2022-2023学年浙教版八年级下第5章 特殊平行四边形单元检测卷1（含解析）

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2022-2023学年浙教版八年级下第5章特殊平行四边形单元检测卷（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且平分 D．对角线平分一组对角
2．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（　　）cm．
A．13 B．24 C．52 D．60
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A．12 B．14 C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
7．下列说法正确的有（　　）个
①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③正方形既是菱形又是矩形；
④有两个角是直角的四边形是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（　　）
A．﹣1 B． C． D．2﹣
9．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（　　）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180°
10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，菱形ABCD的边长为10cm，其中对角线AC的长为16cm，则菱形ABCD的面积为 　 　cm2．
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝　 　度．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　．
14．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，GH的长 　 　．
15．如图，正方形ABCD中，点E在BD上，EF⊥BC于F，EG⊥DC于G，连接AE，若EB＝，EG＝2，则EA的长是 　 　．
16．已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17.（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周长．
19．（8分）如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，DC，BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝10，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
22．（12分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
23．（12分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）请证明AE＝EF请证明．
（2）若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是线段BC上任意一点”，其余条件不变，那么（1）中的结论AE＝EF是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请你说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且平分 D．对角线平分一组对角
【点拨】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解析】解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；
菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．
故正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
【点睛】此题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理．
2．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（　　）cm．
A．13 B．24 C．52 D．60
【点拨】根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得其周长．
【解析】解：∵菱形的一条对角线长为10cm，面积为120cm2，
∴另一对角线长为＝24（cm），
根据勾股定理，菱形的边长为＝13（cm），则菱形的周长＝13×4＝52（cm）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【点拨】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OC，再根据等边对等角可得∠OBC＝∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A．12 B．14 C． D．
【点拨】利用菱形的面积公式：AC BD＝BC AE，即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴AB＝BC＝＝5，
∵AC BD＝BC AE，
∴×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
5．下列说法正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【点拨】由矩形，菱形，正方形的判定方法，即可判断．
【解析】解：A、四边相等的四边形是菱形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故B不符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形，矩形，正方形，关键是掌握菱形，矩形，正方形的判定方法．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
【点拨】根据∠EDC：∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出DC＝AC，进而求得CE的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝4，
∴EC＝DC＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC＝30°是解题关键．
7．下列说法正确的有（　　）个
①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③正方形既是菱形又是矩形；
④有两个角是直角的四边形是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】菱形的对角线互相垂直平分，但菱形的对角线不一定相等，可判断①错误；
对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断②错误；
根据正方形的定义，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可知正方形既是菱形又是矩形，可判断③正确；
有两个角是直角的四边形，如直角梯形不一定是矩形，可判断④错误；
矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．
【解析】解：菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，
故①错误；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
故②错误；
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，
所以正方形既是菱形又是矩形，
故③正确；
有两个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形有两个角是直角，
故④错误；
矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，
故⑤错误，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握矩形、菱形与正方形的判定定理是解题的关键．
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（　　）
A．﹣1 B． C． D．2﹣
【点拨】设DE的长为x，过点E作EG⊥AC于点G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EG＝ED＝x，再根据正方形的性质可得△EGC是等腰直角三角形，可得EC＝x，根据DC＝DE+EC＝x+x＝1，从而求出x的值，即DE的长．
【解析】解：过点E作EG⊥AC于点G，如图所示，
设DE的长为x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，∠ACD＝45°，CD＝1．
∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，
∴EG＝DE＝x．
在△EGC中，∠EGC＝90°，∠ECG＝45°．
∴∠CEG＝∠ECG＝45°，
∴CG＝EG＝x，
∴EC＝＝x．
∴DC＝DE+EC＝x+x＝1．
解得x＝﹣1．
∴DE的长为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质等，利用角平分线的性质添加辅助线是解题的关键．
9．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（　　）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180°
【点拨】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°．
【解析】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，
∴△ABP中，90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°，①
△DCP中，90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，即θ4﹣θ3＝40°，②
由②﹣①，可得（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°，
即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．
10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数．
【解析】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC＝90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
又DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④错误，
则其中正确的个数有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
二．填空题
11．如图，菱形ABCD的边长为10cm，其中对角线AC的长为16cm，则菱形ABCD的面积为 　96　cm2．
【点拨】由菱形的性质可得AO＝CO＝8cm，AC⊥BD，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝8cm，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝6（cm），
∴BD＝12cm，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝96（cm2），
故答案为：96．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝　75　度．
【点拨】根据矩形的性质推出OA＝OB，根据角平分线求出AB＝BE，得到等边三角形OAB，推出∠OBC＝∠OCB＝30°，OB＝BE，求出∠BOE的度数即可求出答案．
【解析】解：在矩形ABCD中，
AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°，
∵∠CAE＝15°，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴∠BAC＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BCA＝30°，AB＝AC＝BO，
∴BE＝BO，
又∵∠DBC＝∠ACB＝30°，
在△BOE中，
∠BOE＝（180°﹣∠DBC）÷2＝75°．
故答案为：75．
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，角平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠BOE和∠AOB的度数是解此题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　　．
【点拨】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解析】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝，
∴，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，GH的长 　　．
【点拨】首先证明△ABE≌△DAF，然后结合全等三角形的性质推导DF＝AE＝2，∠BGF＝90°，因为点H为BF的中点，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，再由勾股定理计算，即可获得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAD＝∠C＝90°，
∵BE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴DF＝AE，∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAD＝90°，即∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝∠AGE＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴，
∵正方形ABCD的边长为5，即BC＝DC＝5，
∵AE＝2，
∴DF＝AE＝2，
∴CF＝DC﹣DF＝5﹣2＝3，
在Rt△BCF中，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题的关键．
15．如图，正方形ABCD中，点E在BD上，EF⊥BC于F，EG⊥DC于G，连接AE，若EB＝，EG＝2，则EA的长是 　　．
【点拨】由正方形的性质得出∠DCB＝90°，∠DBC＝∠DBA＝45°，AB＝BC，证明△ABE≌△CBE，得出EA＝EC，由等腰直角三角形的性质求出EF＝1，证明四边形GEFC是矩形，由矩形性质得出CF＝EG＝2，由勾股定理求出EC＝，即可得出EA＝．
【解析】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠DBA＝45°，AB＝BC，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EC，
∵EF⊥BC，∠DBC＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝，
∵BE＝，
∴EF＝1，
∵EG⊥CD，EF⊥BC，∠DCB＝90°，
∴∠EGC＝∠GCF＝∠CFE＝90°，
∴四边形GEFC是矩形，
∴CF＝GE，
∴GE＝2，
∴CF＝2，
∴EC＝＝＝，
∴EA＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
16．已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　30°或70°　．
【点拨】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．
【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，
∴AC，BD互相垂直平分，
∵∠ABC＝∠ADC＝100°，
∴，
当点P如下图P点所在位置时：
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝20°，
∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°；
当点P如下图P′点所在位置时：
∵P'B＝P'D，
∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°，
∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°；
综上：∠PDC的度数为30°或70°，
故答案为：30°或70°．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．
三．解答题
17.已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
【点拨】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6
∴AE＝3
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周长．
【点拨】（1）根据ASA推出：△AEO≌△CFO；根据全等得出OE＝OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；
（2）根据线段垂直平分线性质得出AF＝CF，设AF＝x，推出AF＝CF＝x，BF＝16﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程82+（16﹣x）2＝x2，求出即可．
【解析】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，AB＝8，BC＝16，
∴AF＝CF＝x，BF＝16﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
82+（16﹣x）2＝x2，
解得x＝10．
∴AF＝10，
∴菱形AECF的周长为40．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．
19．如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，DC，BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝10，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积．
【点拨】（1）先由对角线互相平分的四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的性质得出BD⊥AC，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出AB＝OE＝10，由菱形的性质得出OB＝OD，∠AOB＝90°，OC、OB的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【解析】（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形AEBO是矩形，
∴∠AOB＝90°，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝BC＝OE＝10，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
∴∠BCO＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝BC＝×10＝5，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝2×5＝10，AC＝2OC＝2×＝10，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×10×10＝50．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
【点拨】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积＝ EB OF＝×（2﹣2）×1＝﹣1．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
【点拨】（1）结论：AG2＝GE2+GF2．只要证明GA＝GC，四边形EGFC是矩形，推出GE＝CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．
【解析】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2．
（2）过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGB＝∠AGF﹣∠BGF＝105°﹣45°＝60°，
在Rt△ABH中，∵AB＝1，
∴AH＝BH＝，
在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°，
∴HG＝AH tan30°＝，
∴BG＝BH+HG＝+．
解法二：如图，过点B作BN⊥AG于N，在BN上截取BM，使得BM＝AM，设AN＝x．
∵∠AGF＝105°，∠GBF＝∠FGB＝∠ABG＝45°，
∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠BAM＝15°，
∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝2x，MN＝x，
在Rt△ABN中，则有1＝x2+（2x+x）2，
解得x＝，
∴BN＝，
∴BG＝＝．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
【点拨】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，根据三角形的内角得到∠ABO＝54°，于是得到结论．
【解析】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键．
23．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）请证明AE＝EF请证明．
（2）若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是线段BC上任意一点”，其余条件不变，那么（1）中的结论AE＝EF是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请你说明理由．
【点拨】（1）取AB中点M，连接ME，证明△EAM≌△FEC即可；
（2）在AB上取点M，使得BE＝BM，连接ME，证明△EAM≌△FEC即可．
【解析】解：（1）如题图2，取AB中点M，连接ME，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵M、E为AB、BC的中点，
∴BM＝BE＝AM＝CE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠FEC+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△EAM≌△FEC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）成立，证明如下：
在AB上取点M，使得BE＝BM，连接ME，
∴BM＝BE，AM＝CE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠FEC+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△EAM≌△FEC（ASA），
∴AE＝EF；
【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的边角性质是解题关键．
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