2022-2023学年浙教版八年级下第4章 平行四边形单元检测卷1（含解析）

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2022-2023学年浙教版八年级下第4章 平行四边形 单元检测卷（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个八边形的内角和度数为（　　）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）
A．AO＝OB B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
4．如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB长为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
5．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（　　）
A．每个内角都小于60° B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60° D．每个内角都等于60°
6．已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　）cm．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
8．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　）
A．10 B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：
①S ABCD＝AB AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知 ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是 　 　．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是　 　（写出一个即可）．
13．如图，点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点，EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F，若平行四边形ABCD的周长为24，OE＝2，那么四边形ABFE的周长为 　 　．
14．如图，平行四边形ABCD的周长为30，AE⊥BC于E，AF⊥DC的延长线于点F，AE＝4，AF＝6，则平行四边形ABCD的面积是 　 　．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　．
16．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影
部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 　 　．（请写出所有符合条件的序号）
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）若一个n边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，
（1）求n的值；
（2）在（1）条件下，求正（n+1）边形的一个内角度数及对角线条数．
18．（8分）如图，已知平行四边形ABDC中，E、F是对角线BC上两点，且满足BF＝DE．
求证：AF∥CE．
19．（8分）在①AE＝CF；②BE∥DF；③BE＝DF这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，点E、F在AC上，　 　（填写序号）求证：BE＝DF．
20．（10分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
22．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
23．（12分）如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　 　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．
答案与解析
一．选择题
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【解析】解：A．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合是解题的关键．
2．一个八边形的内角和度数为（　　）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
【点拨】应用多边形的内角和公式计算即可．
【解析】解：（n﹣2） 180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2） 180 （n≥3）且n为整数）．
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）
A．AO＝OB B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
【点拨】由平行四边形的性质容易得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
4．如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB长为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
【点拨】由于平行四边形的对角线互相平分，那么△AOB、△BOC的周长差，实际是AB、BC的差，联立平行四边形的周长，即可得解．
【解析】解：∵，△BOC的周长比△AOB的周长多10，
即BC﹣AB＝10，
∵平行四边形ABCD的周长是40，
即BC+AB＝20，
∴AB＝5．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，关键是利用平行四边形的性质解题：平行四边形的对角线互相平分．
5．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（　　）
A．每个内角都小于60° B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60° D．每个内角都等于60°
【点拨】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可．
【解析】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）．
6．已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　）cm．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
【点拨】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝4cm，EC＝3cm，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm；二是EB＝3cm，EC＝4cm时，则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
【解析】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝4cm，EC＝3cm时，如图1，
则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm，
∴2AB+2BC＝2×4+2×7＝22（cm）；
当EB＝3cm，EC＝4cm时，如图2，
则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，
∴2AB+2BC＝2×3+2×7＝20（cm），
∴平行四边形ABCD的周长为22cm或20cm，
故选：D．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
【点拨】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
【解析】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　）
A．10 B． C． D．
【点拨】过D点作DF∥BE，则DF＝BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝AF．
【解析】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF＝＝3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴∠AGB＝∠DGB＝90°，∠ABG＝∠DBG，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△DBG（ASA），
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝AF＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
【点拨】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，AC＝12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：
①S ABCD＝AB AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，AO＝CO，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF △COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
∴AC⊥EF，故③正确，
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，
∴，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
二．填空题
11．已知 ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是 　80°　．
【点拨】由平行四边形的性质得出∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，再由已知条件求出∠A，即可得出∠B．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∴∠B＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是　AE＝CF（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【点拨】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，添加AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论．
【解析】解：增加条件：AE＝CF，理由如下：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
若AE＝CF，则有AO﹣AE＝CO﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点，EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F，若平行四边形ABCD的周长为24，OE＝2，那么四边形ABFE的周长为 　16　．
【点拨】先证△DOE≌△BOF（ASA），得DE＝BF，OE＝OF＝2，则EF＝4，再求出AB+AD＝12，然后由四边形ABFE的周长＝EF+AE+AB+BF＝EF+AB+AD，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF，OE＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴AB+AD＝12，
∴四边形ABFE的周长＝EF+AE+AB+BF＝EF+AE+AB+DE＝EF+AB+AD＝4+12＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．如图，平行四边形ABCD的周长为30，AE⊥BC于E，AF⊥DC的延长线于点F，AE＝4，AF＝6，则平行四边形ABCD的面积是 　36　．
【点拨】由平行四边形的性质和周长得BC+CD＝15，设BC为x，则CD＝15﹣x，再由平行四边形的面积求出x＝9，即可解决问题．
【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为30，
∴AB＝CD，AD＝BC，BC+CD＝15，
设BC为x，则CD＝15﹣x，
∵S平行四边形ABCD＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝（15﹣x）×6，
解得：x＝9，
∴BC＝9，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝9×4＝36，
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边相等，面积＝底×高是解题的关键．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　　．
【点拨】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解析】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
16．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影
部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 　①或⑥　．（请写出所有符合条件的序号）
【点拨】根据中心对称定义以及轴对称图形的定义可得答案．
【解析】解：把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
故答案为：①或⑥．
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
三．解答题
17．若一个n边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，
（1）求n的值；
（2）在（1）条件下，求正（n+1）边形的一个内角度数及对角线条数．
【点拨】（1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1260°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
（2）从n边形的一个顶点引出对角线，可以引（n﹣3）条．
【解析】解：（1）设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：
180°（n﹣2）＝360°×3+180°，
解得n＝9，
答：这个多边形是九边形；
（2）从n边形的一个顶点引出对角线，可以引（n﹣3）条，
则从十边形的一个顶点引出对角线，可以引7条．
正十边形的一个内角为（10﹣2）×180°÷10＝144°
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引（n﹣3）条对角线．
18．如图，已知平行四边形ABDC中，E、F是对角线BC上两点，且满足BF＝DE．
求证：AF∥CE．
【点拨】可由题中条件判断出△ABF≌△CDE，得出∠CED＝∠AFB，即∠DEC＝∠BFA，进而可求证AF∥CE．
【解析】证明：∵四边形ABDC是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF与△CDE中，
，
∴CDE≌△ABF（SAS），
∴∠CED＝∠AFB，
∴∠DEB＝∠CFA，
∴AF∥DE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．在①AE＝CF；②BE∥DF；③BE＝DF这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，点E、F在AC上，　①或②　（填写序号）求证：BE＝DF．
【点拨】选择①，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，而AE＝CF，则OE＝OF，即可证明△BOE≌△DOF，得BE＝DF；
选择②，由平行四边形的性质得OB＝OD，由BE∥DF，得∠OBE＝∠ODF，即可证明△BOE≌△DOF，得BE＝DF．
【解析】解：选择①，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF．
答案不唯一，选择②，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB＝OD，
∵BE∥DF，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
故答案为：①或②．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BOE≌△DOF是解题的关键．
20．如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【点拨】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解析】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
【点拨】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF（ASA）；
②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．
【解析】（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
【点拨】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．
【解析】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
23．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　（15﹣t）　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　7　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　5　cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．
【点拨】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．
【解析】解：（1）∵点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，
∴AP＝tcm，
∴PD＝（15﹣t）cm，
当点P运动2秒时，CQ＝2×4＝8cm，
∴BQ＝15﹣8＝7cm，
当点P运动5秒时，CQ＝4×5＝20cm，
∴BQ＝20﹣15＝5cm，
故答案为：（15﹣t）；7；5；
（2）∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，
已有PD∥BQ，还需满足DP＝BQ，
①当点Q的运动路线是C﹣B时，BQ＝15﹣4t，由题意得：15﹣t＝15﹣4t，t＝0 不合题意，
②当点Q的运动路线是C﹣B﹣C时，BQ＝4t﹣15，由题意得：15﹣t＝4t﹣15，解得：t＝6；
③当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B时，BQ＝45﹣4t，由题意得：15﹣t＝45﹣4t，解得：t＝10；
④当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B–C时，BQ＝4t﹣45，由题意得：15﹣t＝4t﹣45，解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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