浙教数学九年级上第一章 二次函数综合素质评价(含答案）

九上·第1章 二次函数 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)　
1．下列各式中，y是x的二次函数的是(　　)
A．y＝3x B．y＝x2＋(2－x)x
C．y＝(x－1)2 D．y＝ax2＋bx＋c
2．对于二次函数y＝－(x－1)2＋4的图象，下列说法正确的是(　　)
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝－1
C．与y轴的交点坐标是(0，4)
D．在x轴上截得的线段长度是4
3．对于二次函数y＝x2＋bx＋c，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 5 …
该二次函数图象的对称轴是直线(　　)
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，当y＞0时，x的取值范围是(　　)
A．x＜－3 B．x＞1
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
5．[2023·杭州模拟]地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示(其中P是该抛物线的顶点)，则下列说法正确的是(　　)
A. 小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
6．将函数y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，所得图象的函数表达式是(　　)
A．y＝3(x－2)2－5 B．y＝3(x－2)2＋5
C．y＝3(x＋2)2－5 D．y＝3(x＋2)2＋5
7．[2023·金华义乌市模拟]已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为(　　)
A. 或4 B．或－ C．－或4 D．－或4
8．[2023·杭州期中]已知二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x10，当x＝3时，y<0，且mA. 3 B．5 C．7 D．9
9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，3)，(0，4)之间(包含端点)，则下列结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③－≤a≤－1；④a＋b≥am2＋bm(m为任意实数)；⑤方程|ax2＋bx＋c|＝n有四个不相等的实数根．其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2 cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1 cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2 cm/s的速度沿A→B→C→D的方向运动，当其中一点到达点D时，两点都停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是(　　)
二、填空题(每题4分，共24分)
11．已知函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝________；当112．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解是________．
13．[母题：教材P23作业题T3]已知点(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)在二次函数y＝－2x2－8x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________．
14．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D，E是线段AC的三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形，则AC＝________时，四个正方形的面积之和最小．
15．对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；③若图象向左平移3个单位后过原点，则m＝－1；④若x＝4时的函数值与x＝100时的函数值相等，则当x＝104时，函数值为－3.其中说法正确的序号是________．
16．[2023·金华义乌市期中]如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．
(1)如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC，BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连结PA，PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时，点O，P之间的距离是________．
(2)如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF(E在F右侧)，用固定材料连结AE，BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时，点O，E之间的距离是________．
三、解答题(17～19题每题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共66分)
17．在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)和点B(0，－3)．
(1)求此二次函数的表达式．
(2)设此二次函数图象的顶点为C，写出另一个过点C的二次函数的表达式．
18．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
(1)用描点法画出它的图象．
(2)该二次函数的顶点坐标是________，点P(2，3)________(填“在”或“不在”)该二次函数的图象上．
19．如图，抛物线y1＝－2x2＋2与直线y2＝2x＋2交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)若y1>y2，请直接写出x的取值范围．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为25 m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边利用墙，另三边一共用了46 m木栏．
(1)若所围成的矩形菜园的面积为280 m2，求所利用旧墙AD的长．
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2m＋1与x轴交于A，B两点．
(1)若AB＝2，求m的值．
(2)过点P(0，2)作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N.当MN≥2时，求m的取值范围．
22．[2023·宁波余姚市模拟]某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现每天的销售量y(本)与销售单价x(元)的关系如下表：
x(元) 32 33 34 35
y(本) 420 410 400 390
(1)请你根据表格写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当销售单价是多少元时，商店每天获利3 400元？
(3)将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w(元)最大？最大利润是多少元？
23．[2022·温州二模]如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为 (－3，0)．
(1)求点B的坐标．
(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的表达式．
②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
24．已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝a(x－1)2＋k(a，k均为常数，且a≠0)上，L交y轴于点C，连结CP.
(1)用含a的式子表示k，并求L的对称轴．
(2)当L经过点(4，－7)时，求此时L的表达式及其顶点坐标．
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a<0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求a的取值范围．
(4)若L上两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足：对于t≤x1≤t＋1，x2≥3时，均有y1≥y2成立，求出t的取值范围．
INCLUDEPICTURE"2章上.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0％\\初中\\23秋 典中点 9 数学 ZJ\\2章上.EPS" \* MERGEFORMATINET 答案
一、1.C　2.D　3.C　4.D　5.B
6．B　【点拨】按照“左加右减，上加下减”的规律可知y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到y＝3(x－2)2＋5的图象．
7．D　【点拨】二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)的对称轴为直线x＝1.
(1)当a>0时，当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取得最小值，
∴a(1－1)2－a＝－4，∴a＝4；
(2)当a<0时，当－1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取得最小值，
∴a(4－1)2－a＝－4，∴a＝－.
综上所述，a的值为－或4.
8．C
9．B　【点拨】抛物线开口向下，∴a<0.
∵顶点坐标为(1，n)，
∴对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，
∴b＝－2a>0.
∵与y轴的交点在(0，3)，(0，4)之间(包含端点)，
∴3≤c≤4，
∴abc<0，故①错误；
2a＋b＝2a＋(－2a)＝0，故②正确；
∵与x轴交于点A(－1，0)，
∴a－b＋c＝0，
∴a－(－2a)＋c＝0，∴c＝－3a，
∴3≤－3a≤4，
∴－≤a≤－1，故③正确；
∵顶点坐标为(1，n)，∴当x＝1时，函数有最大值n，
∴a＋b＋c≥am2＋bm＋c，
∴a＋b≥am2＋bm，故④正确；一元二次方程 ax2＋bx＋c＝n有两个相等的实数根 x1＝x2＝1，ax2＋bx＋c＝－n有两个不相等的实数根，
∴方程|ax2＋bx＋c|＝n有三个不相等的实数根．故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④，共3个．
10．A　【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°.
当0≤x≤1时，如图①，AQ＝2x cm，AP＝x cm，过点P作PE⊥AB于点E，易得PE＝x cm.
∴y＝×2x·x＝x2，是开口向上的抛物线的一部分；当1∴y＝××2－×2×(x－1)－×(4－2x)·(2－x)＝－x2＋x，是开口向下的抛物线的一部分；当2如图③，CP＝(x－2)cm，CQ＝(2x－4)cm，
∴PQ＝(x－2)cm，过点A作AG⊥CD于点G，
易得AG＝ cm，
∴y＝×(x－2)·＝x－，是一条直线的一部分．
综上所述，只有A选项符合要求．
二、11.－1；增大　12.x1＝1，x2＝3
13．y315．①④　【点拨】①∵(－2m)2－4×1×(－3)＝4m2＋12>0，
∴它的图象与x轴有两个交点，故①正确；
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴对称轴x＝－≥1，解得m≥1，故②错误；
∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，
∴平移前的图象经过点(3，0)，
代入函数关系式，得32－2m·3－3＝0，解得m＝1，
故③错误；
∵当x＝4时的函数值与x＝100时的函数值相等，
∴对称轴为直线x＝＝52，
∴－＝52，
解得m＝52，
∴函数关系式为y＝x2－104x－3，当x＝104时，
y＝1042－104×104－3＝－3，故④正确．
综上所述，说法正确的是①④.
16．(1)4米　(2)米
三、17.【解】(1)把点A(1，0)和点B(0，－3)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴此二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3.
(2)y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，则此二次函数图象的顶点C的坐标为(－1，－4)．
另一个过点C的二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2－4(答案不唯一)．
18．【解】(1)列表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点，画图如图：
　
(2)(1，4)；在
19．【解】(1)由题可得
解得或
∴A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)．
(2)当y1>y2时，x的取值范围是－1＜x＜0.
20．【解】(1)设AB＝x m，则BC＝(46－2x＋2)m.
根据题意，得x(46－2x＋2)＝280，
解得x1＝10，x2＝14.
当x＝10时，46－2x＋2＝28>25，不合题意，舍去；
当x＝14时，46－2x＋2＝20<25，
∴所利用旧墙AD的长为20 m.
(2)设AD＝y m，矩形菜园ABCD的面积为S m2，
则S＝y(46－y＋2)＝－(y－24)2＋288.
∴当y＝24时，S取得最大值，为288，即矩形菜园 ABCD面积的最大值为288 m2.
21．【解】(1)抛物线y＝mx2－2mx－2m＋1的对称轴为直线
x＝－＝1.
∵点A，B关于直线x＝1对称，AB＝2，
∴抛物线与x轴交于点A(0，0)，B(2，0)．
将A(0，0)的坐标代入y＝mx2－2mx－2m＋1中，
得－2m＋1＝0，解得m＝.
(2)∵抛物线y＝mx2－2mx－2m＋1与x轴有两个交点，
∴(－2m)2－4m(－2m＋1)>0，解得m>或m<0.
①若m>0，则抛物线开口向上．
当MN≥2时，有－2m＋1≤2，解得m≥－，
∴m>；
②若m<0，则抛物线开口向下．
当MN≥2时，有－2m＋1≥2，
解得m≤－，∴m≤－.
综上所述，m的取值范围为m>或m≤－.
22．【解】(1)由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，设y＝kx＋b，
把(32，420)和(33，410)代入，得
解得
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，∴y＝－10x＋740(32≤x≤48)．
(2)由题意，可列方程(x－30)(－10x＋740)＝3 400，整理并化简，得x2－104x＋2 560＝0，解得x1＝40，x2＝64.
∵32≤x≤48，
∴当销售单价是40元时，商店每天获利3 400元．
(3)w＝(x－30)y＝－10x2＋1 040x－22 200＝
－10(x－52)2＋4 840，
∵a＝－10＜0，∴开口向下，
∵对称轴直线为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大，
∴当x＝48时，w最大＝－10×(48－52)2＋4 840＝4 680，
∴销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4 680元．
23．【解】(1)∵对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，
∴A，B两点关于直线x＝－1对称．
∵点A的坐标为(－3，0)，
∴点B的坐标为(1，0)．
(2)① 当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2＋bx＋c.
又∵对称轴为直线x＝－1，
∴－＝－1，解得b＝2，
∴y＝x2＋2x＋c.
将B(1，0)代入y＝x2＋2x＋c，得1＋2＋c＝0，解得c＝－3，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
②由(1)可得OB＝1.
∵抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，－3)，
∴OC＝3，设P点坐标为(x，x2＋2x－3)，
∵S△POC＝4S△BOC，
∴·OC·|x|＝4··OC·OB，
即×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，解得x＝±4，
当x＝4时，x2＋2x－3＝16＋8－3＝21，
当x＝－4时，x2＋2x－3＝16－8－3＝5，
∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)．
③QD的最大值为，点Q的坐标为.
【点拨】设直线AC的表达式为y＝kx＋t(k≠0)，
将A(－3，0)，C(0，－3)的坐标分别代入，
得解得
即直线AC的表达式为y＝－x－3，
设Q点坐标为(m，－m－3)(－3≤m≤0)，则D点坐标为(m，m2＋2m－3)，QD＝(－m－3)－(m2＋2m－3)＝－m2－3m＝
－＋，∴当m＝－时，QD有最大值，
∴此时Q.
24．【解】(1)将点P(2，－3)的坐标代入y＝a(x－1)2＋k，
得a＋k＝－3，∴k＝－3－a，
∵y＝a(x－1)2＋k，
∴L的对称轴为直线x＝1.
(2)将点(4，－7)，点P(2，－3)的坐标分别代入
y＝a(x－1)2＋k，
得解得
∴y＝－(x－1)2－，
∴顶点坐标为.
(3)易得抛物线的顶点坐标为(1，－a－3)，
∵a＋k＝－3，
∴y＝a(x－1)2＋k＝ax2－2ax＋a＋k＝ax2－2ax－3，
把x＝0代入得y＝－3，
∴C(0，－3)，
∵P(2，－3)，L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区
域内(含边界)恰有5个整点，
∴另外3个整点的横坐标一定为1，
∴－1≤－a－3<0，
∴－3(4)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
又∵x2≥3，∴点N一定在对称轴的右侧．
当a>0时，在对称轴的右侧， y随x值的增大而增大，
∴y2随x2的增大而增大，
∴y2没有最大值，
∴无论t取何值，都无法保证y1≥y2总成立；
当a<0时，在对称轴的右侧， y随x值的增大而减小，
∴当x2＝3时，y2取最大值，
∵(3，y2)关于直线x＝1的对称点为(－1，y2)，
∴当－1≤x1≤3时，y1≥y2总成立，
又∵t≤x1≤t＋1，
∴t≥－1且t＋1≤3，解得－1≤t≤2.
综上所述，t的取值范围为－1≤t≤2.