2022-2023学年浙教版八年级下第4章 平行四边形单元检测卷2（含解析）

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2022-2023学年浙教版八年级下第4章 平行四边形 单元检测卷（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
2．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
4．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　）
A．100° B．180° C．210° D．270°
5．四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，给出下列四组条件，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（　　）
①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠A＝∠C；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（　　）
A．三角形中至少有两个角是钝角 B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角 D．三角形中至少有一个角是钝角
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
9．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，点F是AB边的中点，AE⊥BC于点E，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，AD＝2，，则AE长为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形的对角线共有 　 　条．
12．如图，在四边形ABCD中，∠D＝60°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　 　．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 　．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，若AC＝10，BD＝6，则AB的长的取值范围是 　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AD＝3，AB＝，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、GH，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 　 　．
16．平行四边形ABCD的面积为10，其中∠A为锐角，AE、AF分别为BC、CD上的高，若AB＝5，BC＝2，则CE+CF的长为 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
18．如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）若AB＝4，AF＝8，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 　 　．
20．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
求证：（1）四边形ADEF是平行四边形；
（2）∠DHF＝∠DEF．
21．以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：
（1）试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 　 　个三角形；
（2）按这种方法，凸n边形可以分割成 　 　个三角形；
（3）请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸n边形的内角和公式：凸n边形的内角和＝（n﹣2）×180°；
（4）利用（3）中的公式解答下面的问题：
凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．
22．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝3，AB＝10，求AE的长．
答案与解析
一．选择题
1．如图图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【点拨】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，从而解决此题．
【解析】解：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．
∴x＝8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．
3．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【点拨】已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝OC，BO＝DO）的四边形是平行四边形．
【解析】解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　）
A．100° B．180° C．210° D．270°
【点拨】先根据平行线的性质得出∠4+∠5＝180°，再由多边形的外角和为360°即可得出结论．
【解析】解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠4+∠5）＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键．
5．四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，给出下列四组条件，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（　　）
①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠A＝∠C；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【点拨】根据平行四边形的判断定理可作出判断．
【解析】解：①根据平行四边形的判定定理：二组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据条件可以证明二组对边分别平行，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④可能是等腰梯形，知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【点拨】根据勾股定理得到AB＝＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，求得∠DAF＝∠DFA，于是得到结论．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB＝，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝AD＝AC＝＝，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（　　）
A．三角形中至少有两个角是钝角 B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角 D．三角形中至少有一个角是钝角
【点拨】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行解答．
【解析】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【点拨】首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解析】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，
∴（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
9．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，点F是AB边的中点，AE⊥BC于点E，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，AD＝2，，则AE长为（　　）
A．2 B． C． D．
【点拨】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠AQF＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣22＝（）2﹣x2，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝﹣3（舍去），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
【点拨】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积．
【解析】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．
二．填空题
11．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形的对角线共有 　9　条．
【点拨】根据多边形的外角和360°÷外角的度数求出多边形的边数，然后根据多边形的对角线条数公式即可解答．
【解析】解：多边形的边数：360°÷60°＝6，
对角线条数：＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，多边形的对角线的条数等知识点，掌握对角线总条数的计算公式是解答本题的关键．
12．如图，在四边形ABCD中，∠D＝60°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　240°　．
【点拨】根据三角形的内外角之间的关系可得∠1+∠2＝240°．
【解析】解：∵三角形的内角和等于180°，∠D＝60°，
∴∠1＝∠D+∠DFE，
∠2＝∠D+∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE+∠D＝180°，
∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE+∠D+∠D＝180°+60°＝240°．
故答案为：240°．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．解题的关键是明确三角形的内外角之间的关系和三角形的内角和等于180°的知识点．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　20　．
【点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴ ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，若AC＝10，BD＝6，则AB的长的取值范围是 　2＜AB＜8　．
【点拨】根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OA﹣OB＜AB＜OA+OB，代入求出即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝3，
在△OAB中，OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
∴5﹣3＜AB＜5+3，
即2＜AB＜8．
故答案为：2＜AB＜8．
【点睛】本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出OA﹣OB＜AB＜OA+OB是解此题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AD＝3，AB＝，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、GH，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 　　．
【点拨】连接AC、AG、作AH⊥BC于H，根据三角形中位线定理得AG＝2EF，再求出AH和AC的长即可．
【解析】解：连接AC、AG、作AH⊥BC于H，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF为△AGH的中位线，
∴AG＝2EF，
在平行四边形ABCD中，∵∠C＝135°，
∴∠B＝45°，
∴AH＝BH＝1，
∴CH＝2，
由勾股定理得AC＝，
∴AG的最大值为，最小值为1，
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
16．平行四边形ABCD的面积为10，其中∠A为锐角，AE、AF分别为BC、CD上的高，若AB＝5，BC＝2，则CE+CF的长为 　7+14　．
【点拨】先利用平行四边形的面积公式求出AE和AF，再利用勾股定理求出BE和DF，即可求解．
【解析】解：如图，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的面积为，
∴，
∴，，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
三．解答题
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝AC＝2，再由勾股定理求出OB＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，
∴AE＝OB＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
18．如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．
【点拨】（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
（2）如一，也是先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图；
（3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
注意此题有多种画法，答案不唯一．
【解析】解：如图所示．
（1）如图（1），图（2），图（3）所示；
（2）如图（4）所示；
（3）如图（5），图（6）所示．
【点睛】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）若AB＝4，AF＝8，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 　24　．
【点拨】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠CBE，再由ASA证明△ADE≌△CBE，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证DF＝AB，即可得出结论；
（3）过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．
【解析】（1）证明：∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBE，
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE；
（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴DF＝AB，
又∵DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（3）解：过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝4，AF＝8，∠F＝30°，
∴DF＝AB＝4，CD＝AB＝4，BD＝AF＝8，BD∥AF，
∴∠BDC＝∠F＝30°，
∵CH⊥BD，DQ⊥AF，
∴∠CHD＝∠DQF＝90°，
∴DQ＝DF＝2，CH＝DC＝2，
∴四边形ABCF的面积＝S平行四边形ABDF+S△BDC＝AF×DQ+×BD×CH＝8×2+×8×2＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADE≌△CBE是解此题的关键．
20．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
求证：（1）四边形ADEF是平行四边形；
（2）∠DHF＝∠DEF．
【点拨】（1）由三角形中位线定理得EF∥AB且EF＝AB，再证AD＝AB，则EF∥AD且EF＝AD，即可得出结论；
（2）证△FDH≌△DFE（SSS），即可证得∠DHF＝∠DEF．
【解析】证明：（1）∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB，
∴EF∥AD且EF＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）连接DF，如图所示：
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵点D、F分别是AB、CA的中点，
∴HD＝AB，FH＝AC，
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴EF、DE都是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DE＝AC，
∴HD＝EF，FH＝DE，
在△FDH和△DFE中，
，
∴△FDH≌△DFE（SSS），
∴∠DHF＝∠DEF．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形全等的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△FDH≌△DFE是解题的关键．
21．以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：
（1）试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 　6　个三角形；
（2）按这种方法，凸n边形可以分割成 　（n﹣1）　个三角形；
（3）请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸n边形的内角和公式：凸n边形的内角和＝（n﹣2）×180°；
（4）利用（3）中的公式解答下面的问题：
凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．
【点拨】（1）根据图①②③进行推导．
（2）根据特殊到一般的数学思想解决本题．
（3）由（n﹣1）个三角形的内角的和为180°（n﹣1），得凸n边形的内角和为180°（n﹣1）﹣180°＝（n﹣2）×180°．
（4）设加上的某个外角的度数为x（0＜x＜180°），由题意得（n﹣2）×180°+x＝1350°，从而解决此题．
【解析】解：（1）图①是四边形，分割成3个三角形；
图②是五边形，分割成4个三角形；
图③是六边形，分割成5个三角形；
图④是七边形，分割成6个三角形；
…
以此类推，凸n边形可以分割成（n﹣1）个三角形．
故答案为：6．
（2）由（1）可得：凸n边形可以分割成（n﹣1）个三角形．
故答案为：（n﹣1）．
（3）由（2）得：凸n边形可以分割成（n﹣1）个三角形．
∴（n﹣1）个三角形的内角的和为180°（n﹣1）．
∴凸n边形的内角和为180°（n﹣1）﹣180°＝（n﹣2）×180°．
（4）设加上的某个外角的度数为x（0＜x＜180°）．
由题意得：（n﹣2）×180°+x＝1350°．
∴x＝1350°﹣（n﹣2）×180°．
∵0＜x＜180°，
∴6.5＜n﹣2＜7.5．
∴n＝9．
∴x＝90°．
∴这个多边形的边数为9，这个外角的度数为90°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和、三角形内角和定理、多边形的对角线，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　6　；
（2）当t＝　8　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【点拨】（1）根据动点P的运动速度，即可表示出BP的长度，再将t＝3代入即可求出BP的长度；
（2）根据两组对边分别相等可先求证四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰△ABP，从而可以求解；
（3）根据题意分两种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，结合角平分线的性质和等边三角形的判定和性质分析求解．
【解析】解：（1）∵动点P的运动速度为2单位/秒，
∴BP＝2t，
∴当t＝3时，
BP＝2×3＝6，
故答案为：6．
（2）∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝8﹣4＝4，
∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，BC+DC+DF＝8+4+4＝16，
∴t＝16÷2＝8，
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）∵BC+CD＝8+4＝12
∴当0＜t＜6时，点P在BC上和CD上，
分两种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，0＜t≤4，
过点A作AM⊥BE，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝2，AM＝BM＝2，
此时，S＝S△ABP＝×BP×AM＝×2t×2＝2t（0＜t≤4）；
②当点P在CD上运动时，4＜t＜6，
△ABP的面积为定值，且等于平行四边形ABCD面积的一半，
此时，S＝S△ABP＝×BC×AM＝×8×2＝8（4＜t＜6）；
综上，S＝；
（4）①当点P运动到∠BAD的角平分线上时，
连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，
此时PM＝PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
又∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝2t＝BA＝4，
解得：t＝2，
②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
又∵CD＝CE＝4，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠CDE，即CD平分∠ADE，
∴当4≤t＜6时，点P在∠ADE的角平分线上运动（含点P在∠E的角平分线的情况），
此时，点P到四边形ABED相邻两边AD（或BE）和DE的距离相等．
综上：t＝2或4≤t＜6时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、等边三角形的判定与性质，一次函数的应用，掌握相关性质定理，分段分析，利用数形结合思想解题是关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝3，AB＝10，求AE的长．
【点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出结论；
（2）同（1）证出DA＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
【解析】（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB．
∴∠DAE＝∠E．
∴∠BAE＝∠E．
∴AB＝BE．
∴CD＝BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA．
∴∠DAF＝∠DFA．
∴DA＝DF．
∵F为DC的中点，AB＝10，
∴DF＝CF＝DA＝5．
∵DG⊥AE，DG＝3，
∴AG＝GF．
∴AG＝＝4．
∴AF＝2AG＝8．
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝16．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
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