浙教数学九年级上第四章 相似三角形 综合素质评价(含解析）

　九上第4章 相似三角形 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列各组线段中，成比例的一组是(　　)
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
B．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6
C．a＝2，b＝，c＝2 ，d＝10
D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10
2．[母题：教材P125例1]如图，AB∥CD∥EF，若AC＝4，CE＝2，BD＝3，则BF的长为(　　)
A．1.5 B．2 C．4.5 D．5
3．若x＝＝＝，则x＝(　　)
A．－1或 B．－1 C． D．不能确定
4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是(　　)
A．∠ADC＝∠ACB B．＝
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB
5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8 cm，那么BP的长度是(　　)
A．(12－4 ) cm B．(9－4 ) cm
C．(4 －4) cm D．(4 ＋4) cm
6．有下列结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似．其中正确的结论有(　　)
A．①③⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．①②⑤
7．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，位似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－3，－2) B．(－12，－8)
C．(－3，－2)或(3，2) D．(－12，－8)或(12，8)
8.一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图(数据如图，单位：mm)，从图②闭合状态到图③打开状态，点B，D之间的距离减少了(　　)
A．25 mm B．20 mm C．15 mm D．8 mm
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，GF＝1，则BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．10 D．12
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C，M是线段AB上的一个动点，连结CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M，N在直线y＝kx＋b上，则b的最大值是(　　)
A．－ B．－ C．－1 D．0
二、填空题(每题4分，共24分)
11．若＝，则＝________．
12．[2023·嘉兴期中]已知a＝4，b＝16，则a，b的比例中项为________．
13．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为________．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为________．
15．在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子如图所示，其中竹竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.5 m，竹竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8 m，MN＝0.8 m，竹竿PQ的长度为________．
16．如图，将含30°角的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其他角的顶点分别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则的值为________．
三、解答题(17～19题每题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共66分)
17．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝48，＝＝，求△ABC三边的长．
18．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，如果AB＝9，AE＝4，AF＝3，那么FC的长是多少？
19.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)．
(1)将△OAB向右平移1个单位长度后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1.
(2)以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的位似比为2∶1.
20．[2023·金华武义县期末]如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点F.
(1)求证：＝.
(2)已知AB＝8，BC＝12，求AF的长．
21．九年级二班的兴趣小组想去测量学校旗杆的高度，如图所示，小逸同学的眼睛A与标杆顶端F、旗杆顶端E在同一直线上，已知小逸的眼睛到地面的距离(AB的长)为1.7 m，标杆FC的长为3.2 m，测得BC的长为2 m，CD的长为4 m，求旗杆ED的高．
22．如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连结EB，GD.
(1)求证：EB＝GD.
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
23．如图，在矩形ABCD中，已知 AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒 4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．
请解答下列问题：
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD 相似？
24．[2023·金华婺城区期中]三角形的布洛卡点由法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图①，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，则点P是△ABC的布洛卡点，α是布洛卡角．
(1)如图②，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是________；PA，PB，PC的数量关系是______________．
(2)如图③，点P为等腰直角三角形ABC(其中∠BAC＝90°)的布洛卡点．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为，求△PBC的面积．
答案
一、1.B　 2.C
3．A　 【点拨】当a＋b＋c＝0时，
∵b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c，
∴x＝＝＝＝－1，
当a＋b＋c≠0时，
x＝＝.
4．B　5.A　6.D　7.C　8.A
9．D　 【点拨】连结DE，
∵中线AD，BE相交于点 F，∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△ABF∽△DEF，∴＝＝＝，
∴＝＝.
∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，
∴＝＝.
∵GF＝1，∴DF＝2GF＝2，∴AD＝3DF＝6.
∵∠BAC＝90°，AD是中线，
∴BC＝2AD＝12.
10．A　 【点拨】连结AC，
∵A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3，0)，
∴AB＝OC＝3，OB＝AC＝2.
又∵∠COB＝90°，∴四边形ABOC是矩形，
∴∠A＝∠ABO＝90°，
∴∠BMN＋∠BNM＝90°.
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＋∠BMN＝90°，
∴∠AMC＝∠BNM，
∴△AMC∽△BNM，∴＝.
设BN＝m，AM＝n，则BM＝3－n，ON＝2－m，
∴＝，即m＝－n2＋n.
当n＝－＝时，m有最大值，
m最大＝－×＋×＝，
即BN的最大值为.
∵直线y＝kx＋b与y轴交于N(0，b)，当BN最大时，
ON最小，b的值最大，
∴ON最小＝OB－BN＝2－＝，此时N.
∴b的最大值为－.
二、11.　12.±8　13.　14.1
15．3.2 m　【点拨】如图，连结 AC，PM，过点 M作MF⊥PQ，垂足为F.
易得四边形FQNM是矩形，
∴FM＝QN＝1.8 m，FQ＝MN＝0.8 m.
∵同一时刻物体的影子与实际高度成比例，
∴＝，∴＝，∴PF＝2.4 m，
∴PQ＝PF＋FQ＝2.4＋0.8＝3.2(m)．
16.　【点拨】∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝＝.
∵∠EBF＝30°，∴BF＝2EF，
∴BE＝＝＝EF，
∴＝＝＝.设DF＝x，则AE＝x.
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝x，∴AB＝DE＝3x.
∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3x，
∴CF＝CD－DF＝3x－x＝2x，∴＝.
三、17.【解】设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
又∵a＋b＋c＝48，
∴3k＋4k＋5k＝48，∴k＝4，
∴a＝12，b＝16，c＝20.
18．【解】∵EF∥BC，∴＝，
即＝，∴AC＝，
∴FC＝AC－AF＝.
19．【解】(1)如图，△O1A1B1即为所求．
(2)如图，△O2A2B2和△O3A3B3即为所求．
20．(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠B＝∠BAD＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE＋∠EAD＝∠EAD＋∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，∴△ADF∽△EAB，∴＝.
(2)【解】∵E为BC的中点，
∴BE＝BC＝6，∴AE＝＝10.
∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，∴AD＝BC＝12.
∵＝，∴＝，∴AF＝7.2.
21．【解】过点A作AH⊥ED交ED于点H，交FC于点G.
由题意可得FC⊥BD，ED⊥BD，AB⊥BD，
∴FC∥ED，∴AH⊥FC，
∴∠ABC＝∠BCG＝∠CGA＝90°，
∠HGC＝∠GCD＝∠CDH＝90°.
∴四边形ABCG、四边形GCDH都是矩形．
∴HD＝GC＝AB＝1.7 m，
AG＝BC＝2 m，GH＝CD＝4 m.
∴FG＝FC－GC＝3.2－1.7＝1.5(m)，
AH＝AG＋GH＝2＋4＝6(m)．
∵FC∥ED，∴△AFG∽△AEH.
∴＝，即＝，
∴EH＝4.5 m.
∴ED＝EH＋HD＝4.5＋1.7＝6.2(m)．
答：旗杆ED的高为6.2 m.
22．(1)【证明】∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD.
∴△AEB≌△AGD. ∴EB＝GD.
(2)【解】连结BD交AC于点P，则BP⊥AC.
又∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，∴BP＝AB＝1，
∴AP＝＝.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 ∶2，
∴AE＝AB＝，
∴EP＝AE＋AP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝EB＝.
23．【解】(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.
∵△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，
∴CE＝CF.∴12－2t＝4t，解得 t＝2.
∴当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝24.
根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则＝，
∴＝.解得t＝3.
即当t＝3时，△EFC∽△ACD；
②若△FEC∽△ACD，则＝，
∴＝，解得t＝1.2，
即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.
综上，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD 相似．
24．【解】(1)30°；PA＝PB＝PC
【点拨】由题意知∠BAP＝∠CBP＝∠ACP，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，AB＝BC＝AC.
∴∠ABP＝∠BCP.
∴△APB≌△BPC.
∴AP＝BP.∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠PBA＝∠PBC.
又∵∠PBA＋∠PBC＝60°，
∴∠PBC＝30°.
同理可得∠BAP＝∠ACP＝∠ABP＝∠BCP＝∠CAP＝30°，
PA＝PB＝PC.
(2)① △ABP∽△BCP.
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
即∠ABP＋∠2＝∠3＋∠BCP＝45°，
又∵ ∠2＝∠3，∴∠ABP＝∠BCP，
又∵∠1＝∠2，∴ △ABP∽△BCP.
②易知S△ABC＝AB·AC＝AC2＝，BC＝AB.
∴AC＝(舍去负值)．
∵△ABP∽△BCP，
∴＝＝＝，
∠BPC＝∠APB，
∴AP＝BP，CP＝BP，S△PAB＝S△PBC，
∴CP＝2AP.
∵∠APB＝180°－(∠1＋∠ABP)＝180°－(∠2＋∠ABP)＝
180°－∠ABC＝135°，
∴∠BPC＝∠APB＝135°，
∴∠APC＝360°－∠APB－∠BPC＝90°.
在Rt△APC中，∵CP＝2AP，AC＝，
由勾股定理得AP＝1，CP＝2，
∴S△PAC＝CP·AP＝1.
∴S△ABC＝S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△PBC＋1＋S△PBC＝，
∴S△PBC＝1.