°，
∴∠ADB＝180°－(∠ABF＋∠BAD)＝135°.
∴∠ADF＝180°－∠ADB＝45°.
如图，连结AF，OF，OF交AC于点M，
则OF＝OA＝.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAD＝45°＝∠ADF，
∴AF＝DF.
又∵DB＝DF，∴BF＝2DF＝2AF.
在Rt△ABF中，BF2＋AF2＝AB2，即5AF2＝20，∴AF＝2.
∵点F是的中点，
∴OF⊥AC，∴∠AMO＝∠AMF＝90°.
设OM＝x，则FM＝OF－OM＝－x.
在Rt△AOM中，AM2 ＝OA2－OM2 ＝()2－x2，
在Rt△AFM中，AM2 ＝AF2－FM2 ＝22－(－x)2，
∴()2－x2＝22－(－x)2.
解得x＝，∴OM＝.
∵OF⊥AC，∴点M是AC的中点，
又∵点O是AB的中点，
∴OM是△ABC的中位线，
∴BC＝2OM＝.
三、17.【证明】∵∠ABD＝∠CDB，
∴＝， ∴＋＝＋，即＝.
∴CD＝AB.
18．(1)【证明】∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°.
又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
(2)【解】由(1)知△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵四边形 APBC 是⊙O的内接四边形，
∴∠APB＋∠ACB＝180°.
∴∠APB＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°.
19.【解】(1) ∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，AB＝4 ，
∴AD＝BD＝AB＝2 ，OD＝OC.
设⊙O的半径为x，则OC＝OA＝x，∴OD＝x.
在Rt△AOD中，AD2＋OD2＝OA2，
∴(2 )2＋＝x2，
解得x1＝4，x2＝－4(舍去)，
∴⊙O的半径是4.
(2)连结BE，由(1)知OA＝OE＝4，OD＝2，
又∵AD＝BD，
∴OD是△ABE的中位线，
∴BE＝2OD＝4.
∵AE是直径，∴∠B＝90°，
∴DE＝＝＝2 .
20. (1)【证明】连结CO，
∵AC∥OD，∴∠A＝∠DOB，∠ACO＝∠DOC.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，
∴∠DOB＝∠DOC，
∴＝，∴点D是的中点．
(2)【解】∵OC＝OA＝OD＝AC＝6，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S扇形AOC＝＝6π.
过点 C作CE⊥AB于点E，则∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝×6＝3.
∴CE＝＝3 ，
∴S△AOC＝OA·CE＝×6×3 ＝9 ，
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝6π－9 .
21. 【证明】(1)如图，连结 BD，
∵＝，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC.
(2)如图，设OC与BD相交于点F.
∵＝，OC是⊙O的半径，
∴BC＝CD，DF＝BF.
又∵∠DFE＝∠BFC，∠EDF＝∠CBF，
∴△DEF≌△BCF.
∴DE＝BC.
∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．
又∵BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形．
22. 【解】(1)∵在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°.
∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠ABC＋∠BAO＝60°，
∴∠OAC＝90°.
在Rt△OAC中，∠ACB＝30°，∴OC＝2OA.
∵OA＝5，∴OC＝10.
(2)如图，连结OD.
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠AOC＝60°，
∠DOB＝∠ADO.
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝60°.∴∠DOB＝60°.
又∵OD＝OB，∴△DOB 是等边三角形．
∴BD＝OB＝OA.
在Rt△OAC 中，OC＝2OA，OA2＋AC2＝OC2，
∴AC＝OA＝BD，∴＝.
23. 【解】如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．
过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，
连结AE，则CF＝20 m.
由垂径定理知AF＝AB＝40 m.
设桥拱所在圆的半径是r m，
在Rt△AFE中，
由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，
即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.
答：桥拱所在圆的半径为50 m.
(2)这艘轮船能顺利通过．
理由如下：如图，假设MN＝60 m，且MN∥AB.
连结EM，设EC与MN的交点为D，
∵EC⊥AB，∴DE⊥MN，∴DM＝MN＝30 m.
∴DE＝＝＝40(m)．
∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，
∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．
∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．
24. 【解】【问题提出】∵∠MAC＝∠MBC，
∴∠EAM＝180°－∠MAC＝180°－∠MBC.
又∵∠BAM＝180°－∠MCB，
∴∠EAM＝∠BAM.
在△EAM 和△BAM 中，
∴△EAM≌△BAM，
∴ME＝MB＝MC.
又∵MD⊥AC，∴ED＝CD，
∴CD＝AE＋AD＝AB＋AD.
【推广运用】1＋
【拓展研究】不成立，AD＝AB＋CD，
理由：如图，延长MD交⊙O于点E，连结EA，EC，EB，
EB交AC于点N.
∵M是的中点，∴＝.
∴∠BEM＝∠CEM.
在△EDN 和△EDC 中，
∴△EDN≌△EDC，
∴ND＝CD，∠END＝∠ECD.
又∵∠ECD＝∠ABE，∠END＝∠ANB，
∴∠ANB＝∠ABE，∴AN＝AB，
∴AD＝AN＋ND＝AB＋CD.