2022-2023学年浙教版八年级下第5章 特殊平行四边形单元检测卷2（含解析）

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2022-2023学年浙教版八年级下第5章 特殊平行四边形单元检测卷（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
2．如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
4．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
5．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
7．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（　　）
A．0 B．4 C．6 D．8
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①∠ADE＝∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE＝60°．其中正确的结论个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD　 　菱形（填“是”或“不是”）．
12．菱形ABCD中，AB＝5，AE是BC边上的高，AE＝4，则对角线BD的长为　 　．
13．如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN＝AE，则AM的长等于　 　cm．
14．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　 　．
15．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A＝80°，则∠DGF的度数为　 　．
16．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD； ③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．
18．（8分）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．
19．（8分）如图，已知边长为3的正方形ABCD和边长为2的正方形DEFG公共点D，连接AE、CG相交于点H，AE与CD相交于点O．
（1）求证：△ADE≌△CDG；
（2）猜想：线段AE与CG的关系，并说明理由；
（3）当∠CDE＝30°时，求AO的长度．
20．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　 　．
21．（10分）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
22．（12分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．
求证：CE＝DF．
结合图①，写出证明过程．
【结论应用】如图②，设CE，DF相交于点G．若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为 　 　，CG+DG的长为 　 　．
23．（12分）正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
答案与解析
一．选择题
1．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
【点拨】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
2．如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【点拨】根据对角线互相平分可判断A；根据对角线不相等的平行四边形不是矩形可判断B，D；根据无法证明对角线互相垂直可判断C．
【解析】解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故本选项符合题意；
B．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是矩形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是矩形，
∴不能证明AC⊥BD，
∴不能证明AC⊥EF，
故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
【点拨】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
【解析】解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
4．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
【点拨】由矩形的性质得∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝33°，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
5．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【点拨】①由条件a可得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，①正确；
②由条件b得到四边形是平行四边形，添加d平行四边形是矩形，再添加c矩形是正方形，②正确；
③由a和b都可得到四边形是平行四边形，再添加c得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，③不正确．
【解析】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
【点拨】连接BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△PAB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝24，再整理即可得到PE+PF的值．
【解析】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2；
【解析】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（　　）
A．0 B．4 C．6 D．8
【点拨】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解析】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2
∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF≤4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①∠ADE＝∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE＝60°．其中正确的结论个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【点拨】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质解答即可；
②先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF；
④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；
⑤∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°
【解析】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，
∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，
∴∠ADE＝∠DBF，故本选项正确；
②∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，
∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故本选项错误；
③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），
∵AF＝2FD，
∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，
∵AE＝DF，AB＝AD，
∴BE＝2AE，
∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，
即BG＝6GF，故本选项正确；
④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），
由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE＝∠DBG＝30°，
∴DG＝BG，
在△GDC与△BGC中，
，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG＝∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；
⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，
故选：C．
【点睛】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．
二．填空题
11．如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD　是　菱形（填“是”或“不是”）．
【点拨】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形．
【解析】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝DC AF，
∴BC＝DC，
∴ ABCD是菱形．
故答案为：是．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，利用等面积法解决本题是关键．
12．菱形ABCD中，AB＝5，AE是BC边上的高，AE＝4，则对角线BD的长为　2或4　．
【点拨】分∠B为钝角和锐角两种情况，在Rt△ABE中求得BE，则可求得EC，在Rt△AEC中利用勾股定理可求得AC，再利用等积法可求得BD的长．
【解析】解：
当∠B为钝角时，如图1，
∵AB＝5，AE＝4，且AE⊥BC，
∴BE＝3，
∴CE＝BC+BE＝5+3＝8，
在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC＝＝＝4，
∵S菱形ABCD＝BC AE＝BD AC，
∴5×4＝×4BD，解得BD＝2；
当∠B为锐角时，如图2，
同理可求得BE＝3，则CE＝5﹣3＝2，
在Rt△ACE中，可求得AC＝＝2，
同理可求得BD＝4，
综上可知BD的长为2或4，
故答案为：2或4．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，求得对角线AC的长是解题的关键，注意等积法的应用．
13．如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN＝AE，则AM的长等于　或　cm．
【点拨】如图，作DH∥MN，先证明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE，在RT△AFM中求出AM即可，再根据对称性求出AM′，由此即可解决问题．
【解析】解：如图，作DH∥MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°，AB∥CD，
∴四边形DHMN是平行四边形，
∴DH＝MN＝AE，
在RT△ADH和RT△BAE中，
，
∴△ADH≌△BAE，
∴∠ADH＝∠BAE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠ADH+∠AMN＝90°，
∴∠BAE+∠AMN＝90°，
∴∠AFM＝90°，
在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝，∠BAE＝30°，
∴AE cos30°＝AB，
∴AE＝2，
在RT△AFM中，∵∠AFM＝90°，AF＝1，∠FAM＝30°，
∴AM cos30°＝AF，
∴AM＝，
根据对称性当M′N′＝AE时，BM′＝，AM′＝AB﹣BM′＝﹣＝
故答案为或．
【点睛】本题科学正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
14．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　45°或105°　．
【点拨】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，
∠ABC＝∠ADC＝150°，
∴∠DBA＝∠DBC＝75°，
∵ED＝EB，∠DEB＝120°，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝105°，
当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′＝30°，
∴∠E′BC＝∠DBC﹣∠DBE′＝45°，
∴∠EBC＝105°或45°，
故答案为105°或45°．
【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．
15．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A＝80°，则∠DGF的度数为　50°　．
【点拨】延长AD、EF相交于点H，根据线段中点定义可得CF＝DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠H＝∠CEF，然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝FH，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF＝FH，根据等边对等角可得∠DGF＝∠H，根据菱形的性质求出∠C＝∠A，CE＝CF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF，从而得解．
【解析】解：如图，延长AD、EF相交于点H，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF，
∵菱形对边AD∥BC，
∴∠H＝∠CEF，
在△CEF和△DHF中，
，
∴△CEF≌△DHF（AAS），
∴EF＝FH，
∵EG⊥AD，
∴GF＝FH，
∴∠DGF＝∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝80°，
∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE＝CF，
在△CEF中，∠CEF＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠DGF＝∠H＝∠CEF＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD； ③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有 　①②③④　．
【点拨】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，故④正确；
如图，连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
综上所述：正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
三．解答题
17．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．
【点拨】（1）根据等角对等边得出OB＝OC，根据平行四边形性质求出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，推出AC＝BD，根据矩形的判定推出即可．
（2）根据矩形的性质和∠CBE＝3∠ABE，得出∠ABE＝22.5°，在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝x，构建方程即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBE＝3∠ABE，
∴∠ABE＝×90°＝22.5°，
在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝x，
∵BE＝2，
∴x+x＝2，
∴x＝2﹣2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
18．如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．
【点拨】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形；
（2）利用三角形面积求法得出CE的长．
【解析】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形FCED是正方形；
（2）解：∵AC＝12，BC＝16，∠C＝90°，
∴AB＝＝20，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出DF＝DE是解题关键．
19．如图，已知边长为3的正方形ABCD和边长为2的正方形DEFG公共点D，连接AE、CG相交于点H，AE与CD相交于点O．
（1）求证：△ADE≌△CDG；
（2）猜想：线段AE与CG的关系，并说明理由；
（3）当∠CDE＝30°时，求AO的长度．
【点拨】（1）由正方形的性质得出CD＝AD，∠CDG＝∠ADE＝90°，GD＝ED，即可证明△CDG≌△ADE（SAS）；
（2）设DE交CG于K，由△CDG≌△ADE，可得AE＝CG，∠CGD＝∠AED，而∠EKH＝∠DKC，故∠EHK＝∠KDG＝90°，从而AE⊥CG；
（3）过E作EW⊥AD交AD延长线于W，由∠CDE＝30°，得∠EDW＝60°，∠DEW＝30°，即得DW＝DE＝1，EW＝DW＝，用勾股定理有AE＝＝，根据＝，得OA＝．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝∠EDG＝90°，GD＝ED，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△CDG和△ADE中，
∴△CDG≌△ADE（SAS）；
（2）解：AE⊥CG，AE＝CG，理由如下：
设DE交CG于K，如图：
由（1）知：△CDG≌△ADE，
∴AE＝CG，∠CGD＝∠AED，
∵∠EKH＝∠DKC，
∴∠EHK＝∠KDG＝90°，
∴AE⊥CG；
（3）解：过E作EW⊥AD交AD延长线于W，如图：
∵∠CDE＝30°，
∴∠EDW＝60°，∠DEW＝30°，
∴DW＝DE＝1，EW＝DW＝，
∴AW＝AD+DW＝3+1＝4，
∴AE＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴OA＝，
答：AO的长度为．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
20．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　6或6　．
【点拨】（1）如图2中，结论：AC＝（FG+EC）．在AB上截取BM＝BE，连接EM，证明△AEM≌△EFC（ASA），可得结论．
如图3中，结论：AC＝（FG﹣EC）．
（2）分两种情形：如图1中，当∠BAE＝30°时，如图3中，当∠AEB＝30°时，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【解析】解：（1）如图2中，结论：AC＝（FG+EC）．
理由：在AB上截取BM＝BE，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，
∴AM＝EC，∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠EAM＝∠FEC，
∴在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴EM＝CF，
∵EM＝BE，CF＝FG，
∴BE＝FG，
∵AC＝BC＝（BE+EC），
∴AC＝（FG+EC）．
如图3中，结论：AC＝（FG﹣EC）．
（2）如图1中，当∠BAE＝30°时，
∵正方形的面积为27，
∴AB＝3，∠B＝90°，
∴BE＝AB tan30°＝3×＝3，
∴AE＝2BE＝6，
∵△AEM≌△EFC
∴AE＝EF＝6，
∴AF＝6，
如图3中，当∠AEB＝30°时，同法可得AE＝EF＝2AB＝6，
∴AF＝AE＝6，
综上所述，AF的长为6或6．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
21．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
【点拨】（1）过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，由四边形ABCD为正方形，AE⊥EF，可证明△AEM≌△EFN（ASA），即可得AE＝EF．
（2）由△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，可得CF＝2MD，而DE＝MD，故CF＝DE；
（3）设DE＝x可得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，而CF＝DE，若FE＝FC，有（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，可解得DE＝2﹣2．
【解析】（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠FEN＝90°．
∵∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN＝MD，
∴CF＝2MD，
∵DE＝MD，
∴CF＝DE；
（3）解：设DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，
由（2）得CF＝DE，
∴CF＝x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，
解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴DE＝2﹣2．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等．
22．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．
求证：CE＝DF．
结合图①，写出证明过程．
【结论应用】如图②，设CE，DF相交于点G．若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为 　　，CG+DG的长为 　　．
【点拨】【教材呈现】根据AAS证△CDF≌△BCE即可得证；
【结论应用】设三角形DCG的面积为x，根据题意列出方程求解即可得出△DCG的面积，设CG＝a，DG＝b，根据数量关系推出（a+b）的值，即可得出CG+DG的长．
【解析】【教材呈现】证明：设DF、EC交于点G，
∵DF⊥CE，
∴∠FGC＝90°，
∴∠DFC+∠ECB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠FCD＝90°，
∴∠BEC+∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（AAS），
∴CE＝DF；
【结论应用】由【教材呈现】知，S△BEC＝S△CDF，
∴四边形BEGF的面积+△FGC的面积＝△FGC的面积+△DGC的面积，
即四边形BEGF的面积＝△DGC的面积，
设△DCG的面积为x，
则阴影部分的面积为：3×3﹣2x＝9﹣2x，
即，
解得x＝，
设CG＝a，DG＝b，
∵DF⊥EC，
∴ab＝，a2+b2＝9，
∴a2+b2+2ab＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴CG+DG＝a+b＝，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
23．正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
【点拨】（1）由正方形的性质得出条件，证明△BCM≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质及角的互余关系可得结论；
（2）①结论仍成立；②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，由勾股定理求得BD的长，再用含x的式子表示出BF，然后根据BD＝BF得出关于x的方程，解得x的值，再乘以4即可．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及一元一次方程在几何图形问题中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．
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